LIMITE D’HYPERSURFACES LOCALEMENT CONVEXES.

François LABOURIE

1. Introduction.

1.1. L’un des domaines les plus étudiés en géométrie extrinsèque estcelui

des surfaces à courbures strictement positives dans R^{3} (surfaces convexes). Ainsi, l’un des plus célèbres théorèmes de rigidité des immersions isométriques est le théorème de Cohn-Vossen [S]: Une surface convexe complète compacte est rigide. Par contre, la situation est tout à fait différente dès que la surface n’est plus complète: Leibin [Le] a ainsi montré que l’on pouvait construire une famille continue de déformations isométriques non congruentes de la surface obtenue en ôtant à une surface convexe un ouvert à courbure totale strictement positive; Pogorelov [P2] a par ailleurs exhibé un ensemble infini d’immersions isométriques non congruentes d’une surface convexe à laquelle on a ôté deux points. Dans le cas de la sphère moins deux points antipodaux, l’exemple est totalement explicite dans [S]: les immersions sont données comme des surfaces de révolution s’enroulant n fois autour de l’axe des pôles. A la limite lorsque n tend vers l’infini, nous obtenons le segment joignant les deux pôles:

1.2. Ces théorèmes nous assurent de l’existence de nombreuses immer-

sions isométriques de surface V à courbure positive dans R^{3} (en fait d’une surface V à courbure strictement supérieure à K_{0}, dans une variété M de dimension 3 à courbure constante K_{0}). Les résultats de cet article permettent de mieux comprendre l’ensemble de ces immersions isométriques et en particulier le rapport entre les convergences C^{0} et C^{1}. Nous avons pour commencer le théorème suivant:

THEOREME A. La topologie de la convergence C^{0} coïncide avec la topologie de la convergence C^{1} sur l’ensemble des immersions isométriques de V dans M.

1.3. Que se passe-t-il maintenant lorsqu’une suite d’immersions isomé-

triques de V dans M ne converge pas C^{1}? Notre deuxième théorème nous dit que la dégénerescence est celle observée dans l’exemple de Pogorelov, les immersions dégénérant vers une droite. Soit (f_{n}) une suite d’immersions convergeant C^{0} vers une application f_{0}, nous adopterons la définition suivante:

DEFINITION. Un point x de V est dit régulier pour la suite (f_{n}) si il existe un voisinage U de x dans V tel que (f_{n}) converge C^{1} vers f_{0} sur U. On dira que x est dégénéré dans le cas contraire.

Notre théorème est alors:

PROPRIETE 4.2. Soit f_{0} une application contractante d’une variété V dans un espace M.

(a) Si il existe une sous-variété W de V telle que f_{0} est une isométrie de W sur un ouvert convexe d’un sous-espace totalement géodésique de M, W est elle-même totalement géodésique.

(b) Soient γ_{1} et γ_{2} deux géodésiques de V se coupant en un point x envoyées isométriquement par f_{0} sur deux arcs géodésiques, alors l’angle des géodésiques f_{0}(γ_{i}) est égal à l’angle des géodésiques γ_{i}.

Preuve: On notera dans cette démonstration d_{v} la distance de V, et d_{m} celle de M. le fait que f_{0} soit contractante se traduit par:

d_{m}(f_{0}(x), f_{0}(y)) ≤ d_{v}(x, y)·

Prouvons tout d’abord (a):

Soient deux points x et y de W, il nous suffit de montrer qu’il existe une

géodésique minimisante tracée sur W joignant x à y. Soit γ′ l’image réciproque par f_{0} dans W de la géodésique minimisante joignant f_{0}(x) à f_{0}(y). La restriction de f_{0} à W étant une isométrie,

Long(γ′) = d_{m}(f_{0}(x), f_{0}(y) ≤ d_{v}(x, y)

γ′ est donc une géodésique minimisante joignant x à y.

