L3 géométrie - Compte rendu de séance - 4 novembre 2005
<13 étudiants présents>

Corrigé des questions de cours de l'interrogation du 27 octobre

6ème cours : applications affines (suite)

Choix d'une origine et applications affines
Soient X,Y deux espaces affines non vides, f:X->Y une application affine de partie linéaire \varphi, O un point de X (origine). Alors pour tout point M dans X on a f(M)=f(O)+\varphi(\V{OM}). On en déduit immédiatement la :
Prop : f est injective ssi \varphi est injective. f est surjective ssi \varphi est surjective.

Etude des points fixes
Soient X un espace affine non vide et f:X->X une application affine de partie linéaire \varphi. Un point M est dit point fixe si f(M)=M. On note \cal{F} l'ensemble des points fixes de f.
Prop : a) \cal{F} est vide ou est un sous-espace affine de direction Ker(\varphi-Id).
          b) Si l'espace affine X est de dimension finie et si l'application \varphi-Id est injective alors \cal{F} est un point.
preuve : On choisit une origine de X et on traduit l'identité f(M)=M à l'aide de \varphi.

Exemple : 1) Si f est une translation de vecteur u alors \varphi-Id est l'application nulle, \cal{F} est vide si u est non nul, X entier si u est nul.
                2) Si f est une homothétie de centre A de rapport k, alors \varphi-Id est injective si k est différent de 1 et l'application nulle si k=1. \cal{F} est formé du seul point A si k est différent de 1 et est X entier si k=1.

Application : La composée d'une homothétie de centre A de rapport k avec une homothétie de centre B de rapport k' est une homothétie de rapport kk' si kk' est différent de 1, une translation si kk'=1.

Expression dans un repère cartésien
Soit f:X->Y une application affine de partie linéaire \varphi. Supposons choisis un repère cartésien (O,e_1,...,e_n) de X et un repère cartésien (O',f_1,...,f_p) de Y. On traduit en coordonnées l'identité f(M)=f(O)+\varphi(\V{OM}) à l'aide des coordonnées de M dans le repère de X, des coordonnées de f(O) dans le repère de Y et de la matrice de \varphi dans les bases (e_1,...,e_n) et (f_1,...,f_p).

Repères affines
Soit X un espace affine muni d'un repère affine (A_0,...,A_n). Soit (B_0,...,B_n) une famille de n+1 points de Y.
Prop : Il existe une et une seule application affine f:X->Y telle qu'on ait f(A_i)=B_i pour tout i dans {0,...,n}.