Suites numeriques sur R
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Une suite numerique (u_n)_{n in N} est une fonction f : N --> R, avec u_n = f(n) pour tout n dans N.

definition de L limite de la suite (u_n)_n pour  n-->+oo
  pout toute quantite epsilon > 0 il existe un n* dans N tel que pour tout n dans N
                        (n >= n*   ==>   |u_n - L| <= epsilon) 

Remarque : dire n >= n*   signifie  n dans un voisinage de +oo
           dire |u_n - L| <= epsilon  signifie  u_n dans le voisinage de L de taille epsilon

Def de suite bornee, de suite monotone (croissante ou decroissante)

Prop: Une suite convergeante est bornee'. (le reciproque n'est pas vrai. Contre-exemple  u_n = sin(n) dans [-1,1] pour tout n, mais n'a pas de limite)
preuve en TD feuille 2

Prop: Soit (u_n)_n une suite reelle monotone croissante : 
       si (u_n)_n est bornee superieurement, alors elle converge a' sa borne sup 
       si (u_n)_n n'est pas bornee supereiurement, alors elle diverge a' +oo  
preuve en TD feuille 2

Prop (theoreme des gendarmes) : Soient (u_n)_n, (w_n)_n, (z_n)_n trois suites
     on suppose  1) u_n <= w_n <= z_n  pour tout n  et 2)   u_n --> L et z_n --> L (meme limite) pour n --> +oo 
Alors  w_n --> L pour n -->+oo
preuve en TD feuille 2

Prop : Soient (u_n)_n, (w_n)_n deux suites
    on suppose   1) u_n <= w_n   pour tout n  et 2)   u_n --> +oo pour n --> +oo
 Alors w_n --> +oo  pour n -->+oo
Preuve en TD feuille 2

Similairement, si on suppose 1) u_n <= w_n   pour tout n  et 2)   w_n --> -oo pour n --> +oo
Alors z_n --> -oo  pour n -->+oo
preuve en TD feuille 2

Definition de sous-suite extraite (v_n)_n de la suite (u_n)_n si
            v_n = u_{phi(n)}   ou'   phi : N --> N est une fonction strictement croissante

Def : la classe limite  _/\_ (Lambda) de (u_n)_n 
est le sous-ensemble de Rbar forme' de toute valeur limite de sous-suites extraites de la suite (u_n)_n

La suite (u_n)_n converge a' L pour n --> +oo si et seulement si _/\_ = {L} 
   c'est a' dire la classe limite contient la seule valeur L.

Si la classe limite n'est pas reduite a' une seule valeur ou elle contient + ou - oo, la suite (u_n)_n diverge.

Prop : Toute suite reelle (u_n)_n possede une sous-suite extraite monotone.
     
Prop : Toute suite reelle (u_n)_n bornee possede une sous-suite extraite qui converge.

Etude du comportement d'une suite numerique 
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Limites supposes connus pour les suites suivantes :     q^n pour q dans ]0,+oo[ 
                                                      (1 + a/n)^n --> e^a   pour tout reel a
                                                        (ln n)^alpha /n^beta  --> 0   pout tout alpha, beta reels >0
                                                      n^beta / e^(gamma n)   --> 0   pout tout beta, gamma reels >0
    
Suites  recurrentes lineaires d'ordre 1
      u_{n+1} = a u_n + b   n>=0     arithm-geometrique    (voir section 6.1 dans le support suites numeriques sur la page de l'analyse)
      u_0 donne'

Suites recurrentes lineaires d'ordre 2
      u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n , n>=0     par l'etude du polynome caracteristiques (section 6.2)  
      u_0 donne'
      u_1 donne'