Dans ce travail en collabaration avec X. Gong (Madison), nous considèrons une n-variété complexe compacte C plongée dans une variété complexe de dimension n+d. On s'interesse à la classification holomorphe des voisinages de C, faisant partie du programme 'Formale Prinzip" de Grauert. Nous donnons des conditions suffisantes qui assurent qu'un tel voisinage soit biholomorphe à un voisinage de la section nulle dans son fibré normal. Cela étend les résultats d' Arnold concernant les voisinages d'un tore plongé dans une surface avec auto-intersection nulle. Nous montrons aussi l'existence d'un feuilletage holomorphe au voisinage de C qui admet C comme feuille. Ces deux problèmes apparaissent comme des problèmes de "linéarisation" qui repose des notion appropriés des "résonances" et "petits diviseurs".

Etant donné une variété riemannienne fermée (M,g) et un fibré vectoriel hermitien E -> M équipé d'une connexion unitaire, on peut se demander dans quelle mesure l'holonomie de la connexion le long des géodésiques périodiques détermine la connexion (à un terme de jauge près). Dans le cas où (M,g) est à courbure négative, il s'agit d'un problème analogue à la fameuse conjecture de géométrie de Burns-Katok-stipulant que le spectre marqué des longueurs (i.e. la donnée de la longueur des géodésiques périodiques marquée par l'homotopie libre de la variété) devrait déterminer la structure riemannienne -mais plus simple car linéaire "par nature". J'expliquerai ce problème, ainsi que les obstructions à le résoudre, dont notamment l'existence potentielle de "tenseurs de Killing conformes tordus" ; je montrerai que génériquement, ces obstructions ne sont pas présentes. Il s'agit de travaux en collaboration avec Mihajlo Cekic.

La méthode de Molchanov offre une approche systématique pour la construction d’asymptotiques en temps petit de noyaux de la chaleur sous-riemanniens. Les développements asymptotiques sont fortement liés à la structure des géodésiques minimisantes entre deux points. Si la forme normale de l’application exponentielle est suffisamment explicite au voisinage d’une géodésique minimisante, des développements asymptotiques complets peuvent en principe être donnés. Il est néanmoins possible d’exhiber des métriques pour lesquelles l’application exponentielle est particulièrement dégénérée. Cette approche permet en outre d’obtenir des bornes a priori des noyaux qui sont uniformes sur les compacts sans anormales minimisantes.

En collaboration avec Robert Neel.

We study how bad can be the singularities of a time-optimal trajectory of a generic control affine system. Under the assumption that the control has an even number of scalar components and belongs to a closed ball, we prove that singularities cannot be, generically, worse than finite order accumulations of Fuller points, with order of accumulation lower than a bound depending only on the dimension of the manifold where the system is set. Joint work with F. Boarotto and M. Sigalotti.

Resurgence theory was developed by J.Ecalle in the 1980s to deal with divergent series originating with dynamical system problems. Based on Borel-Laplace summation, it defines interesting subalgebras of the space of formal series, in which the so-called alien derivations act. This is an infinite family of operators satisfying the Leibniz rule, which happen to generate a free Lie algebra. Using these operators, one is naturally led to go from series to transseries to measure resummation ambiguities. Resurgence is used in mathematical problems involving differential or difference equations (giving rise to moduli spaces for analytic dynamical systems), but also in mathematical physics, in relation with WKB expansions and more recently string theory and quantum field theory. I'll illustrate the basic definitions and facts of resurgence theory on some examples.

Nous considérons le problème de classification des voisinages de courbes (complètes lisses et irréductibles) dans les surfaces complexes (non nécessairement compactes). Nous rappellerons des résultats classiques de Grauert, Arnol'd, Ilyashenko, ... spécialement dans le cas des courbes rationnelles et elliptiques. Nous terminerons par énoncer le résultat de classification récemment obtenu en collaboration avec Frédéric Touzet et Sergei Voronin pour les voisinages de courbes elliptiques avec fibré normal de torsion.

