Travail en collaboration avec Mariana Haragus



We prove the existence of symmetric domain walls for the Bénard-Rayleigh convection problem. Our approach relies upon a spatial dynamics formulation of the hydrodynamic problem, a center manifold reduction, and a normal form analysis of a reduced system. Domain walls are constructed as heteroclinic orbits of this reduced system.

Dans cet exposé, je présenterai un analogue hyperbolique d'un théorème d'Alexandrov sur la détermination des convexes euclidiens par leur courbure (de Gauss). Le problème consiste à caractériser un corps convexe (pointé) par la donnée de sa courbure vue comme une mesure sur la sphère. La preuve est, en partie, basée sur un analogue non-linéaire du problème de Kantorovitch, un outil classique de la théorie du transport optimal. Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Castillon.

Un paradigme largement accepté en physiologie est que, parmi tous les mouvements possibles, celui qui est effectivement réalisé satisfait un critère d'optimalité. Le critère étant caché, la question revient alors à résoudre un problème de contrôle optimal inverse: à partir des mouvements réellement effectués identifier une fonction coût par rapport à laquelle le comportement observé est optimal. Mathématiquement, dans le problème inverse les données sont le système dynamique et un ensemble de trajectoires et on cherche à déterminer la fonction coût pour laquelle l'ensemble considéré est la synthèse optimale. La première question dans la résolutions du problème de contrôle optimale inverse est de vérifier que le problème inverse est bien-posé, i.e., l’unicité du coût pour l'ensemble de trajectoires donné. Pour attaquer cette question on s'est restreint à la classe de coûts intégraux qui sont quadratiques en le contrôle. Pour cette classe, on a développé l’approche par le difféomorphisme orbitale qui permet de traiter la question d’unicité.

En dynamique complexe à une variable (par exemple pour l'application \(f(x)=x^2+1\)) il existe une décomposition de l'espace en un ensemble de Julia et un ensemble de Fatou qui permet d'avoir une description précise de la dynamique. Quand on passe à plusieurs variables, cette décomposition existe toujours mais elle donne bien moins d'informations. D'un autre côté, les attracteurs sont des objets centraux en dynamique réelle. Dans cet exposé, je vais expliquer comment l'analyse complexe permet d'étudier les attracteurs en dynamique holomorphe. En particulier, à chacun d'entre eux, il est possible d'associer des objets analytiques qui donnent des informations sur leur dynamique et leur géométrie.

On s'intéresse ici à des propriétés spécifiques de la courbe de Weierstrass, qui peut être obtenue comme la limite d'une suite de graphes préfractaux, construits à l'aide d'un système de fonctions itérées non classique, les applications en jeu n'étant pas des contractions. Ces applications un peu étranges possèdent une propriété équivalente, dans la mesure où elles réduisent la mesure de Lebesgue d'une suite de rectangles bien choisis recouvrant la courbe. Elles apparaissent comme très intéressantes, dans la mesure où elles sont directement reliées au calcul de la dimension de Minkowski de la courbe, à la construction d'une mesure spécifique, ou, encore, à la non dérivabilité de la fonction. Elles permettent enfin de construire une classe plus large de fonctions de type Weierstrass, continues partout, nulle part dérivables.

Le lemme de Milnor-Svarc dit que l’entropie d’une variété compacte est non nulle si et seulement si son groupe fondamental est à croissance exponentielle mais ne donne pas de lien entre l’entropie minimale d’une variété et celle de son groupe fondamental. Le but de l’exposé est de voir qu’un tel lien existe lorsque le groupe fondamental est hyperbolique au sens de Gromov.

Dans le cadre uniformément hyperbolique, la transitivité topologique suffit à garantir l'unicité de l'état d'équilibre par rapport à un potentiel régulier. Avec Crovisier et Sarig, nous proposons une généralisation au cadre non-uniformément hyperbolique faisant intervenir la notion de classe homocline mesurée. J'expliquerai la preuve de ce résultat valable *en toute dimension* et en faible régularité et son utilisation pour les difféomorphismes de surface en différentiabilité infinie.

La conjecture de Burns et Katok (1985) stipule que le spectre marqué des longueurs d'une variété fermée à courbure négative, c'est-à-dire la suite des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l'homotopie libre de la variété, devrait déterminer la métrique (à isométries près). Otal (1990) et Croke (1990) ont indépendamment prouvé ce résultat pour les surfaces mais la conjecture est depuis restée ouverte en dimension supérieure. Certains travaux ont également établi des résultats partiels (Katok 1988, Hamenstädt 1998) et nous avons prouvé avec Guillarmou (2018) une version locale de la conjecture.



