Blow-up, Dispersion and Solitons

        

 Speaker
Abstract
Corentin Audiard
Problème aux limites non homogène pour l'équation de Schrödinger non
linéaire
  David Chiron
Ondes progressives pour NLS en dimension 2 et 3

On s'intéresse à l'équation de Schrödinger Non Linéaire en dimension deux avec une condition non nulle à l'infini, dont un modèle classique est l'équation de Gross-Pitaevskii (GP). Cette équation possède des ondes progressives de vitesses entre 0 et la vitesse du son reliée à une certaine équation des ondes. On propose des résultats d'existence et de stabilité orbitale issus de méthodes variationnelles, ainsi que des simulations numériques. Ces dernières permettent de mettre en évidence des comportements qualitatifs nettement plus variés que ce que l'on observe pour (GP). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Mihai Maris d'une part et Claire Scheid d'autre part.
André De Laire
Quelques problèmes liés à l'équation de Landau-Lifshitz

Dans cet exposé, nous considérerons l'équation de Landau-Lifshitz, un modèle décrivant la dynamique du spin dans des matériaux ferromagnétiques. Nous nous intéresserons à deux types de matériaux : un avec anisotropie planaire, et un autre avec un paramètre d'amortissement (amortissement de Gilbert). Pour ces différents scénarios, nous discuterons de l'existence, de la régularité et de la stabilité des solitons, chaînes de solitons et des solutions auto-similaires.

Thomas Duyckaerts
Profils pour les solutions bornées de l'équation des ondes focalisante critique

Cette exposé est consacrée aux solutions bornées, non asymptotiquement
linéaires, de
l'équation des ondes focalisante critique pour l'énergie. Je montrerai
qu'une telle solution converge, dans un sens faible, le long d'une
suite de temps et après changement d'échelle, vers une somme d'ondes
solitaires découplées. Ce résultat est une première étape dans la
démonstration d'un résultat
de type "résolution en solitons" pour cette équation.
Benoit Grébert
Dynamiques de Klein Gordon près d'une onde solitaire

Nous considérons l'équation de Klein Gordon non linéaire sur une variété de Riemann compacte M
\partial^{2}_t u-\Delta u - m^{2}u+u^{2p+1} =0, (t,x)\in\R\times M.
Le signe moins devant la masse produit une direction instable au voisinage du point d'équilibre u=0 ce qui conduit à l'existence d'une onde solitaire (une orbite homocline à zéro). Nous nous intéressons aux solutions proches de cette homocline.
Travail en collaboration avec T. Jezquel et L. Thomann.
Gérard Iooss
Problèmes de petits diviseurs en Mécanique des fluides 
Camille Laurent
Contrôle et stabilisation de l'équation de Benjamin-Ono

On prouve la contrôlabilité et la stabilisation globale interne de l'équation de Benjamin-Ono sur L^2 en domaine périodique. La difficulté dans l'application de la méthode de compacité-unicité consiste à comprendre l'interaction entre le changement de jauge et les propriétés de propagation de la compacité.
Ceci est un travail en collaboration avec Felipe Linares et Lionel Rosier
Gilles Lebeau
 Inégalités de Strichartz pour les ondes dans des domaines strictement convexes
Frank Merle
Collision of solitons and dispersion
Evelyne Miot
Quelques exemples de dynamiques de tourbillons filamentaires

Un système d'équations combinant l'équation de Schrödinger 1D et le système des points vortex a été obtenu par Klein, Majda et Damodaran pour modéliser la dynamique de tourbillons filamentaires presque droits dans les fluides parfaits incompressibles. Le but de cet exposé sera de décrire différentes dynamiques (ondes progressives, collisions ou blow-up en temps fini...) en mettant l'accent sur le cas de la paire de filaments, pour laquelle on présentera quelques résultats numériques. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Valeria Banica et Erwan Faou.
Luc Molinet
Sur la limite dispersive de  Kawahara vers KdV

On étudie le comportement limite des solutions de l'équation de Kawahara
u_t +u_{3x} +\varepsilon u_{5x} + u u_x =0  ,   \varepsilon>0
lorsque \varepsilon tend vers 0. Dans cette équation les termes u_{3x} et \varepsilon u_{5x} rentrent en compétition et se compensent exactement à des fréquences d'ordre 1/\sqrt{\varepsilon}. Notre but est de montrer que, malgré cette annulation, on peut utiliser les effets  dispersifs afin d'améliorer le résultat de convergence classique vers l'équation de KdV qui découle directement d'estimations d'energie et ne tient pas compte  de la dispersion.
Claudio Munoz
Sur la stabilité des breathers

Le but de cet exposé est de donner quelques idées sur la démonstration
de la stabilité dans l'espace d'énergie des structures très
particulières du type 'breathers', qui sont des solutions de
l'équation KdV modifiée et sine-Gordon dans la droite. Il s'agit d'un
travail en collaboration avec M.A. Alejo.
Rémi Schweyer
Dynamique explosive pour le modèle de Patlak Keller Segel

 Le système parabolique-elliptique de Patlak Keller Segel a été largement étudié ces vingt dernières années, et l'influence de la masse (norme L^1), conservée par le flot, sur la dynamique des solutions est maintenant bien comprise. Notamment, un argument de type viriel permet d'obtenir simplement l'explosion en temps fini de toutes solutions de masse surcritique, sans pour autant donner des informations sur cette dynamique.
    Je présenterai donc un résultat décrivant finement une dynamique stable pour des solutions de masse très légèrement surcritique. De plus, une stratégie similaire permet d'obtenir un théorème analogue dans le cas parabolique-parabolique que j'exposerai succinctement.
Hatem Zaag
Stabilité des points non-caractéristique pour l'équation semilinéaire des ondes en dimension supérieure

On considère les solutions explosives pour l'équation semilinéaire des ondes en dimension supérieure, avec une nonlinéarité sous-conforme. Après l'introduction de la notion de points non-caractéristiques à l'explosion, on montrera que l'ensemble est ouvert, et mieux, qu'ils persistent suite à une perturbation de la donnée initiale. La preuve se base sur une connaissance fine de la dynamique de l'équation autour des solitons, qui apparaissent comme profil limite à l'explosion. Si une telle dynamique reste conforme au cas bien établi de la dimension $1$, le passage à la dimension supérieure présente de nombreux défis techniques.










 









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