Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

Séminaire Géométrie, analyse et dynamique

(2017-2018)

Laboratoire Dieudonné-CNRS-UNS UMR 7351

Le Séminaire a lieu le Mardi à 14h00 en salle I du LJAD

Accès au laboratoire J.A. Dieudonné




Prochain exposé


Mardi 21 Novembre            
     Nikolaos Karaliolios (Imperial College London)

Rigidité cohomologique et la méthode Anosov-Katok
Résumé

Nous considérons un difféomorphisme \(f \) de classe \(C^{\infty}\) défini sur une variété compacte \(M\). Nous étudierons l'équation dite Cohomologique Linéaire au dessus de \(f\), c'est-à-dire \[

\psi \circ f - \psi = \varphi

\] où \(\varphi \in C ^{\infty} (M, \mathbb{C})\) est la fonction connue et \(\psi \in C^{\infty} (M, \mathbb{C})\) est l'inconnue. Le difféomorphisme \(f\) est dit Cohomologiquement Rigide (CR) ssi cette équation admet une solution \(\psi\), \(C^{\infty }\) lisse, pour toute fonction \(\varphi\) dans un sous-espase fermé de \(C^{\infty } (M, \mathbb{C} )\) de codimension \(1\). Cet espace de codimension \(1\) est alors le noyau d'une forme de volume lisse sur \(M\), invariante par \(f\).



Les seuls examples de difféomorphismes CR connus jusqu'alors sont les rotations Diophantiennes sur les tores, et M. Herman et A. Katok ont conjecturé qu'ils sont en effet les seuls tels difféomorphismes (à difféomorphisme de la variété \(M\) et à conjugaison du difféomorphisme \(f\) près).



Suivant à deux tentatives récentes de construire des contre exemples à la conjecture par Avila-Fayad-Kocsard et en suite par l'auteur, en mettant en oeuvre des variantes de la méthode d'approximation par conjugaison inventée par Anosov et Katok, et leur échec, nous montrerons que la méthode d'approximation rapide est essentiellement incompatible avec la Rigidité Cohomologique.



Au fur et à mesure de l'avancement de ce travail en cours, nous considérerons des applications eventuelles à la confirmation de la conjecture d'Herman-Katok dans certains contextes.


Au programme


Novembre

Mardi 28 Novembre            
     Luca Rizzi (Institut Fourier (Grenoble))
Sub-Riemannian interpolation inequalities
Résumé

Sub-Riemannian structures can be described as limits of Riemannian ones with \(\mathrm{Ric}(g_n) \to -\infty\) and they represent, in a certain sense, the most singular case among the three great classes of metric geometries (Riemannian, Finlser, and sub-Riemannian ones). In this talk, we discuss how, under generic assumptions, these structures support interpolation inequalities à la la Cordero-Erasquin--McCann--Schmuckenschläger. As a byproduct, we characterize the sub-Riemannian cut locus as the set of points where the squared sub-Riemannian distance fails to be semiconvex. Specifying our results to the case of the Heisenberg groups, we recover in an intrinsic way the inequalities recently obtained by Balogh, Kristály and Sipos. As a further application, we obtain new and sharp results on the measure contraction properties of the standard Grushin structure. This is a joint work with Davide Barilari.



Mardi 28 Novembre             Exceptionnellement à 15h15
     Xiaochuan Liu (IMPA)
Rotation theory and Minimal properties for T2 homeomorphisms
Résumé

In this talk, we will describe properties of a periodic point free homeomorphism \(f\) on T2. One topological way is to study the minimal sets of \(f\), another way is to understand the rotation sets. More specifically, there are two cases. The first case is when the rotation set is a singleton (which we call a pseudo-rotation). A natural question is to ask if a totally irraional pseudo-rotation f admits a unique minimal set. While the answer to this question is in general no, we obtain results for proper conditions such that the system has a unique minimal set. Another case is the rotation set is a non-trivial line segment. In this case, we will state Franks-Misiurewicz conjecture and introduce some recent progresses. In this case, sometimes, the rotation vector is almost everywhere not well-defined. Noting that many results in this direction focused on minimal homeomorphisms, we can ask many further questions, again relating the uniqueness of minimal set.



