L3 géométrie - Compte rendu de séance - 18 novembre 2005
<15 étudiants présents>

7ème cours : Quelques applications affines

Applications affines entre droites
Prop Soient X,Y deux droites affines et f:X->Y une application.
        a) On suppose que f est affine, alors f est constante ou bijective.
        b) On suppose que f est injective, alors f est affine si et seulement si f conserve le rapport des mesures algébriques.
Prop Soit X un espace affine non vide et f:X->X une application affine de partie linéaire \varphi. Alors f est une translation si et seulement si \varphi est l'identité.
Prop Soient X une droite et f:X->X une application affine de partie linéaire \varphi, alors f est une homothétie (si \varphi est différent de l'identité) ou une translation (si \varphi est l'identité).
Preuve en utilisant le théorème de point fixe : si \varphi n'est pas l'identité alors, parce que X est de dimension 1, f admet un et un seul point fixe.
Rq : L'identité de X est à la fois une homothétie (de rapport 1 et de centre n'importe quel point de X) et une translation (de vecteur nul).

Expression en coordonnée : Soit f:X->Y une application affine entre droites de partie linéaire \varphi. Soit (O,u) un repère cartésien de X et (O',v) un repère cartésien de Y. Soient (a) la matrice de \varphi dans les bases (u) et (v). (Autrement dit \varphi(u)=av.) Soit b l'abscisse de f(O) dans le repère (O',v).
Pour M un point de X on note x son abscisse dans le repère (O,u) et y l'abscisse de f(M) dans le repère (O',v). Alors on a y=ax+b.
Traduction en terme de "carte" de X et Y : Le couple (0,1) est le repère affine canonique de la droite affine R. Il existe une et une seule application affine \phi_X: R->X qui envoie 0 sur O et 1 sur O+u. De même il existe une unique application affine \phi_Y:R->Y qui envoie 0 sur O' et 1 sur O'+v. Les applications \phi_X et \phi_Y sont bijectives. La compos (\phi_Y)^{-1}\circ f \circ \phi_X est une application affine R -> R.
Prop : Cette composée est l'application x |-> ax+b.

Projections affines
Rappel d'algèbre linéaire : somme directe de deux sous-espaces vectoriels et projecteurs.
Soient X un espace affine et F,G deux sous-espaces affines non vides de X. On suppose que la direction de X est la somme directe des directions de F et de G. On sait alors que l'intersection de F et de G est formée d'un et d'un seul point qu'on note A.
Notons \V{F} et \V{G} les directions de F et de G, et p l'application linéaire égale au projecteur d'image \V{F} de noyau \V{G}.
On définit l'application affine p_{F,G} comme l'application M |-> A+p(\V{AM}). On l'appelle projection sur F parallèlement à G.
Prop : p_{F,G}(M) est caractérisé par : p_{F,G}(M) appartient à F et le vecteur \V{Mp_{F,G}(M)} est dans la direction de G.

Exemple : projections affines du plan.
Application au théorème de Thalès : Soient X un espace affine, H un hyperplan de X et D, D' deux droites non parallèles à H. Notons i l'inclusion de D dans X ; c'est une application affine de partie linéaire l'inclusion de la direction de D dans celle de X.
La composée p_{D',H} \circ i est une application affine de D dans X d'image incluse dans D'. Elle n'est pas constante donc préserve le rapport des mesures algébriques.