| 21 heures de cours (14 séances) et 30 heures de travaux dirigés (20 séances) par Ann Lemahieu et Andreas Höring |
| Modalités d’évaluation : |
Deux examens sont prévus : un écrit blanc type agrégation et un
examen final type M2. Note finale de l'U.E. = Note de l'examen final. Tout absence à l'écrit blanc ou à l'examen final entraine un 0 au module |
| Notes de cours : |
Chapitre 1. Introduction aux groupes 1. Premières définitions et exemples (Réf. Dummit and Foote, Arnaudiès et Fraysse) 2. Homomorphismes et isomorphismes de groupes (Réf. Dummit and Foote, Arnaudiès et Fraysse) 3. Actions de groupes (Réf. Dummit and Foote, Arnaudiès et Fraysse, Caldero et Germoni) 4. Sous-groupes distingués et groupes quotients (Réf. Dummit and Foote, Arnaudiès et Fraysse, Calais) Chapitre 2. Actions de groupes : applications 1. Décomposition en cycles disjoints dans le groupe symétrique Sn (Réf. Dummit and Foote) 2. Le théorème de Cayley (Réf. Dummit and Foote) 3. L'équation aux classes (Réf. Dummit and Foote) 4. Lemme de Burnside (Réf. Combes, Armstrong, Caldero-Germoni) 5. Groupes d'isométries - sous-groupes finis de SO(3) 5.1. Introduction : les solides platoniciens en R^3 (Réf. Caldero-Germoni) 5.2. Etude du groupe symétrique Sn - partie 1 (Réf. Dummit and Foote) 5.3. Groupes d'isométries : exemples (Réf. Caldero-Germoni, Alessandri) 5.4. Sous-groupes finis de SO(2) et SO(3) (Réf. Combes, Nourdin) 6. Théorèmes de Sylow (Réf. Auliac, Delcourt, Goblot, Calais, Dummit and Foote, Perrin, Szpirglas) 7. Etude du groupe symétrique Sn - partie 2 (Réf. Dummit and Foote, Perrin) Chapitre 3. Produit direct, produit semi-direct et structure de groupes abéliens de type fini 1. Produit direct de groupes (Réf. Dummit and Foote) 2. Produit semi-direct de groupes (Réf. Dummit and Foote, Perrin) 3. Structure des groupes abéliens de type fini (Réf. Dummit and Foote, Calais) Chapitre 4. Espaces projectifs, homographies et birapport (Réf. Audin, Ch.V) Chapitre 5. Représentations linéaires des groupes finis 1. Représentations (Réf. Dummit and Foote, Kosmann-Schwarzback, Serre, Ulmer) 2. Le caractère d'une représentation (Réf. Serre, Ulmer) 3. Caractères et sous-groupes distingués (Réf. Ulmer) 4. Applications 4.1. Théorème de Burnside sur les sous-groupes de GL_n(C) (Réf. Curtis and Reiner) 4.2. Théorème de Burnside p^a q^b (Réf. Dummit and Foote) 4.3. Table des caractères de S_4 (Réf. Dummit and Foote) |
| Feuilles d'exercices : |
Feuille 1 : Groupes et al. Feuille 2 : Actions de groupes Feuille 3 : Actions de groupes - applications Feuille 4 : Groupes abéliens de type fini Feuille 5 : Homographies et birapport Feuille 6 : Représentations des groupes finis |
| Liste de développements associés à ce module : |
Théorèmes de Sylow (Réf. Perrin, Dummit and Foote, Calais) Formule de Burnside et collier de perles, ou variants (Réf. Combes, Armstrong, Caldero-Germoni) Groupe des isométries du cube (Réf. Caldero-Germoni, Alessandri) Sous-groupes finis de SO(3) (Réf. Combes, Nourdin) Simplicité de A_n (Réf. Perrin) A isomorphisme près A_5 est le seul groupe simple d’ordre 60 (Réf. Dummit and Foote) Théorème de Wedderburn (Réf. Dummit and Foote) Théorème de structure des groupes abéliens de type fini (Réf. Dummit and Foote) Théorème des six birapports et cocyclicité Groupe circulaire Table des caractères de S_4 (Réf. Dummit and Foote) Théorème de Burnside sur les sous-groupes de GL_n(C) (Réf. Curtis and Reiner) Théorème de Burnside p^a q^b (Réf. Dummit and Foote) |
| Références : |
Alessandri, Thèmes de geométrie Armstrong, Groups and Symmetry Arnaudiès, Les cinq polyèdres réguliers de R³ et leurs groupes, Centre de documentation universitaire Arnaudiès et Fraysse, Cours de mathématiques, tome 1: Algèbre Audin, Géométrie, EDP sciences Auliac, Delcourt, Goblot, Algèbre et Géométrie Berger, Géométrie, Nathan Caldero et Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie Calais, Éléments de théorie de groupes Curtis and Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras Dummit and Foote, Abstract Algebra Francinou, Gianella, Exercices de mathématiques pour l'agrégation : Algèbre 1, Masson Kosmann-Schwarzback, Groups and symmetries Mneimé, Eléments de géométrie (actions de groupes), Cassini Nourdin, Agrégation de mathématiques. Epreuve orale : 68 thèmes pour se préparer efficacement Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses L. Schwartz, Algèbre 3ème année, Dunod 2003 J.-P. Serre, Groupes finis, Cours à l'ENSJF, 1978 J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, PUF Szpirglas, Exercices d'algèbre Ulmer, Théorie des groupes |
| Site de ce cours, 2015-16 : |
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