Sur les variétés compactes asymptotiquement harmoniques.

Patrick FOULON, François LABOURIE

Nous nous proposons de montrer dans cet article que les variétés compactes à courbure négative et asymptotiquement harmoniques sont dynamiquement identiques aux espaces localement symétriques de rang 1.

Rappelons tout d’abord qu’une variété harmonique est une variété telle que la courbure moyenne des sphères est constante. En 1944, A. Lichnerowicz a montré qu’une variété harmonique de dimension inférieure ou égale à 4 était nécessairement un espace symétrique de rang 1 [Li]. Ceci le conduit à conjecturer le résultat lorsque l’on n’impose plus de restrictions sur la dimension. Parmi les résultats récents sur le sujet, signalons tout d’abord que Z. Szabo a démontré cette conjecture pour les variétés compactes ayant un groupe fondamental fini [Sz]. A l’opposé, E. Damek et F. Ricci ont récemment annoncé un contre-exemple dans le cas non compact, à savoir une classe de variétés harmoniques homogènes simplement connexes à courbure négative qui ne sont pas symétriques [D-R].

Dans le cas de la courbure négative, on est conduit naturellement à définir les variétés asymptotiquement harmoniques comme étant celles telles que la courbure moyenne des horosphères est constante. Notre résultat, à mettre en regard avec celui de Damek et Ricci, est le suivant

Théorème. Soit M une variété compacte C^{∞} à courbure négative et asymptotiquement harmonique, alors le flot géodésique de M est C^{∞} conjugué à celui d’une variété compacte localement symétrique de rang 1.

U. Hamenstädt a récemment annoncé que la conclusion du théorème entraînait que M était à courbure constante dans le cas où l’espace modèle était lui même à courbure constante [H1].

Pour situer notre résultat, rappelons que F. Ledrappier a démontré que si λ_{1} est le bas du spectre du laplacien du revêtement universel et h est l’entropie topologique d’une variété compacte à courbure négative, alors l’égalité λ_{1} = h^{2}/4 entraîne que la variété est asymptotiquement harmonique [Le]. Par ailleurs, U. Hamenstädt a également annoncé que si la mesure harmonique est dans la même classe que la mesure de Lebesgue, alors la variété est asymptotiquement harmonique. On peut enfin penser que le résultat de ce papier et les techniques utilisées peuvent représenter une étape sur la voie d’une démonstration de la conjecture de la rigidité entropique de Katok.

L’idée de base de notre démonstration est de se ramener au théorème 2 de [B-F-L] qui montre que si une variété riemannienne compacte à courbure négative a ses distributions horosphériques C^{∞}, alors son flot géodésique est C^{∞} conjugué à celui d’un espace localement symétrique de rang 1. Il nous suffit donc de démontrer que la distribution horosphérique est lisse. Ceci se fait en montrant qu’elle est solution d’équations algébriques.

Signalons que l’un des sous-produits de la démonstration est un résultat de régularité pour la distribution stable d’un flot d’Anosov topologiquement transitif (proposition 5.2.). Un dernier point à remarquer est que la démonstration est en fait plus générale et que l’hypothése asymptotiquement harmonique peut-être remplacée par l’hypothèse que la courbure moyenne est une fonction C^{∞} sur le fibré unitaire.

Il nous faut remercier tout particulièrement B. Teissier dont l’aide s’est avérée particulièrement précieuse lors de la démonstration du lemme 3.2. , ainsi que Y. Benoist, F. Ledrappier et P. Pansu pour leur intérêt pour ce travail.

1 Structure de la démonstration

Comme nous l’avons déjà dit dans l’introduction, notre but est de nous ramener au théorème 2 de [B-F-L]. Cela se fait en deux étapes. Tout d’abord, nous montrons en 3.1.

proposition Si M est asymptotiquement harmonique, il existe un ouvert dense du fibré unitaire UM sur lequel les distributions stable et instable du flot géodésique sont C^{∞}.

L’idée est la suivante : on commence par montrer que dans la grassmanienne des n-plans lagrangiens de T UM au dessus d’un point v de UM , la distribution stable E^{+} est l’unique zéro commun d’une infinité de fonctions algébriques (proposition 2.5.). Nous concluons à l’aide d’un lemme général qui nous apprend que si l’ensemble des zéros d’une famille C^{∞} d’équations algébriques varie continûment, alors il varie de manière C^{∞} sur un ouvert dense de l’espace des paramètres (lemme 3.2.).

La deuxième étape consiste à démontrer en 5.1., la

proposition Soit ϕ_{t} un flot d’Anosov sur une variété compacte M tel que les distributions stable et instable, notées E^{+} et E^{−}, soient C^{∞} sur un ouvert dense, alors ces distributions sont C^{∞} partout.

Pour démontrer cela, on considère une feuille stable F^{+} périodique incluse dans notre ouvert dense et on montre que la distribution E^{−} restreinte à cette feuille a ses dérivées uniformément bornées. Ceci va découler d’une étude des solutions C^{∞} des solutions de l’équation homologique faite dans la section 4. En fait, nous montrons même la proposition plus générale suivante en 5.2. :

proposition Soit ϕ_{t} un flot d’Anosov topologiquement transitif sur une variété compacte M tel que la distribution instable E^{−} soit C^{∞} le long d’une feuille centrale stable d’une orbite périodique, alors cette distribution est C^{∞} partout.

