L3 géométrie - Compte rendu de séance - 18
novembre 2005
<15 étudiants présents>
7ème cours : Quelques applications
affines
Applications affines entre droites
Prop Soient X,Y
deux droites affines et f:X->Y une application.
a) On suppose que f est
affine, alors f est constante ou bijective.
b) On suppose que f est
injective, alors f est affine si et seulement si f conserve le rapport
des mesures algébriques.
Prop Soit X un espace
affine non vide et f:X->X une application affine de partie
linéaire \varphi. Alors f est une translation si et seulement si
\varphi est l'identité.
Prop Soient X une
droite et f:X->X une application affine de partie linéaire
\varphi, alors f est une homothétie (si \varphi est
différent de l'identité) ou une translation (si \varphi
est l'identité).
Preuve en utilisant le
théorème de point fixe : si \varphi n'est pas
l'identité alors, parce que X est de dimension 1, f admet un et
un seul point fixe.
Rq : L'identité
de X est à la fois une homothétie (de rapport 1 et de
centre n'importe quel point de X) et une translation (de vecteur nul).
Expression en
coordonnée : Soit f:X->Y une application affine entre
droites de partie linéaire \varphi. Soit (O,u) un repère
cartésien de X et (O',v) un repère cartésien de Y.
Soient (a) la matrice de \varphi dans les bases (u) et (v). (Autrement
dit \varphi(u)=av.) Soit b l'abscisse de f(O) dans le repère
(O',v).
Pour M un point de X on note x son abscisse dans le repère (O,u)
et y l'abscisse de f(M) dans le repère (O',v). Alors on a y=ax+b.
Traduction en terme de "carte" de X et Y : Le couple (0,1) est le
repère affine canonique de la droite affine R. Il existe une et
une seule application affine \phi_X: R->X qui envoie 0 sur O et 1
sur O+u. De même il existe une unique application affine
\phi_Y:R->Y qui envoie 0 sur O' et 1 sur O'+v. Les applications
\phi_X et \phi_Y sont bijectives. La compos (\phi_Y)^{-1}\circ f \circ
\phi_X est une application affine R -> R.
Prop : Cette
composée est l'application x |-> ax+b.
Projections affines
Rappel d'algèbre
linéaire : somme directe de deux sous-espaces vectoriels
et projecteurs.
Soient X un espace affine et F,G deux sous-espaces affines non vides de
X. On suppose que la direction de X est la somme directe des directions
de F et de G. On sait alors que l'intersection de F et de G est
formée d'un et d'un seul point qu'on note A.
Notons \V{F} et \V{G} les directions de F et de G, et p l'application
linéaire égale au projecteur d'image \V{F} de noyau \V{G}.
On définit l'application affine p_{F,G} comme l'application M
|-> A+p(\V{AM}). On l'appelle projection sur F parallèlement
à G.
Prop : p_{F,G}(M) est
caractérisé par : p_{F,G}(M) appartient à F et le
vecteur \V{Mp_{F,G}(M)} est dans la direction de G.
Exemple : projections
affines du plan.
Application au théorème de Thalès : Soient X un
espace affine, H un hyperplan de X et D, D' deux droites non
parallèles à H. Notons i l'inclusion de D dans X ; c'est
une application affine de partie linéaire l'inclusion de la
direction de D dans celle de X.
La composée p_{D',H} \circ i est une application affine de D
dans X d'image incluse dans D'. Elle n'est pas constante donc
préserve le rapport des mesures algébriques.