J'expliquerai ce problème sous le prisme d'un travail récent avec Guillarmou et Knieper (2019), dans lequel nous généralisons des outils bien connus sur l'espace de Teichmüller (métrique de pression/Weil-Petersson, distance de Thurston, étirement géodésique) et s'en servons pour raffiner le résultat de rigidité locale obtenu avec Guillarmou (2018).

Les exemples de Lattès sont des endomorphismes des espaces projectifs complexes induits par des isogénies dilatantes de tores complexes. Leur perturbation donne lieu à de fortes bifurcations de la dynamique. J'expliquerai comment les exposants de Lyapunov de la mesure d'entropie maximale peuvent être utilisés pour obtenir des résultats quantitatifs précis concernant ces bifurcations.

I shall discuss a recent result with L. Biasco and J. Massetti on the existence of almost-periodic solutions for the NLS on the circle with external parameters. After discussing the (very few) known results I shall describe our strategy, which is quite flexible and can be applied also for the construction of non maximal tori.

Les billiards dans les polygones sont un exemple classique de systèmes dynamiques à entropie zéro avec divergence sub-exponentielle des orbites. Les billiards dans des polygones "rationnels'' sont mieux compris car leur dynamique est ''renormalisable''. Pour les billiards dans des polygones non-rationnels les résultats à disposition sont en général obtenu par approximation. Nous allons faire le point sur l'état des connaissances concernant l'ergodicité, la vitesse d'ergodicité, le mélange faible et la vitesse de mélange faible pour ces systèmes dynamiques.

In 1907, H.Poincare raised the problem to classify real hypersurfaces in complex space, up to local biholomorphisms. In the case when the Levi form is everywhere nondegenerate (i.e. the distribution of complex tangents is everywhere contact), the problem was solved in the work of E.Cartan, N.Tanaka, S.Chern and J.Moser. In the Levi degenerate case, the problem appears to be much more difficult. Of particular interest here is the category of everywhere Levi degenerate hypersurfaces, which though can't be reduced to hypersurfaces of smaller dimension. Such hypersurfaces appear for the first time in the space C^3, and the basic example is the tubular manifold over the future light cone in the space of imaginary parts.

In our joint work with Martin Kolar, we classify hypersurfaces under discussion in C^3, by using the tube over the future light cone as a model and developing then the Poincare-Moser homological approach. The classification is done by presenting a complete convergent normal form for such hypersurfaces.

Although it is very natural to ask if the discrete automorphim group \({¥rm Aut}(V)/{¥rm Aut^0(V)}\) is finitely generated or not for a smooth projective variety \(V\), it is quite recent that the final negative answers were given (Lesieutre in Invent. Math., Dinh and me in Duke Math J.). In this talk, I would like to explain the current stage of progress in this problem with an idea of construction (for non-finitely generated cases), idea of proof (finitely generated cases) if time will be allowed, and related open problems.

It was shown in 1969 by Nishino that a Stein family of \(\mathbb{C}\) is locally trivial. It will be shown that a complete K\"ahler family of \(\mathbb{C}\) is locally trivial by the \(L2\) method. On the way, it will be shown that a continuous function from the unit disc \(\mathbb{D}\) to \(\mathbb{C}\) is holomorphic if and only if the complement of the graph has a complete K\"ahler metric. This is a generalization of a theorem of Hartogs which was published in 1909. The proof is also by the \(L2\) method. A similar method can be applied to show that n-complete families of once-punctured \(\mathbb{CP}^n\) are locally trivial.

9h-10h Pedro Freitas

Spectral determinants of elliptic operators: dependence on the spatial dimension and on the order of the operator

We discuss some examples of zeta-regularised spectral determinants of elliptic operators, focusing on the effect of the spatial dimension and the order of the operator. The former case will be illustrated by the harmonic-oscillator (with some consequences for the Dirac operator on spheres), while for the latter we consider polyharmonic operators on bounded intervals. In both cases we study the asymptotic behaviour as the dimension/order approaches infinity, and derive sharp upper and lower bounds agreeingwith the first terms in the asymptotics.

10h30-11h30 Laurent Niedermann

Trajectoires co-orbitantes quasi-périodiques dans le problème des trois corps planétaire

(travail en commun avec Philippe Robutel et Alexandre Pousse) Les trajectoires des satellites Janus et Epimetheus autour de Saturne sont parmi les plus curieuses du système solaire. Ces satellites échangent leurs orbites tous les quatre ans. On donne une preuve rigoureuse de l'existence d'orbites quasi-périodiques (donc stables) avec cette propriété d'échange dans le problème des trois corps grace à la théorie KAM. Preprint Arxiv 1806.07262 à paraître dans Comm. Math. Phys.