Cette dernière proposition est à mettre en regard avec la théorie de la régularité pour les difféomorphismes d’Anosov esquissée dans [H-K] et [H].

2 Caractérisation algébrique des feuilletages horosphériques.

2.1 . Soit M une variété de dimension n à courbure strictement négative et UM son fibré unitaire sur lequel agit le flot géodésique ϕ_{t}, engendré par le champ de vecteur X. Il est bien connu que ce flot est d’Anosov, c’est-à-dire qu’il existe une décomposition au moins C^{0} du fibré tangent à UM

T UM = E^{+} ⊕ E^{−} ⊕ RX,

ainsi que C et Λ tels que pour tout t positif et tout Y^{±} de E^{±}, nous ayons

∥T ϕ_{±t}(Y^{±})∥ ≤ Ce^{−tΛ}∥Y^{±}∥.

Par ailleurs, si nous notons V l’espace tangent à la fibre de la projection sur M, V est inclus dans E^{+} ⊕ E^{−} et est transverse à chacun des facteurs.

Rappelons enfin que E^{+} ⊕ E^{−} est muni d’une forme symplectique ω invariante par le flot, pour laquelle E^{+}, E^{−} et V sont lagrangiens.

2.2 . Soient g_{0} la métrique de M et g_{1} la métrique (dégénérée) induite sur UM par la projection sur M. Soit aussi B le fibré des n-plans lagrangiens de E^{+} ⊕ E^{−} qui n’intersectent pas V. La fibre B_{v} au dessus d’un point v de UM est naturellement un ouvert de Zariski d’une variété algébrique. Si nous choisissons un supplémentaire C^{∞}, V_{0}, à l’espace vertical V, nous pouvons identifier B à un sous-fibré vectoriel C^{∞} du fibré des endomorphismes linéaires de V_{0} dans V. Les structures algébriques des fibres sont alors respectées. Dans la suite pour des raisons techniques, nous allons également utiliser l’identification canonique de B avec le sous-fibré vectoriel B̄ du fibré des endomorphismes linéaires de E^{+} dans V. Remarquons que B̄ n’est pas a priori un fibré C^{∞}.

Remarquons que pour tout n-plan Q de B la métrique g_{1}|_{Q} est non dégénérée.

Soit g_{t} la métrique sur Q, éventuellement dégénérée, définie par

g_{t} = (ϕ_{t}^{∗}g_{1}) |_{Q} .

Ceci nous permet de construire une fonction f_{t} de B dans R : avec les notations précédentes, définissons f_{t}(Q) comme le carré du discriminant de g_{t} par rapport à g_{1} sur Q.

Nous allons donner maintenant une description explicite de f̄_{t} l’application de B̄ dans R qui se déduit de f_{t}. Soient A un élément de B̄ et p la projection de E^{+} ⊕ E^{−} sur E^{+} parallèlement à V, soit maintenant W_{t} l’application linéaire de E^{+} dans E^{+} définie par

W_{t}(Y) = p(ϕ_{t}(Y + A(Y))),

alors

f̄_{t}(A) = det(W_{t}^{∗}W_{t}),  (Δ)

où l’adjoint est pris par rapport à la métrique g_{1}.

2.3 . Une remarque essentielle pour la suite est que la fonction f_{t} est de classe C^{∞} et que restreinte à la fibre B_{v} de B au dessus de v de UM , c’est une fonction algébrique.

2.4 . Remarquons également qu’à chaque choix de métrique h sur le fibré E^{+}, nous pouvons associer une fonction construite sur le modèle de f̄. Il suffit pour définir une telle fonction d’utiliser la formule (Δ) en prenant l’adjoint ∗ pour cette métrique h. Une telle fonction n’est pas alors toujours C^{∞}.

Nous nous proposons de montrer dans cette partie la

2.5 proposition. Si M est asymptotiquement harmonique de courbure moyenne des horosphères h et si Q est un élément de B_{v}, alors Q est E_{v}^{+} si et seulement si

∀n ∈ N, f_{n}(Q) = e^{−2nh},

autrement dit, A de B̄_{v} est nul, si et seulement si

∀n ∈ N, f̄_{n}(A) = e^{−2nh},

Preuve : Il est classique tout d’abord de montrer en utilisant le fait que la courbure moyenne des horosphères est constante, que

∀t ∈ R, f̄_{t}(0) = e^{−2th}.

Ceci exprime le fait que la croissance de la forme volume des horosphères par la dilatation normale est exactement exponentielle, puisque la courbure moyenne des horosphères est constante.

Nous allons maintenant montrer que si A est non nul, alors

Lim_{t→+∞}(\frac{Log(f̄_{t}(A))}{t}) > −h,  (1)

ce qui démontre la réciproque.

Remarquons que (1) ne dépend pas de la métrique choisie sur E^{+}, lorsque l’on définit f̄_{t} avec la formule (Δ) en prenant l’adjoint ∗ pour la métrique choisie. Nous allons donc choisir une métrique sur E^{+} qui nous permettra de démontrer (1) plus aisément.

