In joint work with Lalley, Sapir, and Wroten, we study the statistics of the tesselations of hyperbolic surfaces induced by long random geodesics. We show that the local statistics approach that of a Poisson Line Process. All relevant notions will be defined.

In this talk we report the progress on the study of both global integrability and local integrability of ordinary differential systems, and also their applications. On global integrability we emphasis on algebraic aspects, especially Darboux theory of integrability and its relation with Liouvillian integrability. On local integrability, we concern the necessary and sufficient conditons of ordinary differential system in a neighborhood of a singular point, which has also connection with global integrability.

The vortex dynamics finds its root in hydrodynamics with 160 years of history. In 1858 Hermann von Helmholtz’s seminal paper has marked its birth and then Kirchhoff in 1876 has shown its Hamiltonian structure. It is well known that for N>3 this problem is in general non-integrable, thus the searching of periodic solution serves as an important approach to understand the dynamics. Many interesting results in this fields are produced through methods developed in celestial mechanics, especially perturbative aspects. On the other hand, in recent years following the figure eight solution of Chenciner and Montgomery, variational methods have been proved to be very efficient in searching for periodic solutions in N-body problem. In this talk I would like to explore the possibility in application of classical variational methods in Hamiltonian system to the study of periodic solutions for N-vortex systems with positive vorticities in the plane, including their existence, multiplicity, and possible symmetry.

On sait bien que l’existence de coordonnées actions-angles est intimement liée à l’action de tore associée à un système intégrable. Nguyen Tien Zung renverse le point de vue en montrant que tout tenseur préservé par le système l’est aussi par cette action. D’où tout s’ensuit.

We prove that in the space of C^r random product of volume preserving diffeomorphisms there exists a C^1 dense and C^1 open set with positive Lyapunov exponents. We actually prove this in the more general setting of skew products with a hyperbolic homeomorphism as a base map and for volume preserving skew products. This is a joint work with Davi Obata.

Introduced by David Kazhdan (1967) property (T) means that if a group G acts unitarily on a Hilbert space and has "almost invariant vectors", then it has a nonzero invariant vector. The relative version only asks for a nonzero vector invariant under a subgroup, and is an obstruction to the Haagerup property, which ensures a proper isometric action on an affine Hilbert space and has several important consequences. In this talk I will recall these notions and explain how relative Property (T) for the abelianization of a nilpotent normal subgroup implies relative Property (T) for the subgroup itself.

I’ll present a characterization of all hyperbolic surfaces properly isometrically embedded in Minkowski 3-space. I'll then discuss possible applications of this characterization to the case where the hyperbolic surface is invariant under a discrete subgroup of isometrics of Minkowski space. This is joint work with Francesco Bonsante and Andrea Seppi.

Let us consider a quasilattice, spanned by the superposition of two hexagonal lattices in the plane, differing by a rotation of angle ß. We study bifurcating quasipatterns solutions of the Swift-Hohenberg PDE, built on such a quasilattice, invariant under rotations of angle π /3. For nearly all ß, we prove that in addition to the classical hexagonal patterns, there exist two branches of bifurcating quasipatterns, with equal amplitudes on each basic lattice.

Random Surfaces can be used to study the geometric properties of typical (hyperbolic) surfaces of large genus. Moreover, they can sometimes be used in existence proofs. That is, sometimes the easiest way of proving that surfaces with certain properties exist is to prove that the probability that a random surface has these properties is non-zero. Of course there are multiple possible models of random surfaces. In this talk, a random surface will be a surface that is picked at random using the Weil-Petersson volume form on the moduli space of hyperbolic surfaces of a given genus. I will speak about the length spectrum of these random surfaces. This is joint work with Maryam Mirzakhani.

Le processus de diffusion non-linéaire basé sur la fonction arctangente semble utile pour le traitement des images et des signaux, comme un procédé simple de quantification de niveaux. On établit son origine géométrique en l'obtenant, simultanément et en dualité avec le (mieux connu) "mouvement par courbure moyenne", comme dégénérescence des surfaces extrémales de codimension un dans l'espace de Minkowski, au moyen d'un changement quadratique de la variable temps (lequel permet, de façon plus générale,de passer de dynamiques hamiltoniennes à des flots de gradient).

