Licence de Mathématiques L3 : Contenus des enseignements.


Premier semestre

Topologie et Calcul Différentiel

On introduira plusieurs outils fondamentaux de l'analyse mathématique par
de fréquents allers et retours entre quelques notions de topologie des
espaces métriques (compacts, complets, théorème du point fixe) et
leur intervention dans le calcul différentiel des fonctions de plusieurs
variables et ses applications géométriques (différentielles,
dérivées partielles, théorème des fonctions implicites,
courbes, surfaces, problèmes d'extremum).

Le cours se termine par un bref aperçu sur les équations
différentielles (théorème de Cauchy-Lipschitz, problème du
domaine d'existence des solutions).

Mesure et probabilités

Espace mesuré. Mesure de Lebesgue (sur R^n).
Fonctions mesurables et intégration. Lemme de Fatou.
Théorèmes de convergence monotone et dominée.
Intégrales multiples, formule de changement de variables, théorème de Fubini.
Transformation de Fourier
Introduction du formalisme des probabilités. Variables aléatoires.
Espérance. 
 

Algèbre et Géométrie 

Endomorphismes nilpotents ; sous-espaces caractéristiques ; décomposition de Dunford ;
polynôme minimal.
Dual d'un espace vectoriel ; application transposée.
Formes quadratiques, formes bilinéaires symétriques (hermitiennes) ;
orthogonalité ; endomorphismes normaux, symétriques (hermitiens),
orthogonaux (unitaires) d'un espace euclidien (hermitien) ; diagonalisation éventuelle ;
réduction simultanée.
Espaces de Hilbert. Projection orthogonale.

 
Géométrie

Géométrie affine, barycentres, parties convexes.
Géométrie euclidienne, réduction des isométries en dimension 2 et 3,
génération des déplacements par les demi-tours (dim 3) ; similitudes.
Systèmes de coordonnées.
Droites, plans, cercles et sphères ; équations normales et polaires ;
angle de droites, de plans ;
puissance d'un point par rapport à un cercle, pinceaux.
Classification des coniques et des quadriques.
 

Variable complexe

Séries entières ; zéros isolés, prolongement analytique ;
principe du maximum ; suites de fonctions analytiques.
Circuits et intégrales, homotopie ; fonctions définies par des intégrales ;
fonctions Gamma, Zéta, Résidus.
Inversion : logarithme, racine carrée et puissances complexes.


  


Deuxième semestre

Algorithmique


Algorithmes mathématiques : algorithme d'Euclide
Transformation de Fourier discrète et multiplication des polynômes.
Méthodes de tri et de recherche.
Graphes et arbres : arbre recouvrant, plus court chemin, compression de Huffman, tri par tas.
Eléments de complexité. Récursivité et récurrence.

 

Analyse Numérique 


Résolution de systèmes linéaires : conditionnement d'une matrice ;
décomposition LU.
Méthodes itératives : convergence de méthodes itératives ;
résolution itérative d'un système linéaire ; la méthode de Newton.
Calculs des valeurs et vecteurs propres : méthode de la puissance ; méthode QR.
Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange ;
formule de Newton et différences divisées.
Intégration numérique : formule d'erreur de Péano ;
formules de Newton-Cotes ; polynmes orthogonaux et quadrature de Gauss.
Résolution numérique des équations différentielles ordinaires : méthodes à un pas,
ordre, stabilité et convergence ;
formules de Runge-Kutta ; méthodes à  pas multiples.

Compléments d'analyse numérique

Si le cours d'analyse numérique expose et analyse les propriétés d'algorithmes,
dans ce cours, qui vient en complément, le côté expérimental
de ce domaine des mathématiques appliquées est mis en avant.
L'analyse numérique propose des algorithmes capables de fournir
des solutions approchées de modèles mathématiques,
issus par exemple des sciences physiques ou des sciences de l'ingénieur,
pour lesquels des solutions exactes sont hors d'atteinte.
Des exemples de tels problèmes, relevant de l'analyse matricielle,
de la quadrature ou des systèmes différentiels,
sont abordés et résolus par voie d'ordinateur.

Géométrie Différentielle

Courbes paramétrées, courbes régulières, droite tangente,
abscisse curviligne, longueur ; courbes planes définies implicitement ;
trièdre de Frenet, courbure et torsion.
Théorème fondamental d'existence et unicité.
Rayon et centre de courbure, cercle osculateur.
Nombreux exemples issus des différentes sciences.
Surfaces régulières et leurs paramétrisations, plan tangent, normale.
Surfaces définies implicitement ;
les deux formes quadratiques fondamentales et applications.
Orientation. Courbure normale, courbure de Gauss,
courbure moyenne et courbures principales.
Géodésiques.
Equations différentielles : Exemples. Aspects qualitatifs.

 


Algèbre et Arithmétique


Structures algébriques (exemples de structures quotient)
Groupes finis, cycliques.
Arithmétique, polynômes, racines, irréductibilité, nombres algébriques.
Polynômes symétriques. Résultant, discriminant.
Corps de rupture et de décomposition.

Compléments d'algèbre et arithmétique

Classification des groupes abéliens de type fini.
Corps finis. Algorithmes de factorisation des polynômes sur un corps fini.

 

Probabilités et applications


Variables aléatoires. Lois de probabilité usuelles.
Vecteurs aléatoires,
Lois jointes et marginales.
Fonctions caractéristiques. Indépendance.
Vecteurs gaussiens. Notions de convergence.
Lemme de Borel-Cantelli. Loi des grands nombres ;
théorème de la limite centrale.
Applications en statistiques.

Compléments de probabilités et statistiques

Vecteurs gaussiens, théorème centrale limite vectoriel, application au test du chi2
Modèle linéaire gaussien, régression linéaire, analyse de la
variance à 1 et 2 facteurs. Estimation et tests d'hypothèse linéaire.
Fonction de répartition, fonction de répartition empirique, test de Kolmogorov-Smirnov.


Histoire des mathématiques


L'unité Histoire des mathématiques s'adresse aux étudiants désireux de mieux connaître le développement historique de leur discipline. L'enseignement dispensé s'attachera à  replacer les découvertes mathématiques dans leur cadre historique en retraçant le cheminement des idées qui les ont rendues possibles.  Des textes originaux seront étudiés et commentés en Travaux dirigés.


Les thèmes abordés au cours de ce semestre seront les suivants :

- Les équations algébriques de la Renaissance italienne au XIXème siècle (Arnaud Beauville).

- Les Principia de Newton et la naissance de la science du mouvement (Pierre Coullet).

- La sommation des séries de Zénon à  Euler (Marc-Antoine Coppo).