Pour cela, commençons par remarquer que V est muni d’une métrique naturelle. En effet, il est classique de remarquer que si Y est un vecteur de V et si Ȳ est un champ de vecteur tangent à V étendant Y alors ω([X, Ȳ], Ȳ) ne dépend pas de l’extension Ȳ choisie et définit une métrique positive non dégénérée sur V. Munissons maintenant E^{+} de la métrique déduite par dualité grâce à ω.

Soit maintenant F = ker(A), et F_{t} = T ϕ_{t}(F) le champ de plan obtenu en poussant F le long de l’orbite de v, soient également G_{t} l’orthogonal de F_{t} dans E^{+} et U_{t} l’orthogonal de F_{t} dans V obtenu par la dualité définie par ω. Par construction, nous avons le long de l’orbite de v, la décomposition en tout point ϕ_{t}(v) de l’orthogonal H_{t} de F_{t} pour ω en H_{t} = F_{t} ⊕ G_{t} ⊕ U_{t}. Remarquons que H_{t} est invariant par ϕ_{t}, puisque ω et F_{t} le sont. Nous pouvons maintenant considérer A comme un endomorphisme de G_{0} dans U_{0}.

Choisissons une base orthornormée de H_{t} formée de la réunion d’une base othornormée (f_{t}^{i}) de F_{t}, d’une base orthonormée (g_{t}^{i}) de G_{t} et la base duale (u_{t}^{i}) orthonormée par construction, de U_{t}. La matrice Φ_{t}(s) de T ϕ_{t} en un point ϕ_{s}(v) de H_{s} dans H_{t+s} s’écrit alors dans ces bases

Φ_{t}(s) = ( \begin{matrix}L_{t}(s) & K_{t}(s) & Z_{t}(s) \\ 0 & M_{t}(s) & C_{t}(s) \\ 0 & 0 & N_{t}(s) \end{matrix} ) .

avec M_{t}(s)N_{t}^{∗}(s) = Id. Maintenant, en utilisant la notation générale S_{t} = S_{t}(0)

f̄_{t}(0) = (det(L_{t}).det(M_{t}))^{2}

et

f̄_{t}(A) = (det(L_{t}).det(M_{t} + C_{t}.A))^{2}.

Pour conclure, il nous faut donc montrer que

Lim_{t→+∞}(\frac{Log(det(Id + M_{t}^{−1}C_{t}.A))}{t}) > 0.  (2)

Nous avons l’équation Φ_{t+s} = Φ_{s}(t)Φ_{t} qui nous donne en notant en général Ṡ_{t_{0}}(s) = \frac{∂}{∂t}|_{t=t_{0}}S_{t}(s) et Ṡ_{t_{0}} = \frac{d}{dt} |_{t=t_{0}}S_{t},

Φ̇_{t} = Φ̇_{0}(t)Φ_{t}.

Nous obtenons en particulier les équations différentielles suivantes

Ṁ_{t} = Ṁ_{0}(t)M_{t},  (3)

et

Ċ_{t} = Ṁ_{0}(t)C_{t} + Ċ_{0}(t)N_{t}.  (4)

Par choix de notre métrique et de notre base, Ċ_{0}(t) = −Id. En effet, en notant T^{ij} les coefficients d’une matrice T,

\begin{matrix}Ċ_{0}^{ij}(s) = & \frac{∂}{∂t} |_{t=0} C^{ij}(t, s) \\ = & \frac{∂}{∂t} |_{t=0} ω(ϕ_{t}(u_{s}^{i}), u_{s+t}^{j}) \\ = & ω(u_{s}^{i}, [X, u_{s}^{j}]) \\ = & − δ^{ij}. \end{matrix}

Nous obtenons donc une solution de (4) en prenant

C_{t} = −M_{t} ∫_{0}^{t} M_{s}^{−1}N_{s}ds.

En utilisant le fait que

∥M_{t}(Y)∥ ≤ Ce^{−Λt}∥Y ∥

et que N_{t}^{∗} = M_{t}^{−1}, on en déduit qu’il existe B tel que

∥M_{t}^{−1}C_{t}(Y)∥ ≥ Be^{Λt}∥Y ∥,

ce qui montre (2), puisqu’il existe D tel que pour tout Y de V_{0}, ∥A(Y)∥ ≥ D∥Y ∥.

3 les feuilletages horosphériques sont presque lisses.

Nous voulons montrer la proposition cruciale suivante

3.1 proposition. Si M est asymptotiquement harmonique, il existe un ouvert dense de UM sur lequel E^{+} et E^{−} sont C^{∞}.

Cette proposition découle immédiatement de la proposition 2.5., de la remarque 2.3. et du lemme suivant appliqué à V = UM, à σ la section de B définie par E^{+} et aux fonctions

F_{p} = ∑_{i=0}^{i=p}(f_{i} − e^{−2ih})^{2}.

Rappelons à ce stade que B peut se décrire -de nombreuses façons différentes- comme un fibré vectoriel.

3.2 Lemme. Soit B ⟶ V un fibré vectoriel différentiable de fibre B_{v}.

Soit par ailleurs pour tout p, F_{p} une fonction C^{∞} de B dans R telle que pour tout v, l’application F_{p} |_{B_{v}} soit algébrique et de degré borné d. Soit enfin σ une section continue de V ⟶ B telle que

σ(V) = ⋂_{p∈N} F_{p}^{−1}{0}.