Salle de Conférence:

9:00-9:50 : F. Bianchi : "Degeneration of quadratic endomorphisms of P^2 (C) towards a Hénon map"

9:50-10:10 Pause café

10:10-11:00 : Tat-Dat To : "C-subsolutions for geometric flows on compact Hermitian manifolds"

11:00-11:50: A. Glutsyuk : "Sur les billards polynomialement intégrables dans les surfaces à courbure constante".



Salle 1:

14:00-14:50 : Duc-Viet Vu : "Nombre des points periodiques isoles d'une auto-application méromorphe"

14:50-15:40 L. Stolovitch : "Singularités des structures de Cauchy-Riemann et dynamique complexe".

15:40-16:00 Pause Café

16:00-16:50 S. Ivachkovitch : "Théorie de Poincaré-Bendixon pour les feuilletages holomorphes paraboliques par courbes complexes".

Soit X une surface complexe (pas forcement lisse), et f : X → X une application holomorphe.

On s'intéresse aux phénomènes de dynamique locale autour d'un point critique x_0 fixé par f.

En général, ce n'est pas possible de trouver des formes normales explicites: une autre approche très efficace vient de la géométrie algébrique, et consiste en remplacer X par un modèle biméromorphe X_π bien choisi.

Pour toute application birationnelle propre π:X_π → (X,x_0), le relevé f_π de f sur X_π définit une application méromorphe.

On dit que π est un modèle algébriquement stable si pour toute courbe compacte E de X_π, son image par les itérés f_π^n n'appartient pas à l'ensemble d'indétermination de f_π pour n assez grand.

En un travail en collaboration avec William Gignac, on montre que pour toute application birationnelle propre π', il existe un modèle π qui le domine et algébriquement stable pour f (sauf dans un cas très spécifique où x_0 est un point singulier de X, et les modèles algébriquement stables n'existent pas).

La démonstration est basée sur l'étude de l'action f_* induite par f sur un espace de valuations V bien choisi, en suivant les techniques développées précédemment par Charles Favre et Mattias Jonsson.

Dans notre situation locale, on construit une distance sur V pour laquelle f_* est non-expansive ; cela nous permet de déduire des théorèmes de point fixe pour f_*.

Cette deuxième partie sera consacrée aux aspects plus techniques de l'exposé.

On va présenter la notion de developpement asymptotique et sommabilité par rapport à un monôme, telle qu'elle a été définie par M. Canalis-Durand, J. Mozo et R. Schäfke. On présentera un théorème de type Tauberien, qui affirme que une série sommable par rapport à deux monômes différents est convergente. Des extensions aux développements par rapport à un germe de fonction analytique séront présentées. Comme application, on étudie une famille de systèmes pfaffiens, à croisements normaux, en généralisant des résultats de H. Majima. Il s'agit d'un travail en commun avec Sergio Carrillo (Bogotá, Colombia).

Orateurs/programme :

Thomas Waters 10h30

Title: Focusing and integrability of geodesic flows

Abstract: A family of geodesics emanating from a point \(p\) on a manifold \(M\) may come to focus due to the curvature of \(M\). The focal set is sometimes referred to as the conjugate locus, and it can be very complex. Nonetheless we can show a simple relationship between the topological and geometrical properties of the conjugate locus on convex surfaces, and continue to describe the conjugate locus in manifolds of dimension 3. We also consider the integrability of geodesic flows on certain simple surfaces, presenting examples of surfaces with non-integrable geodesic flow as well as constructing new examples with integrable geodesic flow.

Samuel Tapie 11h40

Growth gap, amenability and coverings

Let (M,g) = (X/\Gamma, g) be a negatively curved manifold with universal cover X. The critical exponent \delta_\Gamma(g) is a number which measures the topological and geometrical complexity of (M,g). For locally symmetric manifolds, it is strongly related to the spectrum of the Laplacian. If N = M/ \Gamma' is a covering of M, the critical exponent of the subgroup \Gamma'<\Gamma is hence smaller than the critical exponent of \Gamma. When does equality occurs ?

It was shown in the 1980's by Brooks that if M is a convex co-compact hyperbolic manifold and \Gamma' is a normal subgroup of \Gamma, then equality occurs if and only if \Gamma/\Gamma' is amenable. At the same time, Cohen and Grigorchuk showed an analogous result when \Gamma is a free group acting on its Cayley graph.

