Concept d'integrale :

  soit  f : [a,b] --> R  une fonction   BORNEE sur [a,b]
        donc telle que    m <=  f(x) <= M  pour tout x dans [a,b]


  L'ensemble  fini  D = {x_0, x_1, ...., x_p} de points de l'intervalle [a,b]
  tels que
             a = x_0 < x_1 < x_2 < .... < x_{p-1} < x_p = b

       est une PARTITION  de [a,b] si  [a,b] = unione disjointe de [x_{i-1}, x_i] pour i = 1,...,p

  On dit que la partition D_2 est un RAFFINEMENT de la partition D_1 si 
            la partition D_1 est contenue dans la partition D_2


  Soit D une partition D de [a,b] :
      sur chaque intervalle [x_{i-1}, x_i] la fonction f est bornee, en particulier
           m <= m_i <=  f(x) <= M_i <= M       
      et on peut calculer la somme inferieure s_D (``esse'' minuscule indice D) 
                        et la somme superieure S_D (``esse'' majuscule indice D) associees a' D comme suit                          
                                 _ p                                  _ p
                                \                                     \
                          s_D = /  [ m_i (x_i - x_{i-1})]   et  S_D = /   [ M_i (x_i - x_{i-1}) ]
                                --                                    --   
                                 i=1                                   i=1
  on a toujours   

              m (b-a) <=   s_D <= S_D    <=  M (b-a) 

  On definit la somme inferieure et la somme superieure 

                     s = sup_{D partition sur [a,b] } s_D  ;   S = inf_{D partition sur [a,b] } S_D        

  (le inf et le sup existent car f est bornee)

 
  Definition :
      une fonction f :[a,b] --> R est Riemann integrable sur [a,b]  si et seulement si     s = S 
         (c'est-a'-dire si la somme inferieure est egale a' la somme superieure) et on pose 
                          
                 _ b        
                /           
      s = S  = /  f(x) dx        (= valeur reelle finie, si f est integrable)    
              /          
            -- a        

    a et b sont les extremites d'integration, f la fonction integrande, et x la variable d'integration
        le produit [f(x) dx] est la mesure avec signe d'une aire d'un rectangle infinitesimal de base dx et hauteur f(x)
        
    L'integrale est la mesure AVEC SIGNE de l'aire comprise entre 
           le droites y=0, x=a, x=b et le graphe de la fonction f sur [a,b].


  Les fonctions suivantes sont integrables sur [a,b]
       les fonctions bornees sur [a,b]
       les fonctions continues sur [a,b]
       les fonctions discontinues sur [a,b] mais avec un nombre fini de points de discontinuite dans [a,b]
       les fonctions Lipschitzienne sur [a,b]
      
------------------------------------------------------ 
  Proprietes de l'operateur integrale

   i) Il est lineaire donc
            integrale de (f + g ) sur [a,b] = integrale de f sur [a,b] PLUS integrale de g sur [a,b]  
            integrale de (c f) sur [a,b] = c FOIS  l'integrale de f sur [a,b]    (c une constante)

   ii) l'integrale de f sur [a,b] est nul si et seulement si  
                       a = b          OU BIEN        f est identiquement nulle sur [a,b]

   iii)  l'integrale est sensible a' l'orientation 

              integrale entre a et b de f   est egale a'  MOINS l'integrale entre b et a de f

   iv)  Si [a,b] = [a,v] U [v,b] (unione disjointe)  alors
 
         l'integrale entre a et b de f est la somme de l'integrale entre a et v de f                  
                                                     et de l'integrale entre v et b de f
  
   v)  Theoreme de la moyenne integrale

            si f :[a,b] --> R est continue sur [a,b]
              il existe un point   c dans  [a,b]  tel que

                 _ b        
                /           
               /  f(x) dx  =  (b-a) f(c)  
              /          
            -- a