Prouvons maintenant (b):

Soient donc γ_{i} deux géodésiques comme dans l’énoncé, se coupant en

un point x. On paramétrise ces deux géodésiques par l’arc en mettant l’origine en x. Les deux courbes Γ_{i} = f_{0}(γ_{i)} sont alors des géodésiques paramétrées par l’arc d’après les hypothèses. Soit α l’angle en x entre les géodésique γ_{i} et β l’angle entre les géodésiques Γ_{i}. Pour tout λ et t de R:

d_{v}^{2}(γ_{1}(t), γ_{2}(λt)) = t^{2}(1 + λ^{2} − 2λ cos α) + o(t^{2}),

ainsi que

d_{m}^{2}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(λt)) = t^{2}(1 + λ^{2} − 2λ cos β) + o(t^{2}),

Le fait que f_{0} est contractante nous permet d’écrire:

d_{v}^{2}(γ_{1}(t), γ_{2}(λt)) ≥ d_{m}^{2}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(λt)),

en divisant par t^{2} et en faisant tendre t vers 0, on a:

−2λ cos α ≥ −2λ cos β

Ceci étant vrai pour tout λ, nous avons bien:

α = β·

PROPRIETE 4.3. Soit S une surface, γ_{1} et γ_{2} deux arcs géodésiques passant par un point x de S. Soit de plus f_{0} une application contractante de S dans un espace à courbure constante K_{0} envoyant isométriquement nos deux arcs géodésiques sur des arcs géodésiques, la courbure de S en x est alors inférieure où égale à K_{0}.

Preuve: Remarquons tout d’abord que d’après le lemme précdédent l’angle entre les γ_{i} et les Γ_{i} = f_{0}(γ_{i}) est le même.

Munissons alors un voisinage de 0 dans l’espace tangent en x de la

métrique d_{1} induite par l’exponentielle, et de la métrique d_{2} à courbure constante en coordonnées normales.

Soit u_{1} et u_{2} les vecteurs tangents aux géodésiques γ_{i}. Ces géodésiques

et leurs images ayant le même angle,

d_{1}(tu_{1}, tu_{2}) = d_{V} (γ_{1}(t), γ_{2}(t))

d_{2}(tu_{1}, tu_{2}) = d_{M}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(t)) = d_{M}(f_{0}(γ_{1}(t)), f_{0}(γ_{2}(t)))

Maintenant f_{0} étant contractante, la comparaison à l’ordre 3 des mé-

triques nous donne bien l’inégalité voulue.

Nous aurons également besoin par la suite pour passer du cas euclidien

au cas des espaces à courbure constante, de l’existence et des propriétés des modèles projectifs:

PROPRIETE 4.4. Soit x un point d’une variété M à courbure constante K_{0} et de dimension p, il existe alors un réel R et un difféomorphisme G de la boule de centre x et de rayon R dans une boule de R^{p}, qui envoie les géodésiques sur les géodésiques. De plus il existe une constante C telle que pour toute hypersurface W incluse dans le domaine de G,

(a) 1/Cg ≤ g′ ≤ Cg ,

(b) 1/Cdσ ≤ dσ′ ≤ Cdσ,
(c) 1/C(K − K_{0}) ≤ K′ ≤ K − K_{0}.

Où g, dσ et K (respectivement g′, dσ′ et K′) désignent la métrique, l’élément d’aire et la courbure sectionnelle de W (respectivement de W′ = G(W)).

On appelera un tel difféomorphisme G modèle projectif. Pour l’exis-

tence de G on se reportera par exemple à [S], pour ses propriétés à [P1], où plutôt à [G1]. Remarquons pour conclure qu’un modèle projectif envoie une hypersurface localement convexe sur une hypersurface localement convexe.

5. Comment construire des hypersurfaces convexes à partir d’une hypersurface localement convexe.

Nous allons construire au voisinage de chaque point d’une hypersurface

localement convexe une hypersurface convexe, qui sera d’une certaine manière l’ouvert maximal contenant x et qui soit un graphe au dessus d’un plan.

On se donne dans tout ce paragraphe

- une hypersurface localement convexe V sans bord de R^{n},

- N son champ de vecteur normal intérieur

- C un cylindre ouvert de R^{n} de la forme C = K+]0, a[N_{0}, où K est un ouvert convexe borné d’un hyperplan affine P_{0}, et N_{0} le vecteur normal à P_{0}.