When the action of M /\Gamma is not convex cocompact, showing that equality of critical exponents is equivalent to the amenability of \Gamma/\Gamma' requires an additional assumption: a "critical gap at infinity". I will explain how under this (optimal) assumption, we can generalize the result of Brooks to all non-compact negatively curved manifolds.

Joint work with R. Coulon, R. Dougall and B. Schapira



Anders Karlsson 14h45

Noncommuting random products and metric functionals

I will discuss a general ergodic theorem for compositions of randomly selected transformations, which is a setting that generalizes the classical law of large numbers and the iteration of just one single map. The theorem will be given in terms of metric functionals, which is an extension of the concept of horofunction of Busemann-Gromov. The metric functionals provide a weak topology and compactness to metric spaces, and as tool allows for some very general statements that can be viewed a bit in parallel to linear functional analysis. The list of applications is rather long. The proof of the main theorem is based on a substantial refinement of Kingman's subadditive ergodic theorem. Joint work with S. Gouezel.



Sébastien Gouezel 15h55

Titre : Ruelle resonances

Résumé : The Ruelle resonances of a dynamical system are spectral characteristics of the system, describing the precise asymptotics of correlations. While one can usually show their existence by abstract spectral arguments, they are most of the time not computable. I will explain that, in the case of linear pseudo-Anosov maps, one can describe them explicitly in terms of the action of the pseudo-Anosov on cohomology. Joint with Frédéric Faure and Erwan Lanneau.

The Wolff--Denjoy theorem is a classical result that says: given a holomorphic self-map f of the open unit disc, exactly one of the following holds true: either f has a fixed point in the open unit disc or there exists a point p on the unit circle such that ALL orbits under the successive iterates of f approach p. This result is hard to generalise to higher dimensions, although Abate has a precise analogue for strongly convex domains. A (real) convex domain has an intrinsic distance associated to it -- the Hilbert distance. Beardon simplified the proof of Wolff and Denjoy and, in the process, showed that their conclusion in fact holds true for any self-map of a convex domain that is contractive with respect to the Hilbert distance. This strongly suggests that the Wolff--Denjoy theorem is only incidentally about holomorphic functions. The latter observation is one of the motivations behind separate works with Zimmer and Maitra. In these works, we show that the Wolff--Denjoy phenomenon extends to most families of domains whose metric geometry we have some understanding of. The property of these domains that leads to such phenomena is a form of visibility, the underlying metric spaces being bounded domains equipped with the Kobayashi distance. Visibility is a weak notion of negative curvature (which, in fact, is a consequence of negative curvature in the Riemannian category). In this talk, we shall elaborate upon the latter notion, discuss motivations for the Wolff--Denjoy-type theorem alluded to, and present some aspects of its proof.

A finitely generated group of diffeomorphisms of a smooth manifold can be studied as a cocycle over the full shift on a finite alphabet, and due to the so called "Invariance Principle" of Ledrappier, Crauer and Avila-Viana, we know that the vanishing of Lyapunov exponents for such cocycle implies the existence of an invariant measure for the original group action.



In this talk we shall discuss the possibility of estimating the Lyapunov exponents of the cocycle just regarding the Lyapunov exponents of individual elements of the group, and some applications to the so called Burnside problem on closed manifolds.

Dans un travail récent avec L. Buhovsky et S. Seyfaddini, nous avons montré que certains invariants des difféomorphismes Hamiltoniens, issus de la théorie de Floer, sont continus en topologie C^0 et s'étendent aux homéomorphismes Hamiltoniens. Mon but est d'introduire ces invariants appelés "codes-barres" et de présenter quelques applications dynamiques de notre résultat.

The quantum vortices of a superfluid are described as nodal lines of a solution to the time-dependent Gross-Pitaevskii equation. Experiments in Lab and extensive numerical computations show that quantum vortices cross, each of them breaking into two parts and exchanging part of itself for part of the other. This phenomenon, known as quantum vortex reconnection, occurs even though the superfluid does not lose its smoothness. This usually leads to a change of topology of the quantum vortices. In this talk I will show that, given any initial and final congurations of quantum vortices (i.e. closed curves, possibly knotted and linked), and any way of transforming one into the other through a generic pseudo-Seifert surface embedded in spacetime, there is an initial condition whose associated solution realizes this specific vortex reconnection scenario. This allows us to track the vortex reconnection process at all times, both locally and globally. Moreover, just as in the physics literature, the distance between vortices near the reconnection times obeys the so called t^{1/2} law. Key to prove this result is a new global approximation theorem for the linear Schrödinger equation. This is based on joint work with Alberto Enciso.