Alors il existe un ouvert dense de V sur lequel σ est C^{∞}.

Bien sûr, ce lemme ne se limite pas aux fibrés vectoriels, on peut le généraliser aux fibrés C^{∞} dont la fibre est une variété algébrique ; mais ceci nous obligerait à définir cette notion et d’autres, plus désagréables encore.

Preuve : on peut tout d’abord se ramener au cas où F_{p+1}^{−1}{0} est inclus dans F_{p}^{−1}{0}. Le problème est purement local et nous pouvons donc supposer la fibration triviale

B = V × E ⟶ V,

où V = R^{v} et E = R^{m}.

Notons maintenant P l’espace vectoriel des applications polynomiales de degré inférieur à d de E dans R. Nous allons faire comme les géomètres algébristes et tout ramener à une situation universelle. Nous avons pour cela l’application algébrique canonique Ψ : P × E ⟶ R telle que Ψ(P, e) = P (e).

L’application F_{p} étant C^{∞}, et F_{p}^{v} = F_{p} |_{{v}×E} algébrique de degré inférieur à d, nous en déduisons que l’application F_{p} de V dans P définie par F_{p}(v) = F_{p}^{v} est C^{∞}. Nous avons par ailleurs tout fait pour avoir le diagramme commutatif suivant :

V ⟵ V × E ⟶^{F_{p}} R
↓^{F_{p}} ↓^{(F_{p},Id)} ↓^{Id}
P ⟵ P × E ⟶^{Ψ} R

L’application Ψ étant algébrique, remarquons que Ψ^{−1}{0} est une sousvariété algébrique.

L’existence de σ se traduit par celle d’une application Σ_{p} continue de V dans P × E définie par

Σ_{p}(v) = (F_{p}(v), σ(v)),

telle que

Σ_{p}(v) ∈ Ψ^{−1}{0} ∩ ({F_{p}(v)} × E).  (1)

Essayons de préciser notre stratégie. A cet effet, supposons pour un bref et excitant moment que

a) l’application F_{p} est de rang constant,

b) la variété algébrique Ψ^{−1}{0} est lisse et la projection π de P × E ⟶ P est de rang constant sur Ψ^{−1}{0},

c) en un point v_{0} l’ensemble F_{p}^{−1}{0} ∩ B_{v_{0}} est réduit à un point.

l’hypothèse c) entraîne que le polynome F_{p}(v_{0}) a un seul zéro, autrement dit la fibre de Ψ^{−1}{0} au dessus de F_{p}(v_{0}) est réduite à un point ; d’après b), π est alors une immersion de Ψ^{−1}{0} dans P. Comme par ailleurs, F_{p}(V) est une sous-variété d’après a), on en déduirait enfin que Σ_{p}(V) = π^{−1}F_{p}(V) est lisse et donc que Σ_{p} est lisse.

Malheureusement Ψ^{−1}{0} ne vérifie pas b), mais on peut stratifier Ψ^{−1}{0} en des strates vérifiant individuellement b). La proposition intermédiaire suivante va concrétiser le premier pas vers la réalisation de notre stratégie.

3.3 proposition. Il existe une stratification

Ψ^{−1}{0} = ⋃_{i∈[0,m]} V^{i},

où (i) V^{i} est une variété C^{∞} et est un ouvert de Zariski d’une variété algébrique, (ii) W^{j} = ∪_{i≤j} V^{i} est une variété algébrique, en particulier elle contient l’adhé-

rence de V^{i}.

(iii) L’intersection de l’espace tangent à V^{i} avec l’espace tangent à la fibre est de dimension constante sur V^{i}.

Preuve : Voici la manière de procéder : soit A_{l}^{i}, où i est un multi-indice, un ouvert de Zariski d’une variété algébrique de dimension n, on commence par la stratifier de manière standard par des strates lisses en

A_{l}^{i} = ⋃_{j∈[0,n]} C_{l}^{i,j},

où

(iv) C_{l}^{i,j} est une variété C^{∞} de dimension j et est un ouvert de Zariski d’une

variété algébrique,

(v) B_{l}^{i,j} = ∪_{m≤j} C_{l}^{i,m} est l’intersection d’une variété algébrique avec A_{l}^{i}, en

particulier elle contient l’adhérence de C_{l}^{i,j} dans A_{l}^{i}.

La deuxième étape consiste à stratifier C_{l}^{i,j} en des strates ayant de bonnes propriétés vis à vis de la projection π de P × E dans P. Cette projection étant une application algébrique, nous avons en effet la stratification

C_{l}^{i,j} = ⋃_{k∈[0,j]} A_{l+1}^{i,j,k},

où (vi) A_{l+1}^{i,j,k} est un ouvert de Zariski d’une variété algébrique, (vii) D_{l+1}^{i,j,k} = ∪_{m≤k} A_{l+1}^{i,j,m} est l’intersection d’une variété algébrique avec C_{l}^{i,j}, en

particulier elle contient l’adhérence de A_{l+1}^{i,j,k} dans C_{l}^{i,j}. (viii) L’intersection de l’espace tangent à C_{l}^{i,j} avec l’espace tangent à la fibre de

la projection est de dimension constante k sur A_{l}^{i,j,k}.

