Licence Mass 2ème année  -  2010-2011
Cours de "remise à niveau" sur le maximum


17 septembre de 13h45 à 15h45 en salle M03

Notations pour un ensemble : {1,2,a} (dépend d'un paramètre a) ; {x∈R tq P(x)} où P(x) est une propriété (ou énoncé) portant sur x : l'ensemble des réels x vérifiant la propriété P ; {f(x), x∈I} (l'ensemble des f(x), x décrivant I), f(I) (l'image de I par f)

Définition : plus grand élément, majorant, plus petit élément, minorant, borne supérieure, borne inférieure d'un ensemble de nombres réels ou d'une fonction à valeurs réelles.

Notations : max(S) pour le plus grand élément d'un ensemble S de nbre réels ; sup(S) pour la borne supérieure d'un ensemble S de nbre réels ; min(S), inf(S)

Lien entre max(S) et min(-S), entre sup(S) et inf(-S).

Critère d'existence : sup(S) lorsque S est une partie non vide majorée de R ; max(f) lorsque f est une application continue à valeurs réelles définie sur un segment [a,b] de R et plus généralement sur une partie fermée bornée non vide de Rn.

Condition nécessaire pour qu'une application f à valeurs réelles, définie sur un intervalle I de R et dérivable,  plus généralement définie sur un domaine D de Rn et admettant des dérivées partielles, admette un maximum en x0 ∈ I, plus généralement en x0 ∈ D : x0 appartient au bord de I ou la dérivée de f s'annule en x0 ; plus généralement x0 appartient au bord de D ou les dérivées partielles de f s'annulent en x0.

Exemple : maximum de la fonction f(x,y)=x2-xy-1 définie sur le domaine [-1,1]x[-1,1] de R2.

Fonctions concaves ou convexes définies sur une partie convexe de Rn.
- Si f est continue convexe sur un domaine convexe fermé bornée D de Rn alors il existe un point du bord de D en lequel f atteint son maximum.
- Si f est concave alors l'ensemble des points où f atteint son maximum est une partie convexe de D.
Cas  particulier : f est une application affine (une fonction polynomiale en les coordonnées de degré 0 ou 1) définie sur un polyèdre convexe D de Rn alors l'ensemble des points où f est maximale est l'enveloppe convexe d'une partie de l'ensemble des sommets de D.

Exemple : maximum de la fonction 2x-y-1 définie sur le domaine de R2 donné par les conditions x ≥ 0, y ≥ 0 , y ≤ x/2+2, y ≤ -x/2+3, x ≤ 2.