In the classical calculus of variations and Riemannian geometry, Jacobi fields play a special a role in the study of optimality of geodesics and derivation of invariants. This technique can be extended to constrained variational problems if one considers not just a single Jacobi field, but the space of all solutions to the Jacobi equations with certain boundary conditions. Interpreting this space as a Lagrangian plane and considering its evolution in time allows to find the negative inertia index of the second variation. In order to do so, one has to deal with the non-smoothness of the Hamiltonian along an extremal curve and to develop an intersection theory for discontinuous curves in the Lagrangian Grassmanian. In a recent work with A. Agrachev we extend some of his earlier ideas to construct a theory that covers all the possible cases encountered in optimal control.

Un groupe est dit résiduellement fini s'il est bien "approximé" par la donnée de ses quotients finis. Le groupe fondamental d'une surface, les groupes libres, les produits libres de groupes finis sont résiduellement finis. Au vu de ces exemples, il est naturel de se demander si tous les groupes hyperboliques au sens de Gromov sont résiduellement finis. Il s'avère que cette question est extrêmement ardue. Dans cette exposé on présentera la construction d'un groupe non résiduellement fini G, dont les propriétés sont extrêmement proches des groupes hyperboliques (G admet une action uniformément propre sur un espace hyperbolique, ne contient pas de Z^2, etc). Ce groupe est obtenu grâce à une approche géométrique de la théorie de la petite simplification.

(Travail en collaboration avec D. Osin)

Paul Appell a remarqué en 1890 que les systèmes dynamiques définis par des champs de forces se projettent centralement les uns sur les autres, avec un changement de temps. Par exemple, le problème de Kepler se projette sur le problème de Kepler sphérique, découvert par Paul Serret en 1859. La propriété géométrique évidente qu'une conique du plan se projette centralement sur une conique sphérique s'étend ainsi en une correspondance entre orbites, qui appartient à la "dynamique projective". Je vais rappeler les axiomes de ces transformations, et expliquer le résultat suivant.



Le théorème de Lambert vaut pour le problème de Kepler sur la sphère (ou la pseudo-sphère, de courbure constante négative).



Le théorème de Lambert classique affirme que le temps requis pour arriver à un point B en partant d'un point A sur une orbite képlérienne d'énergie H, autour d'un centre O, ne change pas si on fixe H et qu'on déplace A et B de telle sorte que d(A,B), d(O,A)+d(O,B) soient les mêmes. La propriété passe à la sphère par projection centrale, alors même qu'aucune des trois quantités H, d(A,B) et d(O,A)+d(O,B) n'est respectée par la projection.(voir : Lambert's theorem and projective dynamics, préprint avec Zhao Lei, 14 pages, 2019)

Je présenterai une construction de métriques de Kähler Ricci plates sur certains espaces symétriques complexes de rang deux, obtenue avec Olivier Biquard. Dans le cas des variétés compactes, l’existence de telles métriques est complétement régie par le théorème de Calabi-Yau. Pour des variétés non compactes, comme ici, l’existence repose essentiellement sur l’obtention d’un modèle asymptotique, déterminé via une compactification de l’espace symétrique.

Optimal control of systems whose dynamics are affine in the control have a wide range of applications, from energy minimisation in orbit transfer problems to quantum control. The necessary conditions give the optimal trajectory as the projection of the integral curves of an Hamiltonian system defined on the cotangent bundle of the phase space. In that regard, minimum time control plays a singular role with respect to other criteria because the integral curves of Hamiltonian do not depend on the cost, but only on the initial dynamics. Those curves are called extremal, and the time minimisation induces a lack of regularity: the Hamiltonian is not smooth, and has codimension 2 singularities. In this talk we will prove sufficient conditions for optimality of these singular extremals. Our method uses techniques from symplectic geometry, and consist in building a Lagrangian submanifold on which the canonical projection of the extremal flow is invertible. Then one can compare final times of neighbouring trajectories by lifting them to the cotangent bundle and evaluate the Poincaré-Cartan form along their lifts. The main difficulty is the definition of these objects without the required regularity, and an extended study of the extremal flow is necessary.

