Dans les annees 80, un probleme de Kolmogorov au sujet de l'\(\epsilon\)-entropie d'une classe de fonctions analytiques etait enonce : \[\lim_{\epsilon \to 0} \frac{H_\epsilon(A_K^D){\ln^{n+1}(1/\epsilon)} = \frac{2C(K,D)}{(2\pi)^n(n+1)!}.\] En 04, ce probleme etait resolu a l'aide de techniques de theorie du pluripotentiel et en particulier en demontrant une conjecture de Zakharyuta. Nous presenterons une nouvelle preuve du probleme de Kolmogorov, independamment de cette conjecture. Nous utiliserons le comportement asymptotique du noyau de Bergman d'un operateur de concentration et certaines proprietes des polyhedres analytiques speciaux.



C'est un travail en commun avec Oscar Bandtlow (London).

La notion d'ensemble limite périodique \(\Gamma\) (introduit par Françoise et Pugh) est centrale dans l'étude du \(16^{eme}\) problème de Hilbert. Il est bien connu que le théorème de Poincaré-Bendixson implique que : soit \(\Gamma\) est dans la liste des possibilités du théorème de Poincaré-Bendixson; soit \(\Gamma\) contient des singularités non-isolée du champ de vecteur \(X_{\lambda}\). Nous sommes intéressés à étudier le deuxième cas.



Je présente un travail en collaboration avec Jose Espin, où nous caractérisons tous les ensembles limite périodique d'une famille de champ de vecteurs polynomial et planaire. Je parlerai également d'une adaptation de notre construction pour l'étude des ensemble limite des sécantes.

Depuis les travaux remarquables de Markov en 1879 et 1880, les spectres de Lagrange et Markov (codifiant des propriétés arithmetiques des nombres irrationnels et formes quadratiques binaires indéfinies) ont était étudie par plusieurs auteurs (incluant Perron, Hall, Freiman, Cusick, Flahive, ...).



Dans cet exposé, on discutera le complementaire du spectre de Lagrange L dans le spectre de Markov M. Plus précisément, après rappeler les résultats de Freiman, Cusick et Flahive dans les années 70 et 80 montrant que M\L contient un ensemble fini dénombrable, on démontrera que la dimension de Hausdorff de M\L est strictement comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un travail en commun avec Carlos Gustavo (Gugu) Moreira.

The optimal transport problem defines a notion of distance in the space of probability measures over a manifold, the Wasserstein space. In his thesis, McCann discovered that this space is a length space: the distance between probability measures is given by the length of minimizing geodesics called displacement interpolants or Wasserstein geodesics. In 2000, Otto defined a (purely formal) Riemannian calculus allowing the computation of tangent vectors to displacement interpolants and the computation of Hessians of functionals along these geodesics.



In this talk, I will present an Eulerian calculus on Wasserstein space, which extends the Otto calculus from a purely Riemannian setting to general Lagrangians. This Eulerian calculus allows for the computation of derivatives and Hessians of functionals involving derivatives of densities, resolving a question of Villani. New first order displacement convex functionals are presented. Finally, I will show how this calculus can be made rigorous via the DiPerna-Lions theory of renormalized solutions.



This talk is based on my thesis and ongoing joint work with Almut Burchard.

We will present some basic facts on the local and global geometry of geodesics on Finsler surfaces. These properties are closely related to the notions of conjugate and cut locus. In particular, we will show how the global form of the geodesics can be obtained in the case of some special Finsler metrics and how its cut locus can be determined. The case of a Randers rotational sphere of revolution will be explained in detail.