(Travail en commun avec Duco van Straten). Lorsqu'un point singulier d'un champ de vecteurs traverse une résonance, un cône invariant formel apparaît. Dans les années soixante-dix, Pyartli a prouvé que pour la résonance (−1,1), le cône est en fait analytique et est la dégénérescence d'une famille de cylindres invariants. Dans sa thèse, Stolovitch a établi un nouveau type de forme normale et a prouvé que pour une résonance simple et dans des conditions arithmétiques, le cône est (le germe) d'une variété analytique. Dans cet article, nous prouvons un théorème de déformation verselle pour les champs de vecteurs analytiques avec une singularité isolée sur des ensembles de Cantor. Notre résultat implique que, dans des conditions arithmétiques, le cône résonnant de Stolovitch est, comme dans l'exemple de Pyartli, la dégénérescence d'un ensemble de variétés invariantes. Pour la bifurcation multi-Hopf, c'est-à-dire pour la résonance (−1,1)^d, cela implique l'existence de tores portant des mouvements quasi-périodiques. Ce résultat généralise des résultats antérieurs de Chenciner et Li pour les cas n=2 et n=3. La démonstration est basée sur la théorie abstraite des foncteurs de Banach et la théorie générale des formes normales qui en découle.

Le calcul moulien de Jean Écalle est une méthode algébrique élémentaire mais puissante, permettant de manipuler des séries multiples dans des contextes variés, que nous illustrerons sur deux exemples apparemment sans lien:

- la formule de Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin;

- la résurgence des solutions formelles des champs de vecteurs de type noeud-col (évoquée à la fin de l'exposé du 1er décembre dernier).

Let \(f\) be a holomorphic endomorphism on \(\mathbb{P}^2\). The first Julia set \(J_1\) is classically defined as the maximal locus such that \(\left\{f^n\right\}\) locally do not form a normal family. The second Julia set \(J_2\subset J_1\) is defined as the support of the measure of maximal entropy. In this talk we will study these two Julia sets for post-critically finite (PCF for short) maps. Here are two main results: 1. \(J_1\setminus J_2\) is contained in the union of attracting basins of critical component cycles and stable manifolds of sporadic super-saddle points. 2. If \(x\in J_2\) is not contained in the stable manifold of a sporadic super-saddle point, then there is no Fatou disk containing \(x\). As corollaries of our results, 1. We answer some questions of Fornaess-Sibony about the non-wandering set for PCF maps. 2. We give a new proof of de Thelin’s laminarity of the Green current on \(J_1\setminus J_2\). 3. We obtain characterizations of PCF maps which are expanding on \(J_2\) or satisfy Axiom A.

Les homémorphismes multicritiques du cercle sont une famille d’homéomorphismes lisses du cercle admettant un ensemble fini (et non vide) de points où sa dérivée s'annule. Tout homémorphisme multicritique du cercle suffisamment régulier et avec un nombre de rotation irrationnel peut être topologiquement conjugué à une rotation irrationnelle. De plus, sa seule mesure invariante est singulière par rapport à la mesure de Lebesgue sur le cercle.



Dans cet exposé, je rappellerai la notion de dimension de Hausdorff d’une mesure et donnerai des limites explicites à sa valeur pour les mesures invariantes des homémorphismes multicritiques du cercle. Ces bornes ne dépendront que des propriétés arithmétiques du nombre de rotation.

Après avoir rappelé quelques résultats classiques d’approximation diophantienne, nous montrerons comment la géométrie des groupes algébriques et la théorie de la réduction permettent de comprendre ces problèmes dans un cadre plus général, celui des variétés de drapeaux. Nous donnerons aussi quelques exemples d'applications aux points rationnels sur les sphères ou les variétés grassmanniennes.

Un flot non singulier sur S^3 est right-handed, au sens de Ghys, si (presque) tout couple d’orbites a un enlacement asymptotique positif. Cette propriété a une conséquence dynamique importante : n'importe quelle collection finie d'orbites périodiques est le bord d'une surface de Birkhoff. En général, la propriété de right-handedness est assez difficile à vérifier.

