1. Deux questions qu’on devrait se poser avant d’écrire un plan et dont les réponses rendront plus vivante la présentation du plan :

• Comment apparaissent les formes quadratiques en mathématiques ?

  Quelques réponses : Différentielle seconde d’une application, développement de Taylor, courbure d’une surface dans Rⁿ ;

  Distance en géométrie affine euclidienne

• A quoi servent les formes quadratiques ?

  Penser à l’analyse : forme locale du graphe d’une fonction et problèmes de minima locaux, polynômes orthogonaux et approximation des fonctions,..

  à la théorie des nombres : racines d’un polynôme et trace,..

  à la géométrie des groupes classiques : sous-groupe compact maximal, représentations linéaires des groupes compacts

  à la géométrie différentielle : forme locale d’une surface de Rⁿ, courbure globale et classification.

  à la mécanique newtonienne : méthode du repère mobile, mouvement du solide.

  à la géométrie classique : coniques, distances et angles en lien avec le groupe orthogonal

2. Quelques références

[Serre, cours d’arithmétique] en particulier le chap. 4,

[Perrin, cours d’algèbre] chap 5 à 8,

Quelques textes sur le site de la préparation de Rennes qui fournissent matière à développement, en particulier :

Comptage de racines et signatures de formes quadratiques par M. Coste ; Trace, formes quadratiques et extensions de corps par Y. Coudene ; Diagonalisation des auto-adjoints par Annette Paugam ; Opérations élémentaires, Décompositions de matrice, Orthonormalisation de Gram-Schmidt par Annette Paugam

3. Exercices à l’oral

1) Donner l’expression de la forme bilinéaire associée à q(x,y,z) = xy + yz + zx. Quelle est sa matrice dans la base canonique ?

2) Sur Q trouver une base orthogonale pour les formes quadratiques xy + yz + zx et (x - y)² + (y - z)² + (z - x)².

L’écriture de ces formes comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes est elle unique ?

Sur R trouver une base orthogonale pour xy + yz + zx qui soit orthonormée pour le produit scalaire canonique de R³.

3) Soit q de matrice dans la base canonique de k². Déterminer le groupe orthogonal O(q).

4. Quelques idées de développements

Droites de régression en dimension 3 : Soient M₁,…,M_n des points de R³. On cherche une droite D = D(A,u) telle que

soit minimal.

Si u est de norme 1 on a . On observe alors :

• où G est l’isobarycentre des M_i et H est le projeté orthogonal de G sur D.
• est une forme quadratique positive. On étudie .

Exemple : A = (1, 0), B = (2, 0), C = (0, 3) dans R² qu’on plonge dans R³. Déterminer D.

Généralisation à Rⁿ ? aux sous-espaces de dimension d de Rⁿ ?

Orthonormalisation de Gramm-Schmidt et inégalité d’Hadamard,