| Cours du 27 septembre :
Présentation du cours . 1er cours : Rappel espace vectoriel. Translation dans un ev. Sous-espace affine passant par un point et de direction donnée. Egalité de sous-espaces affines. Exemples : droite et plan de R^2 et R^3 donnés par des équations. Parallélisme, exemple : droite parallèle à un plan dans R^3. Cours du 4 octobre : Tout sous-espace affine s'écrit {x\in E, f(x)=y} et réciproquement. Repère cartésien d'un espace vect. , d'un sous-espace affine, paramétrage du sous-espace affine, cas de la droite : vecteur directeur, mesure algébrique sur la droite, parallélisme. Equation d'un sous-espace affine dans une base de E, exemple : droite dans R^2, vecteur directeur et parallélisme, hyperplans affines (nature de l'ens des solutions de a_1x_1+...+a_nx_n=b). Définition : barycentre de n points pondérés. Cours du 11 octobre : Intersection de deux sous-espaces affines (condition pour qu'elle soit non vide, pour qu'elle soit un point, exemple : illustration avec deux droites dans R^2 puis dans R^3, l'une donnée par des équations, l'autre par deux points, Rq utilisation d'un parametrage de la seconde). Barycentre et sous espace affine engendré par n points, exemple : <A,B> où A=(1,0) et B=(0,1) dans R^2. Application affine d'un sous-espace affine de E dans un sous-espace affine de E' ; exemple : R -> R, x -> 2x+3, projection d'une droite de R^2 sur une autre droite de R^2 parallèlement à l'axe des abscisses avec choix d'un repère de chacune des droites d'origine l'intersection des droites. Cours du 18 octobre : Composées, restrictions d'applications affines. Image, image réciproque d'un sous-espace affine par une application affine (F ss-esp.aff. d'un ev E, F' de E', f:F->F' application affine, G ss-esp aff de F, G' de F' et on s'intéresse à f(G), f^{-1}(G')). f^{-1}(G') est non vide si G' est non vide et si la partie linéaire de f est surjective. Application à l'ensemble des points fixes d'une application F->F (Ker(partie linéaire - Id) dans le cadre dimension finie pour pouvoir appliquer le thm du rang). Exemples : points fixes d'une translation de R, d'une rotation de R^2 donnée en coordonnées, d'une symétrie axiale donnée en coordonnées. Quelques familles d'applications affines : translations, homothétie, caractérisation par la partie linéaire, composée de telles applications, image d'un sous-espace affine par une telle application. Cours du 26 octobre : Calcul du centre de la composée d'une homothétie et d'une translation. Image d'un sous-espace affine par une homothétie ou une translation ; application au théorème de Thales dans le plan. Projection sur F parallèlement à G lorsque les directions de F et de G sont en somme directe. Expression matricielle sur un exemple dans R^3 (projection sur une droite donnée par 2 points parallèlement à un plan donné par une équation). Applications affines entre droites. Application au théorème de thales en dimension quelconque. Cours du 2 novembre (1 heure) : Déf. symétrie relative à deux ss espaces affines dont les directions sont en sommes directes. Retour sur les barycentres : l'application {(x_0,...,x_n) \in R^{n+1}, \sum x_i=1} -> E, (x_0,...,x_n) \mapsto Bar((A_0,x_0)...,(A_n,x_n)) est affine ; son image est le sous-espace affine engendré par les A_i. Position relative du barycentre de deux points par rapport à ces points, segment, introduction à la convexité. Transitivité dans le calcul du barycentre, exemple : point de concours des trois medianes d'un triangle. Cours du 9 novembre : Géométrie euclidienne : Rappel espace vectoriel euclidien ; ex produit scalaire canonique sur R^n, la forme bilinéaire de matrice (1 1 \\ 1 4) dans R^2 est un produit scalaire; base orthonormée. Norme, inégalité de Cauchy-Schwartz et inégalité triangulaire ; thm de Pythagore. Espace affine euclidien comme