Dans un projet avec U. L. Hryniewicz, nous donnons un critère quantitatif qui garantit cette propriété dans le cas de flots de Reeb dynamiquement convexes. Après avoir présenté les définitions principales, nous présenterons le critère et donnerons des applications intéressantes.

(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



La théorie métrique de l’approximation diophantienne étudie les tailles, au sens de la mesure de Lebesgue et/ou la dimension de Hausdorff, des ensembles des réels qui sont approchés par des rationnels avec une vitesse étant donnée. Dans les cadres de dynamiques et de probabilités, nous travaillons sur l’approximation des points par des orbites dynamiques et par des suites aléatoires. Dans cet exposé, des résultats classiques ainsi que le développement récent dans ce domaine de recherche seront présentés. Comme un exemple de l’approximation dynamique, considérons dans le cercle unité l’ensemble des points dont les orbites par la dynamique x2 et par la dynamique x3 s’approchent de zéro en même temps, avec une vitesse donnée. La dimension de Hausdorff de ces ensembles est obtenue en admettant la conjecture abc (en collaboration avec Bing Li, Evgeniy Zorin et Sanju Velani). Comme un exemple de l’approximation probabiliste, nous nous intéressons aux ensembles des points dans le cercle unité qui sont uniformément bien approchés par une suite i.i.d. Des estimations sur la dimension de Hausdorff de ces ensembles sont trouvées (en collaboration avec Henna Koivusalo et Tomas Persson). Cette dernière recherche sur l’approximation uniforme aléatoire est un analogue de la recherche sur les recouvrements aléatoires, dans la liste des contributeurs de laquelle, on trouve Dvoretzky, Kahane, Erdös, Mandelbrot, et al.

Nous revisiterons le problème inverse pour les germes de difféos tangents à l'identité près d'un point fixe. Après avoir rappelé la construction des invariants de Birkhoff-Écalle-Voronin, nous exhiberons une famille de difféos ayant des invariants prescrits. Ces difféos "sous forme normale" sont obtenus comme des sommes sectorielles de flots formels et se prolongent analytiquement à un ouvert dense de la sphère de Riemann avec monodromie involutive.

(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Dans cet exposé, on considère le modèle fractionnaire \( \Phi ^ 3_d \) qui est une EDP stochastique sur le tore d-dimensionnel. A travers cet exemple, on illustre la théorie des structures de régularité et on se concentre sur son comportement proche du paramètre critique. On obtient des asymptotiques précises sur les contre-termes de renormalisation à mesure que le paramètre de mollification devient petit et que le paramètre du Laplacien fractionnaire s'approche de sa valeur critique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nils Berglund.

(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Maps, in the combinatorial sense, are graphs drawn on surfaces without edge crossings, and considered up to continuous deformation. Their enumerative theory was initiated by Tutte in the 1960's, and they then appeared in several branches of mathematics, theoretical physics and computer science. What especially motivates their study is that they model discrete random bidimensional geometries, and this point of view has been the subject of intense research in combinatorics and probability theory over the last 20 years.



After a general review of this field of research and of some of its current challenges, I will then focus on a recent work done in collaboration with Emmanuel Guitter and Grégory Miermont. We consider planar maps with three boundaries, colloquially known as pairs of pants. In the bipartite case, a simple expression for their generating function was found by Eynard using the framework of topological recursion. This expression was then proved bijectively by Collet and Fusy. We discovered an even simpler formula for ``tight pairs of pants'', namely such maps whose boundaries have minimal length in their homotopy class. Even though our formula is equivalent to the Eynard-Collet-Fusy formula, we provide a direct bijective proof. Our construction is reminiscent of a similar construction in hyperbolic geometry, which consists in building a pair of pants (with its hyperbolic metric) by pasting two ideal triangles. Our work is a first step in a long-term project which aims at getting a better geometric understanding of maps of arbitrary topologies, and at developing a combinatorial theory of topological recursion.