These are part of joint works in progresses with Artur Avila, Martin Leguil and Disheng Xu.



Décembre

Mardi 5 Décembre            
     Danijela Damjanovic (KTH)
TBA


Mardi 8 Décembre             Exceptionnellement à 10h30
     Thibaut Dumont (University of Jyväskylä (Finland))
TBA


Mardi 12 Décembre             Exceptionnellement à 09h00
     Jean-Pierre Marco (UPMC)
TBA


Mardi 12 Décembre             Exceptionnellement à 11h00
     Tien Dung NGUYEN (Institut de mathématiques de Toulouse)
TBA


Mardi 12 Décembre            
     Marc Chaperon (IMJ-PRG)
TBA


Janvier

Mardi 9 Janvier            
     Zeinab Badreddine (LJAD)
TBA


Mardi 16 Janvier            
     Sergey Kolyada (Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine )
Dynamical Topology
Résumé

The area of dynamical systems where one investigates dynamical properties that can be described in topological terms is called "Topological Dynamics". Investigating the topological properties of spaces and maps that can be described in dynamical terms is in a sense the opposite idea. This area is called "Dynamical Topology".







For (discrete) dynamical systems given by compact metric spaces and continuous (surjective) self-maps I will mostly be talking about two new notions: "Slovak Space" and "Dynamical Compactness". Slovak Space is a dynamical analogue of the rigid space: a nontrivial compact metric space whose homeomorphism group is cyclic and generated by a minimal homeomorphism.





Dynamical Compactness is a new concept of chaotic dynamics. The omega-limit set of a point is a basic notion in theory of dynamical systems and means the collection of states which "attract" this point while going forward in time. It is always nonempty when the phase space is compact. By changing the time we introduced the notion of the omega-limit set of a point with respect to a Furstenberg family. A dynamical system is called dynamically compact (with respect to a Furstenberg family) if for any point of the phase space this omega-limit set is nonempty. A nice property of dynamical compactness: all dynamical systems are dynamically compact with respect to a Furstenberg family if and only if this family has the finite intersection property.





Based on a work by Tomasz Downarowicz, Lubomir Snoha and Dariusz Tywoniuk, and joint works with Wen Huang, Danylo Khilko, Alfred Peris, Julia Semikina and Guohua Zhang.



Mardi 23 Janvier            
     Soyoung Moon (Institut de Mathéatiques de Bourgogne )
TBA


Mardi 30 Janvier            
     Martin Krupa (LJAD)
TBA


Février

Mardi 6 Février            
     Audrey Vonseel (Institut de Recherche Mathématique Avancée (Strasbourg))
TBA


Mars

Mardi 27 Mars            
     Marie-Claude Arnaud (Laboratoire de Mathématiques d'Avignon)
TBA


Exposés passés


Septembre

Mardi 19 Septembre      Stephanie Nivoche (LJAD)
Une nouvelle preuve d'un probleme de Kolmogorov sur l'\(\epsilon\)-entropie
Résumé

Dans les annees 80, un probleme de Kolmogorov au sujet de l'\(\epsilon\)-entropie d'une classe de fonctions analytiques etait enonce : \[\lim_{\epsilon \to 0} \frac{H_\epsilon(A_K^D){\ln^{n+1}(1/\epsilon)} = \frac{2C(K,D)}{(2\pi)^n(n+1)!}.\] En 04, ce probleme etait resolu a l'aide de techniques de theorie du pluripotentiel et en particulier en demontrant une conjecture de Zakharyuta. Nous presenterons une nouvelle preuve du probleme de Kolmogorov, independamment de cette conjecture. Nous utiliserons le comportement asymptotique du noyau de Bergman d'un operateur de concentration et certaines proprietes des polyhedres analytiques speciaux.



C'est un travail en commun avec Oscar Bandtlow (London).