On sait depuis les travaux de Lokhamp que toute variété Riemannienne admet une métrique à courbure de Ricci strictement négative. Ce résultat de flexibilité prend le contrepied des obstructions topologiques pour l'existence de métriques à courbure sectionnelle négative ou nulle ou à curbure de Ricci positive. Avec Stéphane Sabourau, nous avons montré qu'une métrique sur le tore à courbure de Ricci assez négative ne peut pas en plus avoir sa courbure sectionnelle majorée par une trop petite constante positive : il y a nécessairement un plan tangent à courbure sectionnelle assez positive. La méthode combine un argument classique dû à Milnor, rendu effectif par le contrôle de la norme stable sur le revêtement universel, et une inégalité de Günther généralisée démontrée en collaboration avec Greg Kuperberg. Elle permet d'obtenir des constantes complètement explicites.

Nous considérons un difféomorphisme \(f \) de classe \(C^{\infty}\) défini sur une variété compacte \(M\). Nous étudierons l'équation dite Cohomologique Linéaire au dessus de \(f\), c'est-à-dire \[

\psi \circ f - \psi = \varphi

\] où \(\varphi \in C ^{\infty} (M, \mathbb{C})\) est la fonction connue et \(\psi \in C^{\infty} (M, \mathbb{C})\) est l'inconnue. Le difféomorphisme \(f\) est dit Cohomologiquement Rigide (CR) ssi cette équation admet une solution \(\psi\), \(C^{\infty }\) lisse, pour toute fonction \(\varphi\) dans un sous-espase fermé de \(C^{\infty } (M, \mathbb{C} )\) de codimension \(1\). Cet espace de codimension \(1\) est alors le noyau d'une forme de volume lisse sur \(M\), invariante par \(f\).



Les seuls examples de difféomorphismes CR connus jusqu'alors sont les rotations Diophantiennes sur les tores, et M. Herman et A. Katok ont conjecturé qu'ils sont en effet les seuls tels difféomorphismes (à difféomorphisme de la variété \(M\) et à conjugaison du difféomorphisme \(f\) près).



Suivant à deux tentatives récentes de construire des contre exemples à la conjecture par Avila-Fayad-Kocsard et en suite par l'auteur, en mettant en oeuvre des variantes de la méthode d'approximation par conjugaison inventée par Anosov et Katok, et leur échec, nous montrerons que la méthode d'approximation rapide est essentiellement incompatible avec la Rigidité Cohomologique.



Au fur et à mesure de l'avancement de ce travail en cours, nous considérerons des applications eventuelles à la confirmation de la conjecture d'Herman-Katok dans certains contextes.

Sub-Riemannian structures can be described as limits of Riemannian ones with \(\mathrm{Ric}(g_n) \to -\infty\) and they represent, in a certain sense, the most singular case among the three great classes of metric geometries (Riemannian, Finlser, and sub-Riemannian ones). In this talk, we discuss how, under generic assumptions, these structures support interpolation inequalities à la la Cordero-Erasquin--McCann--Schmuckenschläger. As a byproduct, we characterize the sub-Riemannian cut locus as the set of points where the squared sub-Riemannian distance fails to be semiconvex. Specifying our results to the case of the Heisenberg groups, we recover in an intrinsic way the inequalities recently obtained by Balogh, Kristály and Sipos. As a further application, we obtain new and sharp results on the measure contraction properties of the standard Grushin structure. This is a joint work with Davide Barilari.

In this talk, we will describe properties of a periodic point free homeomorphism \(f\) on T2. One topological way is to study the minimal sets of \(f\), another way is to understand the rotation sets. More specifically, there are two cases. The first case is when the rotation set is a singleton (which we call a pseudo-rotation). A natural question is to ask if a totally irraional pseudo-rotation f admits a unique minimal set. While the answer to this question is in general no, we obtain results for proper conditions such that the system has a unique minimal set. Another case is the rotation set is a non-trivial line segment. In this case, we will state Franks-Misiurewicz conjecture and introduce some recent progresses. In this case, sometimes, the rotation vector is almost everywhere not well-defined. Noting that many results in this direction focused on minimal homeomorphisms, we can ask many further questions, again relating the uniqueness of minimal set.



These are part of joint works in progresses with Artur Avila, Martin Leguil and Disheng Xu.