On considère ensuite une composante connexe S = S(V,C) de l’ouvert

O = O(V, C) de V donné par:

O = {y ∈ V ∩ C/⟨N(y), N_{0}⟩ > 0}

On notera ensuite \overline{S} (resp. \overline{V}) l’adhérence de S (resp. V) dans R^{n},

ainsi que S′ = S′(V, C) l’hypersurface construite à partir de S en posant S′ = δ ((S + R^{+}N_{0}) ∩ C).

Figure 4

Le but de ce paragraphe est d’étudier les propriétés de l’hypersurface

S, et en particulier de montrer que, modulo certaines hypothèses, S est convexe. Ces propriétés nous permettrons de construire en 5.7., une hypersurface convexe au voisinage de chaque point de V.

HYPOTHESE 5.1. On dira que S vérifie l’hypothèse 5.1. si:

(i) d(S, P_{0}) > 0

(ii) \overline{S} ∩ C est inclus dans V.

HYPOTHESE 5.2. On dira que S vérifie l’hypothèse 5.2. si il existe un point x de S tel que:

(i) Diam(K) + 2a < Inr(x), où Inr(x) est le rayon intérieur de V en x;

(ii) xsd(P_{x} ∩ C, P_{0}) > 0, où P_{x} est l’hyperplan tangent à V en x.

Nous avons alors les propriétés suivantes:

PROPRIETE 5.3. Si S vérifie 5.1., pour tout x et tout y de S il existe un arc de courbe γ tel que:

(a) γ est tracé sur S et relie x à y.

(b) γ est tracé sur un plan P parallèle à N_{0}, contenant x et y.

Preuve: Tout d’abord un arc de courbe vérifiant (a) et (b), vérifie également (c) et (d):

(c) P est transverse V le long de γ d’après 3.3.

(d) γ est une courbe plane convexe à concavité tourné vers le haut. Ceci vient de 3.2. et de ce que pour tout point z de γ, ⟨N(z), N_{0}⟩ > 0.

Figure 5

Démontrons la propriété à l’aide d’un argument de connexité. Soit x

un point fixé de S et A l’ensemble des y de S pour lequel il existe un arc γ qui vérifie (a) et (b).

S étant ouvert, on déduit aisément de (c) que A est lui même ouvert. Montrons que A est fermé dans S. Soit y un point de S limite d’une suite

(y_{n}) de points de A, et (γ_{n}) la suite d’arcs de courbe associée à (y_{n}). Puisque γ_{n} est inclus dans C qui est relativement compact, on peut extraire par le théorème d’Ascoli de la suite (γ_{n}) une sous-suite convergent vers un arc γ qui va joindre x à y et vérifier (b). Il reste à montrer que γ est tracé sur S.

Montrons d’abord que γ est inclus dans C. L’arc γ étant limite de

courbes planes convexes à concavité tournée vers le haut, est lui même convexe à concavité tournée vers le haut. Il est donc inclus dans le quadrilatère du plan P délimité par les droites (fig.6):

- Δ_{1} passant par x et y,

- Δ_{2} passant par x et parallèle à N_{0},

- Δ_{3} passant par y et parallèle à N_{0},

- Δ_{4} intersection du plan P et du plan P_{0} + ϵN_{0}, où ϵ = d(S, P_{0}).

Figure 6

Ce quadrilatère étant strictement inclus dans C, nous en déduisons que

γ est lui même inclus dans C. D’après (ii) de 5.1., γ est alors tracée sur V.

Il reste à montrer que pour tout point z de γ, ⟨N(z), N_{0}⟩ > 0. Dans le

cas contraire, il existerait un point z de γ tel que ⟨N(z), N_{0}⟩ = 0, ce qui entraînerait que le vecteur tangent à γ en ce point z est parallèle à N_{0}. L’arc γ étant convexe à concavité tournée vers le haut, le vecteur tangent à γ en x ou en y serait alors parallèle à N_{0} . En particulier N(x) ou N(y) serait perpendiculaire à N_{0}, ce qui est impossible par hypothèse.