Octobre

Mardi 3 Octobre      André Belotto (Université Paul Sabatier – Toulouse III)
Classication topologique des ensembles limite périodique d'une famille de champ de vecteurs polynomial et planaire
Résumé

La notion d'ensemble limite périodique \(\Gamma\) (introduit par Françoise et Pugh) est centrale dans l'étude du \(16^{eme}\) problème de Hilbert. Il est bien connu que le théorème de Poincaré-Bendixson implique que : soit \(\Gamma\) est dans la liste des possibilités du théorème de Poincaré-Bendixson; soit \(\Gamma\) contient des singularités non-isolée du champ de vecteur \(X_{\lambda}\). Nous sommes intéressés à étudier le deuxième cas.



Je présente un travail en collaboration avec Jose Espin, où nous caractérisons tous les ensembles limite périodique d'une famille de champ de vecteurs polynomial et planaire. Je parlerai également d'une adaptation de notre construction pour l'étude des ensemble limite des sécantes.







Mardi 17 Octobre      Carlos Matheus (Université Paris 13)
Sur la géométrie fractale des spectres de Lagrange et Markov
Résumé

Depuis les travaux remarquables de Markov en 1879 et 1880, les spectres de Lagrange et Markov (codifiant des propriétés arithmetiques des nombres irrationnels et formes quadratiques binaires indéfinies) ont était étudie par plusieurs auteurs (incluant Perron, Hall, Freiman, Cusick, Flahive, ...).



Dans cet exposé, on discutera le complementaire du spectre de Lagrange L dans le spectre de Markov M. Plus précisément, après rappeler les résultats de Freiman, Cusick et Flahive dans les années 70 et 80 montrant que M\L contient un ensemble fini dénombrable, on démontrera que la dimension de Hausdorff de M\L est strictement comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un travail en commun avec Carlos Gustavo (Gugu) Moreira.



Novembre

Mardi 7 Novembre      Ben Schachter (Université de Toronto)
Eulerian calculus on Wasserstein Space
Résumé

The optimal transport problem defines a notion of distance in the space of probability measures over a manifold, the Wasserstein space. In his thesis, McCann discovered that this space is a length space: the distance between probability measures is given by the length of minimizing geodesics called displacement interpolants or Wasserstein geodesics. In 2000, Otto defined a (purely formal) Riemannian calculus allowing the computation of tangent vectors to displacement interpolants and the computation of Hessians of functionals along these geodesics.



In this talk, I will present an Eulerian calculus on Wasserstein space, which extends the Otto calculus from a purely Riemannian setting to general Lagrangians. This Eulerian calculus allows for the computation of derivatives and Hessians of functionals involving derivatives of densities, resolving a question of Villani. New first order displacement convex functionals are presented. Finally, I will show how this calculus can be made rigorous via the DiPerna-Lions theory of renormalized solutions.



This talk is based on my thesis and ongoing joint work with Almut Burchard.



Mardi 7 Novembre      Sorin V. Sabau (Tokai University)
The global behaviour of geodesics on Finsler surfaces
Résumé

We will present some basic facts on the local and global geometry of geodesics on Finsler surfaces. These properties are closely related to the notions of conjugate and cut locus. In particular, we will show how the global form of the geodesics can be obtained in the case of some special Finsler metrics and how its cut locus can be determined. The case of a Randers rotational sphere of revolution will be explained in detail.



Mardi 14 Novembre      Benoît Kloeckner (Université Paris Est)
Majorations mixtes de courbures irréalisables sur les tores
Résumé

On sait depuis les travaux de Lokhamp que toute variété Riemannienne admet une métrique à courbure de Ricci strictement négative. Ce résultat de flexibilité prend le contrepied des obstructions topologiques pour l'existence de métriques à courbure sectionnelle négative ou nulle ou à curbure de Ricci positive. Avec Stéphane Sabourau, nous avons montré qu'une métrique sur le tore à courbure de Ricci assez négative ne peut pas en plus avoir sa courbure sectionnelle majorée par une trop petite constante positive : il y a nécessairement un plan tangent à courbure sectionnelle assez positive. La méthode combine un argument classique dû à Milnor, rendu effectif par le contrôle de la norme stable sur le revêtement universel, et une inégalité de Günther généralisée démontrée en collaboration avec Greg Kuperberg. Elle permet d'obtenir des constantes complètement explicites.




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Organisation: Zhiyan Zhao (écrire) et Emmanuel Militon (écrire)