It was conjectured by Katok and Spatzier in the '90s that all "irreducible" Anosov abelian actions of groups with rank greater than two, are essentially algebraic. Abelian actions by partially hyperbolic diffeomorphisms are not expected to be that rigid at all. However, in a large subclass of partially hyperbolic abelian actions with compact center leaves, we find that under certain irreducibility condition, actions must be smooth fibrations over algebraic actions, or the center foliation is pathological. In special case of 1-dimensional center foliation we rule out pathological center and show complete rigidity: the actions are essentially products of algebraic actions on tori and rotations on the circle. ​This is joint work with Disheng Xu.

In this talk, I will discuss some aspects of representation theory of groups acting on trees. I will briefly recall the well-known correspondence between 1-cohomology and affine isometric actions on Hilbert spaces, as well as important related properties such as Kazhdan's property (T) and Haagerup's property also known as a-T-menability. The unifying theme here is the norm growth of 1-cocycles. When a group acts on a tree, the Busemann 1-cocycle provides an interesting cohomology class for the group. The norm of the former may be bounded above using explicit tools such as the Poisson transform introduced by B. Klingler. Independently, P.-N. Jolissaint and A. Gournay obtained a sharper result for harmonic 1-cocycles. If times permit, I will discuss high-rank generalizations.

This presentation is devoted to the study of mass transportation on sub-Riemannian geometry. More precisely, our aim is to extend previous results on the well-posedness of the Monge problem to cases of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In the first part, we show that, in the case of rank-two analytic distributions in dimension four, we have existence and uniqueness of solutions for the sub-Riemannian quadratic cost, as soon as the distribution satisfies some growth condition. Our strategy to prove it, combines the technique used by Figalli-Rifford which is based on the regularity of the sub-Riemannian distance outside the diagonal in absence of singular minimizing curves, together with a localized contraction property for singular curves in the spirit of the previous work by Cavalletti and Huesmann. In a second part, we deal with regularity issues of the sub- Riemannian distance and we define a class of sub-Riemannian structures on Carnot groups, called h-ideal sub-Riemannian structures, on which the sub-Riemannian distance is h-semiconcave. Together with an assumption on the distribution, we prove heuristically the MCP property on Carnot groups. Anyway, we attempt to prove that MCP property defined on this class of Carnot groups is sufficient to apply the Cavalletti-Huesmann method to prove the well-posedness of the Monge problem.

The area of dynamical systems where one investigates dynamical properties that can be described in topological terms is called "Topological Dynamics". Investigating the topological properties of spaces and maps that can be described in dynamical terms is in a sense the opposite idea. This area is called "Dynamical Topology".







For (discrete) dynamical systems given by compact metric spaces and continuous (surjective) self-maps I will mostly be talking about two new notions: "Slovak Space" and "Dynamical Compactness". Slovak Space is a dynamical analogue of the rigid space: a nontrivial compact metric space whose homeomorphism group is cyclic and generated by a minimal homeomorphism.





Dynamical Compactness is a new concept of chaotic dynamics. The omega-limit set of a point is a basic notion in theory of dynamical systems and means the collection of states which "attract" this point while going forward in time. It is always nonempty when the phase space is compact. By changing the time we introduced the notion of the omega-limit set of a point with respect to a Furstenberg family. A dynamical system is called dynamically compact (with respect to a Furstenberg family) if for any point of the phase space this omega-limit set is nonempty. A nice property of dynamical compactness: all dynamical systems are dynamically compact with respect to a Furstenberg family if and only if this family has the finite intersection property.





Based on a work by Tomasz Downarowicz, Lubomir Snoha and Dariusz Tywoniuk, and joint works with Wen Huang, Danylo Khilko, Alfred Peris, Julia Semikina and Guohua Zhang.

It is well known that meromorphic systems of linear ODEs exhibit near an irregular singular point so called Stokes phenomenon, which is connected to the divergence of the formal normalizing transformation for the system. Similar phenomena can appear also in some non-linear settings.



