L3 géométrie - Compte rendu de séance - 25 novembre 2005

8ème cours : Quelques applications affines (suite et fin)

Homothéties-translations
Dans tout ce qui suit, X est un espace affine.
Prop Soit f : X -> X une application affine de partie linéaire \varphi. Alors f est une translation ssi \varphi est l'identité.
Prop Soit f : X -> X une application affine de partie linéaire \varphi. Alors f est une homothétie ou une translation ssi il existe \lambda dans R tel que \varphi soit \lambda Id.
 Preuve : on utilise le théorème d'existence de point fixe)
Cor : La composée de deux homothéties-translations est une homothétie-translation.
Prop : Soient E un espace vectoriel et \varphi une application linéaire E-> E, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
  (i) tout élément de E est vecteur propre de \varphi
  (ii) Il existe \lambda tel que \varphi soit \lambda Id. (On dit que \varphi est une homothétie vectorielle.)
Cor Soit f : X -> X une application affine alors f est une homothétie ou une translation ssi pour toute droite D de X, f(D) est un point ou une droite parallèle à D.

Prop Soient X un plan affine et f : X -> X une application d'ensembles. On suppose que pour toute droite D de X f(D) est une droite parallèle à D, alors f est une homothétie (de rapport non nul) ou une translation.
 Preuve : voir la feuille de TD  no 4.


Géométrie affine euclidienne

Rappel sur les espaces vectoriels euclidiens (ils seront toujours supposés de dimension finie)
Déf. produit scalaire, espace vectoriel euclidien
Ex : R, R^2, R^n, orthogonalité de deux vecteurs, de deux sous-espaces vectoriels.
Déf. pour F un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien E, on note F^\perp l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous les vecteurs de F.
Prop E est somme directe de F et de F^\perp (parce que E est de dimension finie).
Prop Une famille de vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux est libre.
Norme d'un vecteur, inégalité triangulaire
Bases orthonormées (BON), coordonnées d'un vecteur dans une BON.

Espace affine euclidien
Déf : C'est un espace affine réel de dimension finie  dont la direction est munie d'un produit scalaire.
Orthogonalité de deux sous-espaces affines d'un espace affine euclidien.
Repère orthonormé
Distance, inégalité triangulaire, théorème de Pythagore
Déf : distance entre deux sous-espaces affines.