13h45-14h45 Martin Leguil

Détermination spectrale des billards dispersifs ouverts

Dans un projet en collaboration avec P. Bálint, J. De Simoi et V. Kaloshin, nous avons étudié le problème spectral inverse pour une classe de billards dispersifs obtenus en ôtant du plan un nombre fini d’obstacles lisses strictement convexes satisfaisant une condition de non-éclipse. La restriction de la dynamique à l’ensemble des orbites qui ne s’échappent pas à l’infini est conjuguée à un sous-décalage de type fini, ce qui permet d’étiqueter de manière naturelle les orbites périodiques. Nous montrons que le Spectre Marqué des Longueurs détermine les courbures des différents obstacles aux points associés à des orbites de période deux, ainsi que l’ensemble des exposants de Lyapounoff des orbites périodiques. De plus, nous montrons que de manière générique, dans le cas de billards dont le bord est analytique et qui satisfont deux hypothèses de symétrie, il est possible de reconstituer complètement la géométrie à l’aide des données purement dynamiques encodées dans le Spectre Marqué des Longueurs.

15h-16h Tere Seara

Breakdown of small amplitude breathers for the reversible Klein-Gordon equation

Breathers are periodic in time spatially localized solutions of evolutionary PDEs. They are known to exist for the sine-Gordon equation but are believed to be rare in other Klein-Gordon equations. Breathers can be interpreted as homoclinic solutions to a steady solution in an infinite dimensional space. In this talk, we prove an asymptotic formula for the distance between the stable and unstable manifold of the steady solution when the steady solution has weakly hyperbolic one dimensional stable and unstable manifolds.

16h15-17h15 Colin Guillarmou

Rigidité locale du spectre marqué en courbure négative.

Résumé: On montre que deux métriques à courbure négatives qui sont suffisemment proches et ont même spectre marqué les longueurs sont isométriques. On obtient par ailleurs une estimée précise sur le controle entre deux classes d'isométries en terme de distance de Thurston. Il s'agit de collaborations avec T. Lefeuvre puis avec T. Lefeuvre et G. Knieper.

In the last three decades, several works have been done about stable ergodicity. Due to the famous Pugh-Shub conjecture, most works were done in the partially hyperbolic scenario. In this scenario one of the key properties used is accessibility (or essential accessibility).

In this talk I will introduce a new example of stably ergodic diffeomorphism, and whose proof does not use the ``typical'' notion of accessibility. Furthermore, this proof gives some new ingredients that can be applied to better understand some surface dynamical systems and some partially hyperbolic systems with two dimensional center.

On considère une classe topologique d'un germe de fonction analytique complexe en deux variables n'appartenant pas à son idéal jacobien. Une telle fonction n'est pas quasi homogène. Chaque élément f dans cette classe induit un germe de feuilletage (df = 0). Je vais présenter quelques résultats sur les espaces de modules analytiques de cette classe de fonctions. Plus précisément, je vais décrire l'espace des modules locaux des feuilletages de cette classe et donner des formes normales analytiques. Je parlerai de l'unicité de ces formes normales. Enfin, je présenterai un algorithme pour calculer la dimension générique de l'espace des modules de la courbe associée.

(séminaire commun ATG-GAD)



Nous étudions le flot de Kähler-Ricci sur des variétés de type général. Nous montrons que le flot de Kähler-Ricci normalisé existe de tous les temps au sens de la viscosité, est continu dans un ensemble ouvert de Zariski et converge vers la métrique de Kähler-Einstein singulière. Ceci est une réponse à la question de Feldman-Ilmanen-Knopf.

La méthode de Molchanov offre une approche systématique pour la construction d’asymptotiques en temps petit de noyaux de la chaleur sous-riemanniens. Les développements sont fortement liés à la structure des géodésiques minimisantes entre deux points. Si la forme normale de l’application exponentielle est suffisamment explicite au voisinage d’une géodésique minimisante, des développements asymptotiques complets peuvent en principe être donnés. Il est néanmoins possible d’exhiber des métriques pour lesquelles l’application exponentielle est particulièrement dégénérée. Cette approche permet en outre d’obtenir des bornes a priori des noyaux qui sont uniformes sur les compacts sans anormales minimisantes. En collaboration avec Robert Neel.