Réduction des endomorphismes, endomorphismes nilpotents

Références :

Bourbaki, Algèbre chap VII.5

Une méthode effective pour la décomposition de Dunford par D. Ferrand (préparation de Rennes)
Autour du théorème des invariants de similitude par G. Vial (idem)
Quelques compléments concernant les invariants de similitude par A. Ducros (idem)

Quelques exercices sur les endomorphismes nilpotents :
Ci-dessous $V$ est un espace vectoriel de dimension finie.
    1. Quelle relation a t-on entre l'indice d'un endomorphisme nilpotent et son rang ?
    2. Soit $f$ un endomorphisme de $V$. On sait que la suite de sous-espaces vectoriels $(Im(f^n))$ est stationnaire à partir d'un certain rang. Quelle est sa limite ? Même question avec la suite $(Ker(f^n))$.
    3. Soit $f$ un endomorphisme nilpotent de $V$. Montrer qu'il existe un endomorphisme $g$ tel que $gf-fg=f$. La réciproque est-elle vraie ?
    4. Montrer que sous une condition sur le corps à préciser un endomorphisme $f$ de $V$ est nilpotent si et seulement si la trace de $f^n$ est nulle pour tout $n$ compris entre $1$ et la dimension de $V$.
    5. (Plus difficile.) Soient $k$ un corps et $S$ un sous-ensemble de $GL_n(k)$. On suppose qu'il existe un entier $m$ tel que tout élément de $S$ est d'ordre fini $\leq m$ (<= m). Montrer que l'ensemble $T$ des traces des éléments de $S$ est fini. Que se passe t-il si on suppose seulement que chaque élément de $S$ est d'ordre fini ?