S étant connexe nous avons S = A.

PROPRIETE 5.4. Si S vérifie 5.1., S est une hypersurface convexe, graphe d’une fonction convexe au dessus d’un ouvert convexe du plan P_{0}.

Figure 7

Preuve: soit p la projection sur le plan P_{0}, la proposition précédente entraîne que p(S) est convexe. Comme par ailleurs d’après la construction de S p est une immersion, il reste à montrer que p est injective. En effet, S serait le graphe d’une fonction convexe au dessus d’un ouvert convexe du plan P, et donc une hypersurface convexe. Soient x et y deux points distincts de S. D’après ce qui précède x et y peuvent être joints par une courbe plane convexe qui est un graphe au dessus de P_{0}, ce qui entraîne que p(x) ≠ p(y).

PROPRIETE 5.5. Si S vérifie 5.2., S vérifie 5.1..

Preuve: Remarquons que si S verifie 5.2. et est le graphe d’une fonction convexe au dessus d’un ouvert convexe du plan P_{0}, alors S vérifie 5.1.. En effet S étant une hypersurface convexe, (ii) de 5.2. entraîne (i) de 5.1.. Ensuite un point y de S peut être joint à x par une courbe γ verifiant (a) et (b) de la propriété 5.3.. L’arc γ est alors une courbe plane convexe incluse dans un rectangle de côtés de longueur Diam(K) et 2a. Dès lors,

Long(γ) ≤ Diam(K) + 2a·

Or d’après (i) de 5.2.

Diam(K) + 2a ≤ Inr(x),

En particulier S est inclus dans une boule de V de centre x et de rayon

inférieur strictement à Inr(x) d’où (ii) de 5.1..

Fixons maintenant un point x de V, ainsi qu’un hyperplan P_{0} de vecteur

normal N_{0} tel que ⟨N(x), N_{0}⟩ > 0. Soit l’ensemble E des cylindres C contenant x de la forme K+]0, a[N_{0} (où K est un ouvert convexe de P_{0}) tel que la composante connexe de x dans O(V,C), S(V,C) vérifie 5.2.. Soit de même l’ensemble F des éléments C de E tels que S(V,C) vérifie 5.1.. Muni de la topologie induite par la distance de R^{p}, E est connexe par arc. Pour démontrer la propriété, il suffit donc de montrer que F est ouvert et fermé dans E.

Si C est limite de points de F, il est facile de montrer que S(V,C) est

un graphe de fonction convexe au dessus d’un ouvert convexe du plan P_{0} . La remarque préliminaire entraîne que C appartient également à F. F est donc fermé dans E.

Par ailleurs la remarque préliminaire entraîne également que si S(V,C)

vérifie 5.1. et 5.2., \overline{S}(V, C) est inclus dans V. En particulier si C est un point de F, il possède un voisinage dans E dont les éléments C’ vont vérifier (i) de 5.1. et \overline{S}(V, C′) inclus dans V, ces deux conditions étant ouvertes. En particulier F est ouvert dans E.

PROPRIETE 5.6. Si S vérifie 5.1., S′ est une hypersurface convexe complète. De plus tous les points de S′ ∩ C sont réguliers et, dans le cas des surfaces, S′ ∩ C est à courbure spécifique bornée par le maximum de la courbure sur V.

Preuve: La première assertion est triviale. Pour démontrer la deuxième partie de la propriété, exhibons tout d’abord un champ N’ de vecteur normal intérieur à S′ ∩ C:

- si x est un point de S, on pose N′(x) = N(x);

- si x est un point de (S′ ∩ C) − S, il existe un réel positif t et un point y de \overline{S} ∩ C (et donc de V d’après (i) de 5.1.) tel que x = y + tN_{0}. On pose alors N′(x) = N(y).

En utilisant le fait que le vecteur normal est constant le long de tout segment de droite tracé sur V, on vérifie ensuite aisément que N′ est bien défini et continu.