On peut ensuite réitérer notre procédure sur les A_{l}^{i,j,k} ; on remarquera avec profit qu’à chaque étape le multi-indice contient deux indices de plus que le multiindice de l’étape précédente. Nous allons maintenant faire une remarque encore plus profitable. Soient p la dimension d’une strate de C = C_{l}^{i,j} et A = A_{l+1}^{i,j,k_{0}} sa strate maximale qui est automatiquement un ouvert de Zariski de C. Si enfin D = C_{l+1}^{i,j,k_{0},p} est la strate maximale de A, D est également un ouvert de Zariski -et en particulier un ouvert usuel- de C, cette strate D vérifie les deux propriétés suivantes :

- elle est lisse,

- la projection π restreinte à cette strate est de rang constant.

En particulier cette strate ne sera plus jamais restratifiée, notre procédure s’est enfin arrêtée.

On en déduit que, en partant de A_{1}^{0} n’importe quelle variété algébrique (dans notre cas, ce sera Ψ^{−1}{0}), notre procédure va se stabiliser et produire une stratification qui, en ordonnant les multi-indices suivant l’ordre lexicographique, vérifiera (i), (ii) et (iii).

En effet, considérons la fonction définie, si x ∈ A_{l}^{i}, par h_{l}(x) = j où j est l’avant-dernier indice de i. Alors, par construction h_{l}(x) ≥ h_{l+1}(x). Par ailleurs si h_{l}(x) = h_{l+1}(x), cela signifie que x ∈ C_{l}^{i_{1}} et x ∈ C_{l+1}^{i_{2}} où ces deux strates ont la même dimension. Cela entraîne d’après notre remarque précédente que la strate C_{l+1}^{i_{2}} ne sera plus jamais restratifiée et donc que pour tout q positif, nous avons h_{l}(x) = h_{l+q}(x). On en déduit qu’il existe l tel que pour tout x , nous avons h_{l}(x) = h_{l+1}(x). Toujours d’après notre remarque, pour ce l précis, la stratification A_{l}^{i}, en ordonnant i suivant l’ordre lexicographique, va vérifier (i), (ii) et (iii).

Reprenons le cours de notre démonstration et réalisons notre stratégie sur des ouverts denses de V.

Pour tout p, soit Ω_{p} l’ouvert dense de V sur lequel F_{p} est localement de rang constant.

L’application Σ_{p} de Ω_{p} dans Ψ^{−1}{0} étant continue, il existe un ouvert dense Ω̄_{p} de Ω_{p} tel que tout point x de Ω̄_{p} possède un voisinage constitué de points dont l’image par Σ_{p} est inclus dans la même strate de la stratification de Ψ^{−1}{0}.

Soit maintenant x un point de V appartenant à l’intersection de tous les Ω̄_{p}, intersection qui est non vide par le théorème de Baire. Soit ensuite p tel que F_{p}^{−1}{0} ∩ ({x} × E) soit réduit à un point. L’existence d’un tel p résulte immédiatement de l’algébricité des F_{p}^{−1}{0} ∩ ({x} × E).

Il existe donc un voisinage U de x tel que

(a) F_{p}(U) soit une sous-variété, que l’on peut supposer plongée en supposant U assez petit,

(b) il existe i tel que Σ_{p}(U) ⊂ V^{i}.

Puisque F_{p}^{−1}{0} ∩ ({x} × E) est réduit à un point, V^{i} ∩ ({x} × E) est également réduit à un point. Comme par ailleurs, π restreinte à V^{i} est de rang constant, c’est une immersion et on en déduit que V^{i} est tel que l’intersection de l’espace tangent à V^{i} avec l’espace tangent à la fibre est de dimension 0.

En particulier, si π est la projection de P × E sur P, il existe un voisinage O de Σ_{p}(x) tel que π est un plongement de V^{i} ∩ O dans P. Supposons en prenant U assez petit que Σ_{p}(U) ⊂ O. On en déduit alors que Σ_{p}(U) s’identifie à π^{−1}(F_{p}(U)) ∩ V^{i} et que, en particulier, c’est une sous-variété plongée. Dès lors de U dans Σ_{p}(U), Σ_{p} s’identifie à π^{−1} ∘ F^{−1} et est donc C^{∞}. On en déduit aisément que σ est elle-même C^{∞} sur U.

Nous avons démontré que tout ouvert de V contenait un ouvert sur lequel σ est C^{∞} ce qui démontre notre lemme.

4 Sur l’equation homologique

Ce paragraphe et ses notations sont indépendants de ce qui précède.

4.1 . On se donne F une variété riemannienne complète difféomorphe à R^{f} et dont nous notons la connexion de Levi-Cività ¯∇ -dans la suite, F sera une feuille centrale stable d’une orbite périodique d’un flot d’Anosov ; on se donne également un fibré vectoriel E ⟶ F de rang q, muni d’une métrique et d’une connexion ∇ préservant la métrique. Les fibrés vectoriels E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}} sont alors eux aussi munis d’une connexion que nous noterons également ∇, un élément de ce fibré sera conçu comme une application multilinéaire de T F dans E . On peut donc définir par récurrence, si T est une section de E, la dérivée covariante n-ième de T -que nous noterons ∇^{n}T - et qui sera une section de E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}} ; par abus de langage, la section elle même est considérée comme une dérivée d’ordre zéro.

