Introduction à la géométrie riemannienne



(cours de troisième cycle, avec 27 exercices)
Publication Pédagogique n°48, Nice, janvier 2003, 67 pages.

En préparation :  Une version développée de ces notes sera publiée chez l'éditeur Calvage et Mounet.

Extrait de l'introduction :

Le titre est présomptueux, le sujet annoncé n'étant réellement abordé qu'au dernier chapitre... Il s'agit en fait d'un cours sur la théorie des surfaces de R^3 où, en résistant à la tentation du (très riche) folklore classique en ce domaine, on s'efforce d'introduire les idées, les méthodes et les notations qui sont celles de la géométrie riemannienne générale, afin de faciliter et motiver l'étude ultérieure de celle-ci.
Le cours se situe à un niveau assez élémentaire, avec pour seuls prérequis une bonne familiarité avec le calcul différentiel et ses théorèmes généraux (inversion locale et fonctions implicites), ainsi que quelques notions sur les courbes. En particulier, aucune connaissance préalable sur les variétés différentiables (ni sur les formes différentielles) n'est exigée ici, la définition utile d'une sous-variété de dimension deux de R^3 étant rappelée au début du chapitre 1. Ce chapitre introduit la première forme fondamentale d'une surface (le ds²) et la notion associée d'isométrie.
Le chapitre 2 est consacré aux géodésiques. Introduites d'abord comme chemins tout droits, je veux dire à partir de la dérivée covariante (et des symboles de Christoffel, qui donnent tant de charme aux calculs en coordonnées) , elles conduisent rapidement à la carte exponentielle et aux coordonnées géodésiques polaires. Une brève initiation au calcul des variations (qui pourra, je l'espère, avoir quelque autre utilité pour les Lecteurs de ce cours) permet de faire le lien avec un autre point de vue sur les géodésiques, comme plus court chemin entre deux points.
Le chapitre 3, entièrement à la gloire de la courbure, contient les deux résultats majeurs du cours. Le premier est l'équivalence d'une dizaine de définitions différentes de la courbure de Gauss, les unes extrinsèques (basées sur l'application de Gauss), les autres intrinsèques (liées uniquement au ds² de la surface). Le second théorème est la formule de Gauss-Bonnet, sous forme locale puis globale ; cette dernière établit un lien remarquable entre la courbure d'une surface et sa topologie, qui se manifeste par sa caractéristique d'Euler-Poincaré.
Le chapitre 4 esquisse les bases de la géométrie riemannienne sur une variété abstraite. L'approche intrinsèque de la théorie des surfaces étudiée auparavant devrait rendre suffisamment naturel le saut conceptuel, qui se réduit au fond à peu de chose : remplacer le ds² qu'induit sur la surface l'espace euclidien ambiant par une forme quadratique donnée a priori sur l'espace tangent à la variété. L'exemple classique et important de la géométrie hyperbolique permettra de se familiariser avec ce nouveau point de vue. Ce dernier chapitre, très succinct, n'a d'autre ambition que d'éveiller la curiosité et inciter à une étude plus approfondie.