Les points de S′ ∩ C sont alors réguliers. Enfin par la construction

même de N′, pour tout ouvert O de S′ ∩ C, K(O) = K(O ∩ S). Ceci démontre la deuxième partie de l’assertion.

DEFINITIONS 5.7. Si V est une hypersurface localement convexe, x un point de V et ϵ un réel positif tel que 1Oϵ < Inr(x), on appellera hypersurface convexe associée à V,x et ϵ, l’hypersurface S(V,C) contenant x et construite à partir du cylindre C = B(x, ϵ)+] − ϵ, ϵ[N_{x}, où B(x, ϵ) est la boule de centre x et de rayon ϵ de l’hyperplan tangent à V en x, et où N_{x} est le vecteur normal intérieur à V en x. De même, l’hypersurface S’(V,C) sera alors appelée hypersurface convexe complète associée. S(V,C) vérifie trivialement l’hypothèse 5.2. et nos hypersurfaces méritent leurs appellations d’après les propriétés précedentes.

6. Lemmes préliminaires.

Nous allons dans ce paragraphe démontrer les lemmes nécéssaires à la

démonstration du théorème D dans le cas où M est R^{p}.

On se donne à partir de maintenant une suite (f_{n}) d’immersions locale-

ment convexes d’une variété V de dimension p − 1, dans R^{p}, telle que:

(i) la suite (f_{n}) converge uniformément sur tout compact vers une application f_{0};

(ii) la suite de métriques (d_{n}) induites par (f_{n}), est à courbure sectionnelle uniformément majorée et converge C^{1,1} vers une métrique d_{0}. En particulier, il existe une fonction ϵ continue, strictement positive et

définie sur V, telle que 10ϵ(x) < Inr_{n}(x), où Inr_{n} est le rayon intérieur de la métrique d_{n}

La démonstration du théorème repose sur l’idée suivante: construire

au voisinage de chaque point de V une suite d’hypersurfaces convexes associée à notre suite d’immersions et examiner la façon dont cette suite se comporte à la limite. Ce paragraphe va être consacré à la définition et à l’étude de cette suite d’hypersurfaces, ce qui nous permettra, dans le prochain paragraphe de démontrer le théorème.

Nous allons construire en fait pour tout n et tout x de V deux d’hyper-

surfaces convexes: la suite S_{n}(x) d’hypersurface convexes de R^{p}, associées à f_{n}(V), f_{n}(x) et ϵ(x); ainsi que la suite d’hypersurfaces convexes complètes associées, S′_{n}(x) (cf 5.7). On notera pour plus de commodité C_{n}(x) le cylindre utilisé pour les construire, P_{n}(x) l’hyperplan tangent à f_{n}(V) en f_{n}(x), et N_{n}(x) le vecteur normal intérieur en ce point. Dans tous les cas sans ambiguïté, on ommettra le signe de la dépendance en x.

Pour étudier cette suite d’hypersurfaces nous avons besoin des définiti-

ons suivantes:

DEFINITION 6.1. Un point x de V est dit semi-régulier pour la suite (f_{n}) si il existe un voisinage U de x dans V, telle que

(i) f_{n}(U) est une suite d’hypersurfaces convexes

(ii) et f_{0}(x) est un point régulier (cf 2.4.) de l’hypersurface convexe f_{0}(U).

DEFINITION 6.2. Soit (x_{n}) une suite de points de V convergeant vers un point x. On dira que (x_{n}) et (f_{n}) vérifie la condition (*), si la suite (S′_{n} = S′_{n}(x_{n})) converge vers une hypersurface convexe complète S′_{0} (peut-être applatie).

Nous allons maintenant énoncer et démontrer les différents lemmes né-

cessaires à la démonstration du théorème.

Les deux premiers lemmes concernent les points semi-réguliers, le pre-

mier nous montre la relation entre ces points et les points réguliers, le deuxième la relation entre ces points et la condition (*).

LEMME 6.3. Un point x est régulier si et seulement si il possède un voisinage de points semi-régulier.

Preuve: D’après 2.5. si un point possède un voisinage de points semis réguliers, il est régulier. l’implication inverse est triviale.