Un groupe G a la propriété FW si toutes ses actions sur les complexes cubiques CAT(0) fixent un point. Cette propriété découle par exemple de la mieux connue propriété (T) de Kazhdan.

Je vais expliquer une conéquence de cette propriété dans le cadre des actions de groupes sur les variétés. Si G (avec FW) agit sur une variété par difféomorphismes admettant un nombre fini ou dénombrable de singularités, alors l'action est topologiquement conjuguée à une action par vrais difféomorphismes (quitte à considérer une structure différentielle différente sur la même variété topologique).

Comme application, on déduit qu'un groupe avec la propriété (T) ne peut pas agir sur le cercle par difféomorphismes lisses par morceaux (en généralisant un résultat de Navas dans le cas des actions lisses).

Il s'agit d'un travail un commun avec Y. Lodha et M. Triestino.

La condition de courbure isotrope positive (PIC) a été introduite par Micallef et Moore pour ses liens avec l’étude des 2-sphères minimales. Sa préservation par le flot de Ricci a été instrumentale dans la preuve par Brendle et Schoen du théorème de la sphère différentiable. On présentera un affaiblissement de cette condition en dimension 4, la condition « PIC+ », qui est une condition ponctuelle de positivité ne faisant intervenir que la courbure scalaire et la partie autoduale du tenseur de Weyl. On discutera les implications topologiques et géométriques de cette condition ainsi que ses liens avec le flot de Ricci.

Des variétés singulières apparaissent naturellement en géométrie quand on considère des quotients de variétés lisses, leurs limites de Gromov-Hausdorff ou des flots géométriques. Un question importante dans l’étude de ces variétés singulières consiste à définir des notions de courbure, et de bornes de courbure, pertinentes. Les travaux de Lott-Sturm-Villani et Ambrosio-Gigli-Savaré ont montré qu’on peut définir une condition de courbure-dimension sur des espaces métriques mesurés, qui correspond à une borne inférieure sur le tenseur de Ricci dans le cas des variétés lisses. Si certaines constructions sur les variétés (quotients, cônes, suspensions sphériques…) donnent des exemples d’espaces qui satisfont la condition de courbure-dimension, il n’existe pas de critère pour établir si une variété avec des singularités très simples possède une borne synthétique sur la courbure de Ricci. Dans cet exposé nous présentons un critère géométrique pour établir si un espace stratifié satisfait le condition de courbure-dimension : cela donne une ample classe de nouveaux exemples qui inclut les variétés à singularités coniques.

L’exposé se base sur un travail en commun avec C. Ketterer, J. Bertrand et T. Richard.

(joint with D. Dolgopyat)

We study the rate of convergence in the ergodic theorem for irrational rotations. The error term is very oscillatory, but sometimes -- depending on the angle -- the distribution of its oscillations has a scaling limit. I will describe what is known about this phenomenon, and explain why it is interesting.

In the present talk we will review some basic facts on the calculus of variations on Finsler manifolds focusing in particular on Randers and Kropina manifolds. We will consider both Lagrangian and Hamiltonian formalism and show how the Legendre transform works in Finsler case. The study of these special Finsler metrics are important not only for Finsler geometry, but also for the study of variational problem for any time-depending Lagrangian. Some applications will be also briefly presented.

Distal maps were introduced by David Hilbert on compact spaces to study non-ergodic maps. A homeomorphism T on a topological space X is said to be distal if the closure of every double T-orbit of (x, y) does not intersect the diagonal in X x X unless x=y. Similarly, a semigroup S of homeomorphisms of X is said to act distally on X if the closure of every S-orbit of (x,y) does not intersect the diagonal unless x=y. We discuss some properties of distal actions of automorphisms on locally compact groups and on homogeneous spaces given by quotients modulo closed invariant subgroups which are either compact or normal. We relate distality to the behaviour of orbits. We also characterise the behaviour of convolution powers of probability measures on the group in terms of the distality of inner automorphisms.

I will describe a recent result with Bader, Miller and Stover characterizing arithmetic hyperbolic manifolds in terms of totally geodesic submanifolds. I will provide background and motivation, point to some interesting related questions and try to explain briefly what the proof has to do with homogeneous dynamics and superrigidity theorems.