My talk will be about the nonlinear Stokes phenomenon in complex time-dependent Hamiltonian systems in dimension 2 with a non-degenerate irregular singularity of multiplicity 2. Such singularity may be seen as the limit of confluence of two regular (simple) singularities in a 1-parameter perturbation and my goal is to illuminate such confluence and to explain the relation between the nonlinear monodromy of the perturbed systems and the Stokes phenomenon of the limit. In particular, this provides a general setting for the study of the degeneration of the Painleve's sixth equation to the fifth one.

In this talk, I will describe how the blow-up method can be applied to desingularize the dynamics near non-hyperbolic points in singular perturbation problems. Subsequently, I will briefly review the classical canard phenomenon and define canard solutions in systems with two or more slow dimensions, by generalizing canard cycles. Such generalized canards can be loosely classified into primary and secondary type and primary canard solutions are typically much easier to find. I will focus on secondary canard solutions and discuss how they can be found using the blow-up approach.

W. Burnside a proposé le problème suivant: Est-ce que tout groupe qui est finiment engendré et tel que tous ses éléments sont d'ordre fini est toujours fini ? Golod a montré que cette question a une réponse négative en général, c'est-à-dire il a construit un exemple d'un groupe qui est finiment engendré, tous ses éléments sont d'ordre fini et infini. Par ailleurs on ne connait pas une réponse au problème de Burnside pour groupes de homéomorphismes ou difféomorphismes d'un surface compacte et connexe. Dans cette exposé, nous montrerons une réponse positive au problème de Burnside pour certains groupes d'homéomorphismes de la sphère de dimension 2.

Quelques exemples montrant qu'il peut être fructueux de considérer un problème sur les systèmes dynamiques  autonomes  (indépendants du temps) d'un point de vue non-autonome.

On introduira d'abord la notion générale d'entropie polynomiale pour une application continue sur un espace métrique compact et on montrera qu'elle est bien adaptée au cas des systèmes hamiltoniens intégrables. On montrera ensuite que l'entropie polynomiale de l'application billard associée à une courbe plane strictement convexe est égale à 1 si et seulement si la courbe est un cercle, et est supérieure ou égale à 2 dans tous les autres cas. Les billards elliptiques (non circulaires) ont une entropie polynomiale égale à 2. Une version "dynamique" de la conjecture de Birkhoff est que ce sont les seuls.

Je vais parler du problème de linéarisation de systèmes intégrables lisses nonhamiltoniens de type "centre" (elliptique) en dimension quelconque : techniques, dicultés (si on suppose seulement des conditions faibles), et relations avec le problème général de linéarisation de systèmes intégrables non-hamiltoniens.

Je vais parler de quelques petits progrès autour de la linéarisation géométrique des systèmes intégrables, y compris la discussion sur l'hypothèse «non dégénéré», plus d'exemples non-hyperbolique (faible) dans la catégorie \(C^\infty\).

Cet exposé a pour but de donner des éléments de réponse à la question suivante : Existe-t-il un algorithme pour calculer le nombre de bouts relatifs d'un couple de groupes ? On commencera par rappeler les différentes notions abordées puis on motivera cette étude par l'analyse de l'exemple des groupes de surface. On verra ensuite que pour une certaine classe d'espaces quotients, il est possible de lire le nombre de bouts sur une sphère bien choisie. On appliquera ces résultats à la théorie des groupes et on verra éventuellement pourquoi la réponse à la question est négative en toute généralité.

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des petites valeurs propres du laplacien (c-a-d contenues dans l'intervalle [0,1/4[ ). On verra comment, sous une hypothèse de systole minorée, on peut minorer ces valeurs propres et dans certains cas montrer l'absence de petites valeurs propres non nulles.

