L3 géométrie - Compte  rendu de séance - 30 sept 2005

<Environ 20 étudiants dans l'amphi.>

A. Organisation :
Un seul TD le jeudi de 10h15 à 12h15 (J. Yameogo). Partiel le lundi 7 novembre. Controle continu sous forme d'interrogation en TD. Les étudiants sont encouragés à poser des questions à leurs enseignants.
Page web du cours avec notes de cours, feuilles de TD et corrigés, archives de l'année 2004-05 avec en particulier examen, corrigé et notes.
Principale référence bibliographique pour le cours : [M. Audin, Géométrie, Belin 1998] présent à la Bibliothèque Universitaire.

B. Objets d'étude du cours :
- Points, droites, plans, position relative, transformations affines -> géométrie affine.
- Angles, distances, isométries -> géométrie euclidienne.
Cette distinction entre géométrie affine et géométrie euclidienne est récente (1 siècle). Chez les grecs, il ne s'agit que de géométrie euclidienne.

Notes historiques :
Approche axiomatique pour la géométrie euclidienne (Euclide au 4è-3è siècle avant JC, repris par Hilbert en 1899 : les objets premiers sont les droites et les angles (un angle est la donnée de deux demi-droites de même origine à "transport près"). Avec ces objets premiers on construit des nombres :  proportions (thm de Thalès), distances (cf thm de Pythagore). On construit ainsi par exemple la racine carré du nombre 2.

Approche analytique (coordonnées). Nait avec Fermat (classification des courbes par le degré de leur équation) et Descartes (systèmes d'équations du premier degré en notation algébrique moderne, 1637).

Géométrie et algèbre linéaire.  La notion d'espace vectoriel abstrait est récente. On la doit à Grassmann (vers 1846) puis Peano (1888). La géométrie affine et euclidienne est aujourd'hui batit sur l'algèbre linéaire. Il faudra attendre les années cinquantes (1950) pour que cette approche rentre dans l'enseignement à l'université. La géométrie enseignée au collège reste celle de Hilbert.

Notion et étude des transformations affines, des isométries (déplacement associé au mouvement, symétrie). Leur étude systématique remonte à Euler.

Géométrie et groupes de transformation : La notion de groupe est elle aussi tardive (voir cette page). La notion d'invariants pour l'action d'un groupe se développe vers 1850. Klein introduit avec son "programme d'Erlangen" la classification structurale des théorèmes de géométrie (qui va mettre un terme à la recherche académique en géométrie élémentaire). Les différentes géométries sont caractérisées par leur groupe de transformations <il faudrait être plus précis !>.

Il faudrait parler aussi, mais cela sort de mon cours, de la géométrie projective (Desargues, Poncelet), des géométries non euclidiennes (Gauss, Lobachevsky, Bolyai).

La géométrie élémentaire n'est plus aujourd'hui un domaine vivant de recherche, mais reste un pré-requis à certaines branches toujours très actives. Citons entre autre : la théorie des groupes de Lie issue de l'étude des groupes classiques (groupe linéaire), la géométrie différentielle et riemannienne, la géométrie algébrique.

Références : [Bourbaki, Eléments d'histoire des mathématiques, Hermann] en particulier les chapitres "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire" (p78) et "Formes quadratiques, géométrie élémentaire" (p164).
Notices biographiques sur le site MacTutor de l'Université St Andrews


Motivations externes aux mathématiques :
Sondage auprès des étudiants. Expérience du réel, architecture (symétries), astronomie, mécanique céleste (coniques), mouvement du solide (déplacement), navigation (angles), cartographie,

C. 1er Cours : Géométrie affine
1. Rappel d'algebre linéaire : notion d'espace vectoriel (la donnée d'un espace vectoriel sur $\R$ est la donnée d'un ensemble E, d'une application E x E -> E, d'une application R x E -> E vérifiant ...). Sous espaces vectoriels, somme, somme directe, base, dimension, théorème de la base incomplète. Applications linéaires, en particulier formes linéaires. Exemple (x,y) |-> ax+by pour a et b deux réels fixés.

2. Espaces affines, sous espaces affines : Définition (donnée d'un ensemble \cal E, d'un espace vectoriel E, d'une application \cal E x \cal E -> E vérifiants ...). Exemples : vide, singleton. Espace affine associé à un espace vectoriel, exemple \R^2.
Sous espaces affines. Exemple sous ensemble de R^2 donné par l'équation x+2y+3=0.