Nous allons supposer de plus que la situation que nous venons de décrire est à géométrie bornée C^{∞} en un sens que nous allons maintenant préciser. Soit (x_{n}) une suite de points de F. Choisissons pour tout n une isométrie de R^{f} dans T_{x_{n}}F et considérons l’application composée, notée u_{n}, de cette isométrie avec l’application exponentielle. Choisissons par ailleurs un champ de repère orthonormé de E. Nos hypothèses de géométrie bornée sont les suivantes : pour toute suite (x_{n}), il existe r tel que sur la boule B(0, r) de R^{f}

(i) la suite de métriques induites par u_{n} possède une sous-suite qui converge C^{∞},

(ii) sur le fibré trivial B(0, r)×R^{q} identifié à u_{n}^{∗}(E) par le choix de notre repère orthornormé , la suite de connexions induites u_{n}^{∗}∇ possède une sous-suite qui converge C^{∞}.

4.2 . Soit maintenant φ un difféomorphisme C^{∞} de F ayant un point fixe x_{0} et qui soit uniformément contractant, c’est-à-dire en notant sa différentielle φ_{∗} :

(iii) il existe λ tel que ∥φ_{∗}∥ ≤ λ < 1. En particulier, φ^{n}(B(x_{0}, r)) ⊂ B(x_{0}, r) pour tout r et n.

On suppose également que toutes les dérivées de φ sont uniformément bornées sur F, c’est-à-dire

(iv) si B̄ est le (2,1)-tenseur défini par

B̄(X, Y) = φ_{∗}^{−1}( ¯∇_{φ_{∗}(X)}φ_{∗}(Y)) − ¯∇_{X}Y,

alors toutes les dérivées de B sont bornées sur F.

4.3 . On se donne enfin Φ un automorphisme C^{∞} de E relevant φ, tel que (v) Φ^{−1} est borné par Λ : ∀η ∈ E, ∥Φ^{−1}(η)∥ ≤ Λ∥η∥.

On suppose également que les dérivées de Φ sont uniformément bornées, c’est-à-dire

(vi) si B est le tenseur de T F^{∗} ⊗ E^{∗} ⊗ E défini par

B(X, η) = Φ^{−1}∇_{φ_{∗}(X)}Φ(η) − ∇_{X}η,

alors toutes les dérivées de B sont bornées sur F.

4.4 . Remarquons maintenant que Φ agit à droite sur les sections de E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}} de la manière suivante : si T : F ⟶ E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}} est une section, Φ^{∗}T est la section définie par

(Φ^{∗}T)_{x}(X_{1}, ..., X_{n}) = Φ^{−1}(T_{φ(x)}(φ_{∗}(X_{1}), ..., φ_{∗}(X_{n}))).

Notre but dans ce paragraphe est de montrer le

4.5 Lemme. Soit T une section C^{∞} de E dont toutes les dérivées sont bornées, soit S une section bornée -au sens C^{0}- et C^{∞}et qui est une solution de l’équation homologique

S − Φ^{∗}S = T,

alors toutes les dérivées de S sont bornées sur F.

Nous avons la proposition suivante

4.6 proposition. Soit n tel que Λλ^{n} soit strictement plus petit que 1, et soient T et S deux sections bornées sur tout compact de E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}} qui vérifient l’équation

S − Φ^{∗}S = T,

alors

Sup_{y∈B(x_{0},r)} ∥S∥ ≤ \frac{1}{1 − Λλ^{n}} . Sup_{y∈B(x_{0},r)} ∥T ∥ .

Preuve : En effet, nous avons tout d’abord par récurrence

S = (Φ^{∗})^{p}S + ∑_{i=0}^{i=p−1}(Φ^{∗})^{i}T.

Or pour toute section H de E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}}, nous avons

∥Φ^{−p}H_{φ^{p}(x)}(φ_{∗}^{p}(X_{1}), ..., φ_{∗}^{p}(X_{n}))∥ ≤ (Λλ^{n})^{p}∥H_{φ^{p}(x)}∥.∥X_{1}∥...∥X_{n}∥.

et donc

∥((Φ^{∗})^{p}H)_{x}∥ ≤ (Λλ^{n})^{p}∥H_{φ^{p}(x)}∥.

Nous en déduisons en particulier, puisque S est bornée,

S = ∑_{i=0}^{i=∞}(Φ^{∗})^{i}T

et donc

∥S_{x}∥ ≤ ∑_{i=0}^{i=∞}(Λλ^{n})^{i}∥T_{φ^{i}(x)}∥,

d’où le résultat, en remarquant que φ(B(x_{0}, r)) ⊂ B(x_{0}, r).

Nous avons maintenant 4.7 proposition. Soit S et T vérifiant les hypothèses du lemme 4.5, alors pour tout entier n, nous avons

∇^{n}S − Φ^{∗}∇^{n}S = ∇^{n}T + ∑_{p=0}^{p=n−1} B_{p}^{n}(∇^{p}S),

où les B_{p}^{n} sont des opérateurs de E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{p}} dans E ⊗ (T F^{∗})^{⊗^{n}}, bornés et dont toutes les dérivées sont bornées . Preuve : ceci découle immédiatement d’un raisonnement par récurrence et des hypothèses (iv) et (vi).