La construction de variétés invariantes, les formes normales de singularités et leur désingularisation par éclatement sont des outils pour l’étude des champs de vecteurs. Plus précisément, ces techniques peuvent être utilisées pour obtenir une présentation locale simplifiée du champ de vecteurs, en vue d’établir quelques résultats pour les transitions le long de son flot. Par exemple, en utilisant une forme normale \(C^∞\) , il est très facile d’établir que la transition de Dulac au voisinage d’un point de selle hyperbolique de trace nulle, d’un champ de vecteurs planaire \(C^∞\), peut s’écrire sous forme:

\[x\mapsto x(1+x^2\ln x\cdot \varphi(x,x^2\ln x))\]

où \( \varphi\) est une fonction \(C^∞\). J’illustrerai plus spécialement mon exposé avec des applications aux champs de vecteurs particuliers que sont les systèmes lents-rapides, en décrivant quelques résultats concernant les bifurcations de cycles limites au voisinage de cycles canard.

Dans un travail commun avec Abed Bounemoura et Bassam Fayad, on montre que génériquement (au sens topologique ou à celui de la mesure) un tore invariant lagrangien avec une fréquence diophantienne sous le flot d'un système hamiltonien est doublement exponentiellement stable. C'est à dire qu'une solution voisine reste proche du tore sur un temps qui est doublement exponentiellement long par rapport à l'inverse de la distance au tore considéré. Ce résultat permet de prouver que dans le cas d'un système hamiltonien presque intégrable il existe un ensemble de mesure presque pleine de tores KAM qui sont doublement exponentiellement stables. Ces résultats étendent à un cadre générique un théorème de Morbidelli et Giorgilli établi dans le cas convexe.

We present the known results and remaining challenges in the study of limit cycles in the unfolding of a homoclinic loop, where the singularity is of cusp type, and present a potential new technique to advance in this direction: the unfolded cusp is studied with family blow-up, revealing a saddle connection between two hyperbolic saddles that to first order are symmetric. We present semi-local smooth and non-smooth normal forms near the saddle connection and show their relevance in determining a bound on the number of limit cycles in the unfolding of the cuspidal loop. Joint work with Jeroen Wynen.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l'espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux ; l'objectif est à présent de mieux cerner les contre-exemples à cette conjecture. Chaque groupe qui viole cette conjecture "vit" dans un certain groupe affine algébrique, qu'on peut spécifier en donnant un groupe linéaire et une représentation de celui-ci. Les représentations qui donnent lieu à des contre-exemples sont alors appelées non-milnoriennes. Je vais parler des avancées obtenues dans la question de la classification de ces représentations non-milnoriennes.

il s’agit d’un travail commun avec Patrice Le Calvez Il apparaît très souvent en dynamique des ensembles invariants qui sont des Cantor (i.e. compact totalement discontinu et sans point isolé): fers à cheval, odomètres, théorie d’Aubry-Mather…. Nous allons nous intéresser à un type particulier de ces ensembles, que nous appellerons sous-système de Denjoy. Cette notion généralise celle d’ensemble d’Aubry-Mather ainsi que le cas des contre-exemples de Denjoy. Nous établirons alors une extension du théorème de Denjoy pour les difféomorphisme du cercle: il n’existe pas de sous-système de Denjoy qui soit de classe C2. Ensuite, nous établirons quelques résultats concernant leurs exposants de Lyapunov (en relation avec leur régularité).

A mathematical billiard is a system describing the inertial motion of a point mass inside a domain, with elastic reflections at the boundary. This simple model has been first proposed by G.D. Birkhoff as a mathematical playground where ``it the formal side, usually so formidable in dynamics, almost completely disappears and only the interesting qualitative questions need to be considered''.

Since then billiards have captured much attention in many different contexts, becoming a very popular subject of investigation. Despite their apparently simple (local) dynamics, their qualitative dynamical properties are extremely non-local. This global influence on the dynamics translates into several intriguing rigidity phenomena, which are at the basis of several unanswered questions and conjectures.

In this talk I shall focus on several of these questions. In particular, I shall describe some recent results related to the classification of integrable billiards (also known as Birkhoff conjecture).

This talk is based on works in collaboration with V. Kaloshin and with G. Huang.

