1. Quelques références

[Demazure, cours d’algèbre]

[Perrin, cours d’algèbre, ch III] (avec entre autre irréductibilité des polynômes et réduction modulo p, racines de l’unité et polynômes cyclotomiques, et dans les exercices : groupe de Galois de F_q sur F_p, dénombrement des polynômes irréductibles sur F_p.)

[Serre, cours d’arithmtique, chap I] (existence et unicité des corps finis, structure du groupe multiplicatif, théorème de Chevalley, loi de réciprocité quadratique).

2. Questions à l’oral

• A quoi ressemble le groupe additif de F_q ?
• Combien y a t-il de structures d’anneau sur Z∕qZ compatibles avec la structure de groupe abélien canonique ? Z∕qZ est il intègre pour une telle structure ?
• Soit K un corps de caractéristique p. Combien y a t-il de sous-corps de K isomorphes à F_p ?
• K de caractéristique p. Que peut on dire si le Frobenius (xx^p) est l’identité ? Le Frobenius peut-il ne pas être un isomorphisme ?
• Trouver un générateur du groupe multiplicatif de F_q pour q = 4, 5, 9.
• Pourquoi étudie t-on les carrés dans F_q ?
• Quelle est la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique du Frobenius F_pⁿ → F_pⁿ vu comme endomorphisme de F_p-espace vectoriels ?
• Soit x un générateur de F_pⁿ. Quelle est la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique de la multiplication par x, vue comme endomorphisme de F_p-espaces vectoriels ?
• Combien y a t-il d’automorphismes de corps F_q → F_q ?

3. Une application amusante : impossibilité de certaines configurations du jeu du solitaire ([Alessandri, groupes en situation géométrique, Masson] p 25).

On considère une configuration de billes sur un plateau qu’on modélise par une partie finie F de Z². A cette configuration on associe le nombre , où p est un “nombre” (c’est à dire un élément d’une certaine algèbre) qu’on va construire. On veut que le nombre associé à la configuration soit non trivial et invariant par les mouvements du jeu. Ceci est vérifié si p vérifie 1 + p + p² = 0 et 2p = 0. On reconnait là une racine primitive 3ème de l’unité en caractéristique 2, donc ce nombre existe dans F₄.