L3 géométrie - Compte rendu de séance - 14 et 17 octobre 2005

3ème et 4ème cours : Géométrie affine (suite)

Equation cartésienne d'un sous-espace affine
Rappel : H sous-ensemble d'un espace vect. E est un hyperplan vectoriel de E ssi H est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Soit F un sous-espace vectoriel de dim p d'un espace vectoriel E de dim n, alors il existe f_1,...,f_{n-p} (n-p)-formes linéaires sur E linéairement indépendantes telles que F soit l'intersection des noyaux des f_i. Démonstration à l'aide d'une base de F qu'on complète en une base de E et des formes coordonnées.
Soit X un espace affine non vide de dim n, de direction \V{X}. Soient F un sous-espace affine non vide de X de dim p et A un point de F. Alors il existe (n-p) formes lineaires linéairement indépendantes f_1,...,f_{n-p} sur \V{X} telles que F soit l'ensemble des points M de X vérifiant f_i(\V{AM})=0.
Interprétation : F est l'intersection de n-p hyperplans de X. Traduction en coordonnées une fois choisi un repère cartésien de X.
Exemple : équation cartésienne d'une droite dans R^2, d'un plan dans R^3, d'une droite dans R^3.

Problème d'intersection
Définition : parallélisme entre deux sous-espaces affines.
Caractérisation de l'égalité entre deux sous-espaces affines : point commun + direction commune.
Prop : l'intersection d'une famille de sous-espaces affines est un sous-espace affine soit vide soit de direction l'intersection des directions.
Définition : Sous-espace affine engendré par une partie. Famille de points affinement indépendants, repère affine d'un espace affine X.
Prop : (A_0,...,A_n) est un repère affine de X ssi (A_0, \V{A_0A_1},...,\V{A_0A_n}) est un repère cartésien de X.
Prop : F,G sous-espaces affines non vide de X. Soient A un point de F et B un point de G. Alors l'intersection de F et de G est non vide ssi le vecteur \V{AB} est dans la somme des directions de F et de G.
Dimension de l'intersection si celle-ci est non vide.
Exemple : cas de deux droites dans le plan, d'une droite et d'un plan dans R^3, de deux plans dans R^3, de deux droites dans R^3.

Barycentres
Soit ((A_i,\alpha_i))_i une famille de points pondérés (point + élément de R) d'un espace affine de X. On étudie l'application M |-> \sum \alpha_i \V{MA_i} de X dans sa direction.
Définition : barycentre, isobarycentre
Exemple : milieu d'un segment, centre de gravité.
Prop : transitivité dans le calcul du barycentre.
Application : les médianes d'un triangle s'intersectent en le centre de gravité.

Définition d'une application affine. Exemple : translation