The problem of persistence of invariant tori in infinite dimension is a challenging problem in the study of PDEs. There is a rather well established literature on the persistence of n-dimensional invariant tori carrying a quasi-periodic Diophantine flow (for one-dimensional system) but very few on the persistence of infinite-dimensional ones. Inspired by the classical "twisted conjugacy theorem" of M. Herman for perturbations of degenerate Hamiltonians possessing a Diophantine invariant torus, we intend to present a compact and unified frame in which recover the results of Bourgain and Pöschel on the existence of almost-periodic solutions for the Nonlinear Schrödinger equation. We shall discuss the main advantages of our approach as well as new perspectives. This is a joint work with L. Biasco and M. Procesi.

Dans cet exposé, on étudie la stabilité des systèmes dynamiques holomorphes dépendants d'un paramètre. En dimension 1, la théorie est maintenant classique et basée sur les travaux de Lyubich, Mané-Sad-Sullivan et DeMarco. Je vais passer en revue cette théorie et présenter une généralisation récente valable dans n'importe quelle dimension. Puisque les techniques 1-dimensionnelles usuelles ne s'appliquent pas en dimension supérieure, notre approche repose sur des méthodes alliant théories ergodique et potentialiste.

La question de déterminer si un ensemble fini de briques permet de paver le plan euclidien est une question classique, connue pour être indécidable. Dans un travail en commun avec J-R. Chazottes et J-M. Gambaudo, on donne une interprétation géométrique de cette question. L’espace de tous les pavages possibles construits à partir de ces briques est, s’il est non vide, un espace topologique laminé porté par une « surface branchée » (complexe cellulaire de dimension 2 muni d’une structure lisse). L’existence de mesures transverses invariantes (par l’action des translations) à la lamination est équivalente à l’existence de classes d’homologie positives sur la surface branchée, sur lesquelles s’annule une certaine pseudo-norme : cette pseudo-norme est dérivée de la norme de Thurston sur l’homologie de degré deux des variétés de dimension trois compactes. Après avoir rappelé toutes les notions nécessaires, on tentera d’expliquer comment elles s’articulent entre elles, ainsi que leur lien avec le problème initial.

The talk is based on joint work with Michael Baake and Daniel Lenz, with Daniel Lenz and Christan Oertel and with Gabriel Fuhrmann, Eli Glasner and Christian Oertel.



Cut and project schemes have been introduced by Yves Meyer in 1972 in the context of Algebraic Number Theory and can be used to construct a broad classes of aperiodic structures, often referred to as model sets. During the last decades, Topological Dynamics and Ergodic Theory have emerged as major tools in the study of the diffractive and dynamical properties of these structures. We discuss some recent advances in the theory, which provide a better understanding of the relations between the ingredients of cut and project schemes and the resulting dynamical properties of the model sets. This allows the construction of model sets with positive entropy and of counterexamples to conjectures of Schlottmann and Moody. Moreover, we discuss how the cut and project method can be used to address some open problems in topological and symbolic dynamics.

Graph products of groups are a construction that interpolates between direct products and free products, and contain well-known examples such as right-angled Coxeter groups and right-angled Artin groups. In this talk, I will present a form of rigidity for the automorphism group of `cyclic products of groups', that is, the graph products over cycles on at least 5 vertices. I will recall a construction due to Davis that allows us to understand graph products through their action on CAT(0) cube complexes, and explain how this action extends to the whole automorphism group in the case of cyclic products of at least 5 groups. Such an action can be used to completely compute their automorphism group and to show their acylindrical hyperbolicity. This is joint work with Anthony Genevois.

I present a series of recent results about singularities of geodesic flows on 2-dimensional surfaces with smooth signature varying metric (such metrics are often called pseudo-Riemannian). Generically, a surface with a pseudo-Riemannian metric contains a curve that consists of points where the metric degenerates. These points are singular points of the geodesic flow generated by this metric. The behavior of geodesics at degenerate points differs from those in Riemannian metrics. For instance, geodesics cannot pass through a degenerate point in arbitrary tangent directions, but only in certain directions said to be admissible. Generically, the number of admissible directions at almost all degenerate points is 1 or 3 (at some isolated points it could be 2).