sous-esp. affine d'un ev euclidien ; distance, inegalite traingulaire, cas d'égalité. Projection orthogonale ; Ex projection d'un point sur une droite donnée par deux points dans R^2 puis dans R^3, projection d'un point sur un plan de R^3 donné par une équation. Distance d'un point à un sous-espace affine. Cours du 23 novembre : Isométrie d'un espace affine euclidien : Symétrie orthogonale s_P par rapport à un sous-espace affine P d'un espace affine euclidien ; expression avec le choix d'une origine sur P ; s_P préserve les distances. Hyperplan médiateur de deux points distincts. Thm : F espace affine euclidien de dim n, f: F -> F application d'ensembles préservant les distances alors il existe k<=n et H_0,...,H_k hyperplans de F tels que f=s_{H_k}...s_{H_0}. Ex : isométries de la droite euclidienne = Id, symétries centrales et translations. Etude des isométries de R^2 via la matrice dans une BON de leur partie linéaire : de la forme (cos t, -sint \\ sin t, cos t) si le déterminant de la partie linéaire est 1, de la forme (cost t, sint t \\ sin t, -cos t) si le déterminant est -1. Valeurs propres, espaces propres de la partie linéaire. Cours du 30 novembre : Caractérisation d'une isométrie par son expression matricielle dans un repère orthonormé. Rappel sur la recherche de point fixe (cf TD feuille 3 ex 5). Application au plan affine euclidien : un déplacement est soit une translation, soit admet un unique point fixe et est une rotation. Un antidéplacement est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation parallèlement à l'axe (donc n'admet pas de point fixe en général). Etant donnés A,B,C,D tels que AB=CD >0 il existe un déplacement et un seul transformant A en C et B en D (d'abord cas vectoriel). L'ensemble des rotations vectorielles est un groupe isomorphe à R/2\piZ. Conjugaison d'un endomorphisme orthogonal par un autre en dimension 2. Dépendance de l'angle d'une rotation en le RON choisi. Cours du 5 décembre : Rappel : pour E plan vectoriel euclidien, rotation vectoriel d'angle theta relativement au choix d'une BON (e_1,e_2). Relation "avoir même orientation que" entre bases orthonormées d'un plan vectoriel euclidien. Déformation continue d'une BON en une autre BON ayant la même orientation. (e_1,e_2) et (e_2,e_1) ont une orientation opposée et donnent les deux orientations de E. Commentaire sur l'orientation de l'espace ambiant. L'angle d'une rotation vectorielle de E ne dépend que du choix de l'orientation. Orientation d'un plan affine euclidien ; rotation de centre A d'angle theta relativement au choix de l'orientation. Angles orientés de deux vecteurs non nuls d'un plan vectoriel orienté : (u,v) est d'angle theta si r_theta (u/||u||)=v/||v||. Relation de Chasles : si (u,v) est d'angle theta et (v,w) est d'angle theta' alors (u,w) est d'angle theta+theta'. Terminologie : angle nul, angle plat, angles droits. Prop : (u|v)=||u||.||v||.cos(theta). Det_(e_1,e_2) (u,v)=||u||.||v||.sin(theta). Lien avec la projection orthogonale de v sur Vect(u) et de v sur l'orthogonal de Vect(u). Cours du 13 décembre : prop (u,v) et (u',v') définissent le même angle ssi il existe une rotation vectorielle r telle que r(u/||u||)=v/||v|| et r(u'/||u'||)=v'/||v'||. Cours du 14 décembre : |
Feuille de TD no 1 (28
sept)
. Corrigé : voir ceux des feuilles 1 et 2 de 2005-2006. Interrogation du 5 oct. Feuille de TD no 2 (5 oct). Corrigé sauf ex. 5 : voir ceux des feuilles 2 et 3 de 2005-2006. Interrogation du 19 octobre. Feuille de TD no 3 (19 oct). Interrogation du 9 novembre. Sujet du partiel du 16 novembre et un corrigé. Notes suivant barème (anonyme). (5 dec) Feuille de TD no 4 (16 nov). Feuille de TD no 5 (30 nov). Interrogation du 7 décembre. sujet de l'examen du 11 janvier et un corrigé. Notes. Notes finales (16 fev). Sujet de l'examen de deuxième session (juin 2007). |