L3 géométrie - Compte rendu de séance - 28
octobre 2005
<16 étudiants présents>
Partiel lundi 7 novembre. Au
programme : les 5 premiers cours et les trois premières feuilles
de TD (corrigés sur le web promis)
5ème cours : Géométrie affine
(suite)
Barycentres et sous-espaces affines
Prop : Soient A_0,...,A_n points d'un espace affine X. L'ensemble des
barycentres des A_i coïncide avec le sous-espace affine
engendré par les A_i
Lemme : G barycentre des A_i <=> \V{A_0G} est combinaison
linéaire des \V{A_0A_i}
Coordonnées barycentrique d'un point de X lorsque (A_0,...,A_n)
est un repère affine de X. Unicité des coordonnées
à un facteur multiplicatif près.
Exemple : A,B points distincts de X ; droite (AB) et barycentres des
points A,B.
Applications affines
Rappel de la définition. Caractérisation avec une origine
de X. unicité de la partie linéaire.
Exemple : translation de vecteur \V{u}, homothétie de centre A
et de rapport \alpha.
Prop : composée de deux applications affines, réciproque
d'une application affine bijective (voir TD feuille 3)
Prop (Alg. Linéaire) : injectivité, bijectivité
d'une application linéaire E->E et noyau.
Prop : préservation du barycente par une application affine.
Réciproque (voir TD feuille 3).
Prop : Soit f X->Y application affine de partie linéaire
\varphi. L'image par f d'un sous-espace affine non vide F est un
sous-espace affine de direction \varphi(\V{F}).
Image réciproque d'un sous-espace affine.
Corollaire :
préservation de l'alignement