Le nombre de rotation pour les homéomorphismes du cercle est un invariant très simple qui mesure la vitesse de rotation asymptotique des orbites ; il permet en particulier une classification très fine des homéomorphismes du cercle.

Il est tentant de généraliser sa définition aux homéomorphismes du tore de dimension n ; l'ensemble des vitesses de rotation asymptotiques donne un sous-ensemble de R^n appelé ensemble de rotation de l'homéomorphisme. À l'heure actuelle, cet invariant n'a des applications intéressantes que pour la dimension 2.

Dans cet exposé, j'expliquerai une généralisation d'un théorème de A. Passeggi concernant la forme de cet ensemble de rotation pour un homéomorphisme générique.

Travail en commun avec A. Koropecki

Étant donné une M surface compacte, on s'intéresse aux propriétés dynamiques de l'action d'une famille dedifféomorphismes conservatifs {f_1,...,f_m} sur M. Si l'action des m-1 premiers difféomorphismes est ergodique e que le dernier est choisi génériquement, on montre que les compositions aléatoires des f_i ont une propriété d'hyperbolicité non uniforme, dans le sens où les exposants de Lyapunov naturellement associés sont non nuls.

Optimal transport is a powerful mathematical tool at the interface between calculus of variations, probability and partial differential equations. In the recent past concepts from finite dimensional classical geometry have been successfully transferred to infinite-dimensional spaces, where shapes are seen as probability densities, or where raw measurements are seen as discrete measures, i.e., distribution of masses. After having impacted image analysis, optimal transport may reveal relevant for geometry processing as well, opening the door to solving increasingly complex problems.

In the first part of my talk I will describe a framework for robust shape reconstruction, where we reformulate shape reconstruction and simplification as a transportation problem between measures. Our formulation departs from the common way to state the transportation problem in the sense that we do not know the target measure but instead need to solve for it. This approach brings forth a unified treatment of noise, outliers, sharp features and boundaries.

In the second part of my talk I will present a novel approach for computing a homeomorphic map between two discrete surfaces. While most previous approaches compose maps over intermediate domains which result in suboptimal inter-surface mapping, we directly optimize a map by computing a mass transport plan between two surfaces.

Soit \(((X,T, \mu)\) un système dynamique mesuré dont l’espace \(X\) est muni d’une métrique \(d\). Pour deux points \(x,y \in X\), et un entier \(n\) positif, définissons \(m_n(x,y)\) la plus petite distance entre \(T^ix\) et \(T^jy\) avec \(0 \leq i,j \leq n-1\). Nous étudions le comportement asymptotique de \(m_n(x,y)\). Nous montrons que sous certaines conditions de mélange rapide du système dynamique, \(\mu \times \mu\)-presque sûrement \(-\log m_n(x,y)/\log n\) converge vers la constante \(2/C_\mu\), où \(C_\mu\) est la dimension de corrélation de la mesure \(\mu\). Pour les rotations irrationnelles, le comportement est différent. L'exposant d’irrationalité de l'angle de la rotation est impliqué. C’est un travail en cours en collaboration avec Vanessa Barros et Jérôme Rousseau.

We prove that two smooth families of 2-connected domains in \(\mathbf C\) are smoothly equivalent if they are equivalent under a possibly discontinuous family of biholomorphisms. We construct, for \(m \geq 3\), two smooth families of smoothly bounded \(m\)-connected domains in \(\mathbf C\), and for \(n\geq2\), two families of strictly pseudoconvex domains in \({\mathbf C}^n\), that are equivalent under discontinuous families of biholomorphisms but not under any continuous family of biholomorphisms. Finally, we give sufficient conditions for the smooth equivalence of two smooth families of domains. This is joint work with Herve Gaussier.