Des deux propositions précédentes, nous en déduisons immédiatement 4.8 proposition. Avec les hypothèses du lemme 4.5, il existe p tel que pour tout n, n > p, il existe des constantes K_{n} et K̄_{n} vérifiant pour tout r,

Sup_{y∈B(x_{0},r)} ∥∇^{n}S∥ ≤ K_{n}.( Sup_{y∈B(x_{0},r)}(∥∇^{i}S∥; i ∈ [0, p])) + K̄_{n}.

4.9 Preuve du lemme 4.5. D’après ce qui précède, il nous suffit de montrer la 4.10 proposition. Soit S une section de E bornée et C^{∞} telle qu’il existe K_{1} et K̄_{1} vérifiant pour tout r,

Sup_{y∈B(x_{0},r)} ∥∇^{p+1}S∥ ≤ K_{1}( Sup_{y∈B(x_{0},r)}(∥∇^{i}S∥; i ∈ [0, p])) + K̄_{1},

alors il existe K_{2} telle que

∀i ∈ [0, p]; ∥∇^{i}S∥ ≤ K_{2}.

Preuve : Considérons la fonction

f = ∑_{i=0}^{i=p} ∥∇^{i}S∥^{2},

il est clair que d’après nos hypothèses, il existe K_{3} et K_{4} telle que

Sup_{y∈B(x_{0},r)} ∥∇f∥ ≤ K_{3}.( Sup_{y∈B(x_{0},r)} f) + K_{4}.

Raisonnons maintenant par l’absurde et supposons que f n’est pas bornée. Il existe donc une suite de points (x_{n}) de F telle que la suite (f(x_{n})) tende vers l’infini et telle que de plus, en posant r_{n} = d(x_{0}, x_{n}), nous ayons

f(x_{n}) = Sup_{y∈B(x_{0},r_{n})} f(y).

(∗) Démontrons tout d’abord qu’il existe α tel que si d(x_{0}, y) ≤ r_{n} + α, alors f(y) ≤ 2f(x_{n}) + 1.

Soient en effet f_{n}^{α} la borne supérieure de f sur B(x_{0}, r_{n} + α) et y_{n} tel que f_{n}^{α} = f(y_{n}). Soit maintenant γ_{n} la géodésique joignant x_{0} à y_{n}, de longueur t_{n} = d(x_{0}, y_{n}). Nous avons alors

f_{n}^{α} =f(y_{n})
=f(γ_{n}(r_{n})) + ∫_{r_{n}}^{t_{n}} \frac{d}{ds}(f ∘ γ_{n})ds
≤f(x_{n}) + αK_{3}f_{n}^{α} + αK_{4}
.

On voit qu’il suffit de prendre α ≤ Inf(1/2K_{3}, 1/2K_{4}) pour démontrer (∗).

Reprenons nos hypothèses de géométrie bornée (i) et (ii), et extrayons une sous-suite telle que si (g_{n}) est la suite de métriques induite sur la boule B de R^{f} de rayon α et de centre 0 par l’application u_{n}, alors (g_{n}) converge C^{∞} sur tout compact. De même, on suppose que sur le fibré trivial B × R^{q} identifié isométriquement pour tout n à u_{n}^{∗}(E), la suite de connexions induites converge C^{∞}.

Posons maintenant G_{n} = f(x_{n})^{− \frac{1}{2}} .S que nous considérons également comme une section de E_{n}. Comme S est bornée, la suite (G_{n}) converge uniformément vers 0 ; par ailleurs d’après (∗), les dérivées de (G_{n}) jusqu’à l’ordre p sont uniformément bornées et grâce à notre hypothèse de départ les dérivées d’ordre p + 1 sont également bornées. On en déduit que (G_{n}) tend vers 0 de manière C^{p} sur tout compact de B. Nous obtenons notre contradiction en remarquant que en x_{n}

∑_{i=0}^{i=p} ∥∇^{i}G_{n}∥^{2} = 1.

4.11 Remarque. En fait, pour obtenir la conclusion du lemme, il suffit que S soit C^{n} avec un n tel que Λλ^{n} < 1. On en déduit alors aisément que S est C^{∞} et que toutes ses dérivées sont uniformément bornées.

5 les feuilletages horosphériques sont lisses

Nous sommes maintenant en mesure de conclure et de montrer la proposition suivante qui terminera la démonstration de notre théorème

5.1 proposition. Soit ϕ_{t} un flot d’Anosov topologiquement transitif sur une variété compacte M tel que les distributions stable et instable, notées E^{+} et E^{−}, soient C^{∞} sur un ouvert dense Ω, alors ces distributions sont C^{∞} partout.

Remarquons que l’ensemble des points qui possèdent un voisinage sur lequel les distributions stables et instables sont C^{∞} est un ouvert invariant par le flot. Si cet ouvert est non vide, il est automatiquement dense dans le cas d’un flot topologiquement transitif. Toujours dans ce cas, il contient une orbite périodique par densité des orbites périodiques ainsi que les feuilles centrales stable et instable de cette orbite. La proposition précédente se déduit donc de la suivante

5.2 proposition. Soit ϕ_{t} un flot d’Anosov topologiquement transitif sur une variété compacte M tel que la distribution instable E^{−} soit C^{∞} le long d’une feuille centrale stable d’une orbite périodique, alors cette distribution est C^{∞} partout.