LEMME 6.4. Un point x n’est pas semi-régulier si et seulement si il existe une sous-suite ϕ(n) et une suite de points (x_{ϕ(n)}) tendant vers x tels que

(i) (x_{ϕ(n)}) et (f_{ϕ(n)}) vérifie la condition (*) (ii) f_{0}(x) n’est pas un point régulier de la limite.

Preuve: Il est clair que s’il existe ϕ(n) et (x_{ϕ(n)}) tendant vers x tels que (x_{ϕ(n)}) et (f_{ϕ(n)}) vérifie (*), x n’est pas semi-régulier.

Il faut donc démontrer l’implication inverse. soit x un point de V telle

que pour toute sous-suite ϕ(n) et toute suite de points (x_{ϕ(n)}) tendant vers x, telle que S′_{ϕ(n)} = S′_{ϕ(n)}(x_{ϕ(n)}) converge, f_{0}(x) est un point régulier de la limite S′_{0}. Pour montrer que x est semi-régulier, il suffit de montrer qu’il possède un voisinage U tel que f_{n}(U) est inclus dans S_{n}(x) pour tout n.

Raisonnons par l’absurde: dans le cas contraire il existe une suite de

points (y_{ψ(n)}) tendant vers x tel que ⟨N_{ψ(n)}(y_{ψ(n)}, N_{ψ(n)}⟩ tende vers 0. D’après 2.2., on peut extraire de ψ(n) une sous-suite ϕ(n) telle que S′_{ϕ(n)}(x) converge vers une hypersurface convexe complète S′_{0}(peut-être dégénérée). Mais alors, la limite S′_{0} possèderait en f_{0} au deux hyperplans d’appui orthogonaux, et f_{0}(x) ne serait pas point régulier de S′_{0}.

Le lemme suivant nous décrit l’hypersurface limite de notre suite d’hy-

persurfaces convexes associées en en précisant les dégénerescences possibles. Dans ce lemme, on considérera une suite de points (x_{n}) de points tendant vers un point x dégénéré de V et telle que (x_{n}) et (f_{n}) vérifie la condition (*). On notera S′_{0}, C_{0} et N_{0} les limites de S′_{n}, C_{n} et N_{n}. On omet ici le signe de dépendance en x_{n}

LEMME 6.5. Il existe un unique sous-espace affine E de codimension 2, contenant f_{0}(x), tel que la boule de E, B_{0} = E ∩ C_{0} de centre f_{0}(x) et de rayon \frac{ϵ(x)}{10} soit incluse dans S′_{0} et ne contienne que des points limites de points diédraux.

Figure 8

Preuve: 1) Montrons tout d’abord: Si E un sous-espace affine de dimension 3 de R^{p}, transverse à S′_{0} et parallèle à N_{0}, la surface convexe F_{0} = E ∩ S′_{0} ∩ C_{0} est à courbure spécifique majorée.

Le sous-espace affine E étant transverse à S′_{0} et parallèle à N_{0}, on peut

trouver une suite de sous-espaces affines (E_{n}) contenant f_{n}(x_{n}) et parallèle à N_{n}. D’après 3.2., E_{n} est transverse à f_{n}(V) le long de la composante connexe F_{n} de f_{n}(x_{n}) dans E_{n} ∩ f_{n}(V). D’après 3.1., la surface F_{n} est alors localement convexe. La suite de surfaces E_{n} ∩ S′_{n} est exactement la suite de surfaces convexes associées à F_{n}, f_{n}(x_{n}) et ϵ(x_{n}).

Par ailleurs, E étant transverse à S′_{0}, la distance de E à un hyperplan

tangent à E ∩ S_{n} est uniformément minorée. La condition (ii) sur les f_{n} entraîne alors que E ∩ S_{n} est à courbure spécifique uniformément majorée.

D’après 5.6. la suite de surfaces convexes E_{n} ∩ S′_{n} ∩ C_{n} est elle-même

à courbure spécifique uniformément majorée, et donc d’après 2.8. E ∩ S′_{0} ∩ C_{0} est courbure spécifique majorée. En particulier, elle ne possède pas de points cônique

2) Nous pouvons maintenant terminer la démonstration du lemme: Soit E l’intersection de tous les hyperplans d’appui à S′_{0}(x) en f_{0}(x).

