L2Mass  -  Option "Markov & Martingales"  -  2015-16

Présentation

Chaînes de Markov

Une chaîne de Markov homogène décrit l'évolution d'un système passant d'un état à un autre selon une probabilité de transition donnée une fois pour toute. L'évolution est donc aléatoire mais obéit à une loi que les mathématiques permettrons de décrire. On s'interesse alors à des questions telles que le comportement asymptotique du sytème (probabilité au bout d'un temps très grand que le sytème soit dans tel état), les temps d'arrêt (temps espéré pour atteindre tel état)
Le cours sera fait d'une alternance entre exemples issus de la modélisation, modélisation de systèmes concrets élémentaires (systèmes "jouet") et d'approfondissement des notions mathématiques utiles à l'étude des modèles.

Contenu mathématique : suite de variables aléatoires, loi de probabilité, probabilité conditionnelle, liaison et indépendance, convergence en loi, temps d'arrêt, espérance (d'une variable aléatoire) ; matrice (de transition), vecteurs propres, comportement asymptotique des puissances d'une matrice, système dynamique : application contractante sur un convexe fermé borné de Rⁿ et théorème de point fixe ; graphe


Contenu appliqué : modélisation d'un système à plusieurs états et de son évolution, prévision



Lectures :
La page du cours en 2013-14
La notice de wikipedia en français ≠ en anglais.


Martingales (si le temps le permet)

Lectures :
Les notices wikipedia(fr), la notice en anglais (technique)