{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 256 "" 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" 
-1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 
-1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "
" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "
" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 11 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
}1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 11 259 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 10 "IMAFA-ESSI" }}{PARA 256 
"" 0 "" {TEXT -1 52 "Processus Stochastiques Finis de la Finance - TD \+
n\2601" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT 256 30 "(c)1997 M. Diener - UNSA, CN
RS" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Bonj
our!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 162 "Vous \352tes en communication av
ec Maple (version V.4). Maple est un calculateur docile, rapide, exact
 (autant de qualit\351s que l'auteur de ces lignes n'a jamais eu)." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 253 "Maple est programm\351 pour apprendre bi
en des choses; mais attention, d\350s que vous lui avez appris quelque
chose, il ne l'oubliera pas (durant toute la session, c'est-\340-dire \+
tant que vous n'avez pas cliqu\351 sur les commandes de menu  File-Exi
t, ou Ctrl-F4)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 224 "Voici comment nous al
lons apprendre a Maple que le prix d'exercice K d'une option Europ\351
ene sur un actif S est egal \340 160: [d\351placez votre curseur sur l
a ligne suivante, et validez, en appuyant sur la touche \"return\" (<-
-')]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "K:=160;" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 656 "Observez que Maple a accus\351 reception
 en retournant le message que maintenant K vaut (:=) 160 pour lui. Si \+
vous n'avez jamais utilis\351 Maple, il est important de prendre consc
ience du point-virgule qui suivait l'instruction d'affectation; c'est \+
\340 la fois un message informant que l'instruction est achev\351e, et
 un \"format d'affichage\"; tant que ce (;) n'est pas venu -un (:) pou
rrait aussi convenir- Maple attend patiemment la suite... . Essayez en
 commen\347ant \340 lui expliquer que la valeur actuelle S0 de l'actif
 vaut 140  [d\351placez votre curseur sur la ligne suivante, et valide
z. Ne tapez le (;) lib\351rateur qu'apr\350s avoir observ\351 la non r
\351action de Maple!]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "S0:
=140" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 195 "Passons aux choses s\351
rieuses. Nous voulons apprendre \340 Maple que l'\351volution de l'act
if d'un jour sur l'autre ne peut que se faire par multiplication d'une
 quantit\351  up  ou d'une quantit\351  down ;" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 86 "que  n compte les jours, et que  j  compte le nombre de  \+
up . Voici ce que cela donne:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 14 "S:= proc(n,j);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "if n=0 then
 S0    " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "elif j=0 then evalf(S(n-
1,0)*down)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "else evalf(S(n-1,j-1)
*up) fi" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end;" }}}{EXCHG {PARA 
258 "" 1 "" {TEXT -1 23 "Observons cet exemple: " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 72 "Une fonction s'appelle une  proc\351dure; elle se d\351cl
are selon une syntaxe" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "   proc (variabl
es)  expression-Maple end;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Pour en sav
oir plus, tapez (ou validez ci-dessous) la commande d'aide  ?proc;" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Notez aussi la structure \340 alternative
s multiples" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "   if    then   [ [elif   \+
then  ] then  ]   fi" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 316 "Il y a aussi une
 myst\351rieuse fonction  evalf : elle provoque, quand cela est posibl
e, une  \351valuation en virgule flottante; en effet, Maple -comme un \+
bon calculateur- ne passe en calcul approch\351 que lorsque cela lui e
st demand\351; pour ce que nous avons en vue aujourd'hui, un calcul ap
proch\351 sera souvent plus utile !" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 6 "?proc;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "?i
f;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "?evalf" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Ceci dit, voyons ce que vaut  S(8,3)  ...
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "S(8,3);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 162 "H\351 oui, il nous faut \340 pr\351sent \+
choisir des valeurs pour  up  et down; [validez les lignes ci-dessous,
 en vous rem\351morant le mod\350le binaire de Cox-Ross-Rubinstein]" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "d:=100;" }}}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "delta_t:=evalf(1.0/d);" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "sigma:=0.4;R:=ln(1+.1247); mu:=R*1.3;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "up:=1+sigma*sqrt(delta_t)+mu
*delta_t;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "down:=1-sigma*
sqrt(delta_t)+mu*delta_t;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "R
\351essayons:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "S(8,3);" }}
}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Repr\351sentons une \351volution \+
possible de S pour t=0..1 :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
23 "pileouface:=rand(0..1):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
31 "jj:= proc (i) options remember;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
42 "if i=0 then 0 else jj(i-1)+pileouface() fi" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 4 "end;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Ce que no
us pouvons \340 pr\351sent repr\351senter. Chargeons tout d'abord la l
ibrairie  plottools:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "wit
h(plottools):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "puis fabriquons \+
une suite (seq) de segments (line) joignant les points [i,s(i)] [i+1,s
(i+1)]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "marche:=" }}{PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "seq(line([i,S(i,jj(i))],[i+1,S(i+1,jj(i+1
))],color=red),i=0..d-1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Et d
essinons..." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plots[displa
y](marche);" }}}{EXCHG {PARA 259 "" 1 "" {TEXT 257 103 "Probl\350me: d
essiner l'arbre binaire complet (c'est-\340-dire toutes les trajectoir
es possibles),  avec  d=6" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 72 "Pour finir, reflechissons un peu \340 la nature r\351curs
ive de la fonction S." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Pour cela examin
ons plus simplement la fonction  n!:=n*(n-1)! Appelons-la fact(n); ain
si:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "fact:= proc (n);" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "if n=0 then 1 else n*fact(n-1) fi" 
}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 11 "fact(1000);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 277 "
H\351 oui! le nombre de niveau de r\351cursions est fortement limit
\351 (je souhaiterais d'ailleurs savoir si ce nombre est redefinissabl
e; il semble qu'il d\351pende notament de l'implentation utilis\351e. \+
Si vous n'avez rencontr\351 aucun probl\350me avec fact(1000), r\351es
sayez avec fact(10000))." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 202 "Il y a une m
ani\350re de largement soulager la t\342che d'une fonction recursive: \+
c'est de lui adjoindre une table des valeurs qu'elle a d\351j\340 calc
ul\351 ant\351rieurement. Ceci se fait au moyen de  options remember" 
}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 247 "plac\351 imm\351diatement apr\350s la \+
liste des variables, comme cela a \351t\351 fait dans la d\351finition
 de la fonction  s(i) plus haut. Le moment est d'ailleurs sans doute v
enu, si ce n'est d\351j\340 fait, d'analyser la mani\350re dont cette \+
fonction a \351t\351 programm\351e." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 36 "factrem:= proc (n) options remember;" }}{PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "if n=0 then 1 else n*factrem(n-1) fi" }}{PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 13 "factrem(500);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "fa
ctrem(1000);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "?remember" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "?seq" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "36 0 0" 271 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 
1803 }