Preuve : rappelons tout d’abord le résultat fondamental suivant : les feuilletages E^{±} et E^{±} ⊕ RX sont intégrables, chaque feuille est C^{∞} et dépend continûment du point dans la topologie C^{∞} [H-P].

Démontrons que la distribution instable E^{−} est C^{∞} le long des feuilles stables. Soit donc γ une orbite périodique du flot de période t_{0} incluse dans Ω. La feuille centrale stable, que nous noterons F, de cette orbite va alors également être incluse dans Ω et va être stable par φ = ϕ_{t_{0}}.

Munissons M d’une métrique annexe C^{∞} de connexion de Levi-Cività ¯∇, pour laquelle φ soit contractant de F dans elle même. Soit enfin N le fibré orthogonal à E^{+} ⊕RX, où X désigne le générateur du flot. Notons π la projection orthogonale de T M sur E^{+} ⊕ RX, et π_{N} la projection orthogonale sur N. Le fibré N restreint aux feuilles centrales stables est muni d’une connexion ∇ déduite de la connexion de Levi-Cività de M , connexion qui s’obtient en posant ∇_{Y} Z = π_{N} ¯∇_{Y} Z, pour Y dans E^{+} ⊕ RX et un champ Z tangent à N. Cette connexion est C^{∞} le long des feuilles centrales stables, elle a en fait la même régularité que E^{+} ⊕ RX.

Il est clair maintenant grâce à la compacité de M et au résultat fondamental de Hirsch et Pugh, que le couple (F, N) muni des métriques et des connexions que nous venons de construire est à géométrie bornée C^{∞} au sens de (i) et (ii) de 4.1.

Considérons maintenant le fibré E = N^{∗} ⊗ T F et munissons le des connexions et métriques déduites de celle de N et F ; le couple (F, E) est lui aussi à géométrie bornée C^{∞}. Le fibré E est également muni d’un automorphisme naturel Φ relevant φ, défini par

Φ(A)(Y) = φ_{∗}Aπ_{N}φ_{∗}^{−1}(Y) ,

pour tout Y de N et A de E.

Toujours grâce à la compacité de M, φ et Φ vérifie les hypothèses (iii), (iv), (v) et (vi) de 4.2. et 4.3.

Nous pouvons maintenant voir la distribution E^{−} le long de F comme une section S de E, puisqu’en tout point x de M, E_{x}^{−} est le graphe d’une application linéaire de N dans T F. Le fait que E^{−} soit stable par le flot se traduit par l’équation

S_{φ(x)}(π_{N}φ_{∗}(Y)) − φ_{∗}S(Y) = πf_{∗}(Y),

pour tout Y de N. Autrement dit, en considérant la section T de E donnée par T = −φ_{∗}^{−1}πφ_{∗}, nous avons l’équation homologique

S − Φ^{∗}S = T.

A nouveau, T a toutes ses dérivées uniformément bornées sur F. On peut donc appliquer notre lemme 4.5, et en déduire que les dérivées de S sont uniformément bornées sur F.

La densité des feuilles centrales stables pour un flot d’Anosov topologiquement transitif entraîne que S et donc E^{−} est C^{∞} le long des feuilles centrales stables. En effet, soit x un point quelconque de M et (x_{n}) une suite de points de notre feuille centrale stable périodique convergeant vers x. La suite de boules B_{n} centrées sur x_{n} de rayon r et tracées sur la feuille centrale stable, converge de manière C^{∞} vers la boule de centre x de rayon r tracées sur la feuille centrale stable de x. Ceci résulte toujours d’une utilisation du résultat fondamental de Hirsch et Pugh. Maintenant, nous sommes en mesure d’appliquer le théorème d’Ascoli à la suite definie par la distribution instable sur cette suite de boules.

Pour conclure, nous pouvons utiliser un théorème de J.-L. Journé qui nous dit que si une fonction est uniformément C^{∞} le long de chacune des feuilles de deux feuilletages transverses ayant la régularité des feuilletages stables et instables d’Anosov, alors elle est C^{∞} partout [J]. Il nous suffit maintenant d’appliquer ce résultat à E^{−} qui est uniformément C^{∞} le long des feuilles centrales instables -ce qui découle du résultat fondamental de Hirsch et Pugh- et des feuilles centrales stables -ce que nous venons de démonter.

5.3 Remarque finale. Toujours dans l’optique de 5.2., pour obtenir la conclusion de la proposition, il suffit de supposer que le long de la feuille centrale stable d’une orbite périodique, la distribution S est C^{n} avec un n qui ne dépend que des exposants de contraction (cf 4.11.). Pour des résultats analogues dans cet ordre d’idée, voir plus précisemment [H].

Bibliographie

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[J] Journé (J.-L.), On a regularity problem occurring in connection with Anosov diffeomorphisms, Comm. Math. Phy. 106, 345-351 (1986).

Patrick Foulon : Centre de Physique Théorique, LP 014 du C.N.R.S. Ecole Polytechnique, F-91128 Palaiseau (Cedex)

François Labourie : Centre de Mathématiques, URA D.0169 du C.N.R.S. Ecole Polytechnique, F-91128 Palaiseau (Cedex)