(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Dans cet exposé, nous décrivons une fonction holomorphe aléatoire, construite dans un article écrit avec Chhaibi et Nikeghbali comme limite du polynôme caractéristique renormalisé d’une matrice aléatoire uniforme sur le groupe unitaire. Cette fonction holomorphe est aussi liée à d’autres ensembles de matrices tels que le l’ensemble gaussien unitaire GUE, et nous conjecturons qu’elle apparait dans le comportement limite de la fonction zeta de Riemann au voisinage de l’axe critique. Les zéros de la fonction que nous construisons forment un processus déterminantal de noyau sinus, correspondant à la limite du spectre de nombreux ensembles de matrices aléatoires, à l’échelle microscopique. Dans un article avec Virag, nous obtenons une propriété d’invariance en loi satisfaite par le processus déterminantal de noyau sinus, faisant intervenir des lignes de niveau d’une fonction méromorphe aléatoire.





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(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Dans cet exposé, nous aborderons la question suivante: Considérons deux fonctions réelles f et g qui appartiennent à une classe quasi-analytique (par exemple, les classes de Roumieu quasi-analytiques). Supposons qu'il s'agisse d'une composition formel, c'est-à-dire qu'il existe une série H telle que formellement f = H \circ g. Pouvons-nous trouver une fonction quasi-analytique h telle que f \circ h = g ?



Nous présenterons des réponses partielles à ce problème sous perte de régularité, et nous montrerons que cette perte de régularité est inévitable. Cette question est un obstacle technique commun à plusieurs problèmes généraux concernant les fonctions quasi-analytiques, y compris les problèmes de division, de préparation, de notherianité des anneaux locaux, d'élimination des quantificateurs, etc. et nous en discuterons brièvement.



Cela fait partie d'articles et de travaux en cours en collaboration avec Iwo Biborski, Edward Bierstone, Michael Chow et Avner Kiro.



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Reducibility of quasi-periodic cocyles is closely related to absolutely continuous spectrum of discrete Schrödinger operators. Local reducibility have been studied by KAM theory, while global reducibility can be studied by renormalization and KAM theory. In this talk, we will talk about a global reducibility result on symplectic quasi-periodic cocycles. If time permitting, we will also talk about hyperbolicity of renormalization.



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(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Dans cet exposé, je présenterai des travaux consacrés à l'étude des géodésiques sur les surfaces (et plus généralement les variétés) non-compactes à courbure négative, à l'intersection entre la géométrie riemannienne, les systèmes dynamiques et l'analyse globale. On cherchera notamment à comprendre comment les "propriétés à l'infini" de ces surfaces influent sur l'analyse et la dynamique à l'intérieur.



Après avoir présenté le contexte géométrique du flot géodésique, je présenterai plusieurs définitions "classiques" de l'entropie dans ce contexte, ainsi que quelques liens (anciens et récents) avec le spectre du Laplacien et la théorie géométrique des groupes. Je présenterai enfin la notion d'entropie à l'infini que nous développons depuis 2017 notamment avec B. Schapira et S. Gouëzel, et quelques unes de ses applications.



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(Séminaire commun GAD et Proba-Stat)



Les métriques hermitiennes spéciales qu'une variété complexe compacte lisse possède donnent des informations sur la géométrie de la variété et constituent un des critères de classification.



Après un bref aperçu de quelques-unes des classes de ces métriques, nous nous concentrerons sur une question soulevée en 2010 par Streets et Tian et complémentaire à une question antérieure de Donaldson que nous avons récemment abordée dans un travail en commun avec S. Dinew (Cracovie) : existe-t-il des variétés complexes compactes lisses admettant des métriques hermitiennes symplectiques mais n'admettant pas de métriques kählériennes?



Nous introduisons une fonctionnelle d'énergie dont nous montrons que les points critiques, s'ils existent, sont exactement les métriques kählériennes dans la classe de cohomologie d'une métrique hermitienne symplectique donnée. L'existence de points critiques est ensuite étudiée à l'aide d'une nouvelle équation de type Monge-Ampère que nous proposons.



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On considère le problème de linéarisation analytique pour un système polynômial en temps discret qui est une généralisation de l’application semi-standard. En collaboration avec S.Marmi, nous montrons que le rayon de convergence de la linéarisation est borné par une fonction de la somme de Brjuno d’un multiple de la fréquence du système.