Je me suis intéressé aux thèmes suivants:
. Equations de type Navier-Stokes
. Equations elliptiques dégénérées du second
ordre
. Couplages non linéaires
elliptique-elliptique
Equations de
type Navier-Stokes
J'ai participé (en 2002-2005) à un projet
avec N.
Hungerbuehler de
l'université de Fribourg, intitulé ' Young
measure method for non linear PDEs: perspectives in
applied and numerical analysis'.
Nous avons considéré un problème de
Navier-Stokes dans lequel le tenseur de viscosité dépend
directement de la vitesse du fluide. Ce modèle permet de
mieux décrire l'écoulement de fluides
électrorhéologicaux, pour lesquels la viscosité dépend
très fortement du champs électrique E ambient (et
en particulier de l'angle entre la vitesse du fluide et
E, voir R.H. Hoppe, W.G. Litvinov: 'Problems on
electrorheological fluid flows, Commun. Pure Appl. Anal.
3 (2004), nº4, 809-848).
De tels fluides sont utilisés dans
la conception de nouvelles technologies (nouveaux types
de suspension pour véhicules,..)
Nous avons établi des résultats
d'existence de solution faible pour des problèmes
d'écoulements de fluides électrorhéologicaux. D'un point
de vue technique nos preuves utilisent des résultats
fins issus de la théorie des mesures de Young. Ces
résultats sont présentés dans les deux publications ci
dessous:
[A3] P. Dreyfuss, N. Hungerbühler:
'Results on a Navier-Stokes system with applications to
electrorheological fluid flow', Int. J. Pure Appl. Math.
2004 14, nº2: 241-271. télécharger
l'article
[A4] P. Dreyfuss, N. Hungerbühler:
'Navier-Stokes system with quasimonotone viscosity
tensor', Int. J. Differ. Equ. Appl. 2004
9, nº1: 59-79. télécharger l'article
Equations elliptiques dégénérées du second
ordre
J'ai établi
des résultats de régularité de la solution faible pour
une classe d'équations elliptiques du second ordre dont
les coefficients peuvent être non bornés. Les propriétés
de régularité étudiés sont: caractère borné, degré
d'intégrabilité du gradient, hölder
continuité.
Les techniques s'inspirent de
travaux de Gianquinta-Modica. Des résultats de G.
Stampacchia sont aussi utilisés.
[A5] P. Dreyfuss: 'higher integrability
of the gradient in degenerate elliptic equations', Potential Analysis 2007 26:101-119. télécharger
l'article
Couplages non linéaires
elliptique-elliptique
Dans ma thèse (chap. 3), j'ai
analysé un problème elliptique-elliptique issu du
chauffage par induction. L'existence d'une
solution a été obtenue en utilisant une technique
de point fixe. Sous des hypothèses additionelles je
prouve qu'il y a aussi unicité.
[D1] P. Dreyfuss: 'Analyse
numérique d'une méthode intégrale sans singularité -
Application à l'électromagnétisme', thèse EPFL, sept.
1999. télécharger ma
thèse
Plus récemment, j'ai analysé un
problème issu de l'océanographie. Ici les coefficients
(viscosités) par lesquels intervient le couplage peuvent
devenir infinis. De plus l'un des second membre n'est a
priori que dans L1. Malgré cela je montre l'existence de
solution classique dans certains cas.
[A6] P. Dreyfuss: 'Results for a turbulent system with unbounded
viscosities: weak formulations, existence of solutions, boundedness, smoothness', Nonlinear Analysis TMA
2008, 68-6: 1462-1478. télécharger l'article
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