L’orthogonal G de E passant par f_{0}(x) est alors transverse à S′_{0} et parallèle à N_{0}. Par construction, f_{0}(x) est point conique de l’hypersurface convexe G ∩ S′_{0}. D’après 1), dim(G) ≤ 2.

Deux cas se présentent.

a) dim(G) = 2. Le point f_{0}(x) est alors dièdral, ce qui nous assure déjà

l’unicité du sous-espace affine que nous recherchons. Soit D une droite quelquonque de E passant par f_{0}(x). Le 3-plan F engendré par D et G est transverse à S′_{0} et parallèle à N_{0}. La surface F ∩ S′_{0} ∩ C_{0} est à courbure spécifique majorée d’après 1), f_{0}(x) en est point dièdral d’après ce qui précède et D est l’axe du dièdre. En particulier d’après 2.9, le segment I = D ∩C_{0} est tracé sur S′_{0}. E est le sous-espace affine que nous recherchons.

b) dim(G) = 1. Le point f_{0}(x) est alors régulier. Il possède un voisinage

U dans V, tel que f_{n}(U) est inclus dans S_{n}. f_{0}(U) est alors une hypersurface convexe à courbure sectionelle majorée. Le point x étant dégénéré, f_{0}(x) est nécéssairement limite de points non réguliers de f_{0}(U). Le raisonnement précédent nous assure que chacun de ces points est diédraux. Par passage à la limite nous obtenons le lemme dans ce cas.

En résumé nous venons de voir que si notre suite S′_{n} vérifie la condition

(*) et si x est dégénéré un “pli” apparait à la limite. Il nous reste maintenant à montrer que ce “pli” provient effectivement de V par f_{0}, et que l’on peut le prolonger.

C’est l’objet du lemme suivant qui sera le lemme principal dans la dé-

monstration du théorème.

LEMME 6.6. Soit x un point dégénéré. Soit (x_{n}) une suite de points de V tendant vers x telle que (x_{n}) et (f_{n}) vérifient (*). Il existe une hypersurface totalement géodésique W de V telle que

(a) W contient une boule de centre x et de rayon ϵ(x),

(b) f_{0} est une isométrie de W sur un ouvert convexe d’un sous-espace affine,

(c) quelle que soit ϕ(n), aucun point de W n’est semi-régulier pour f_{ϕ(n)},

(d) si u_{n} est une suite de vecteurs tangents de V convergeant vers un vecteur tangent u à W, Df_{n}(u_{n}) converge vers Df_{0}(u). En particulier f_{n}(W) converge C^{1} vers f_{0}(W).

Enfin W est unique dans le sens suivant: si W′_{n} est une suite d’hypersurfaces de V convergeant C^{0} vers W′ contenant x, telle que f_{n}(W_{n}) converge C^{1} vers un ouvert convexe d’un sous-espace affine de R^{p}, alors le germe de W′ en x est égal à celui de W.

Avant de démontrer ce lemme, il en faut un autre:

LEMME 6.7. Avec les mêmes hypothèses que le lemme précédent. Il existe une hypersurface totalement géodésique W de V telle que

(a) W contient une boule de centre x et de rayon ϵ(x),

(b) f_{0} est une isométrie de W sur l’ouvert convexe d’un sous-espace affine B_{0} du lemme 6.5,

(c) il existe une suite d’hypersurfaces W_{n} de V convergeant C^{0} vers W et

telle que f_{n}(W_{n}) est inclus dans S_{n} et converge C^{1} vers B_{0},

Nous montrerons également que si W′_{n} est une suite d’hypersurfaces de V convergeant C^{0} vers W′ contenant x, telle que f_{n}(W_{n}) converge C^{1} vers un ouvert convexe d’un sous-espace affine de R^{p}, alors le germe de W′ en x est égal à celui de W.

Preuve :

Nous notons comme d’habitude S′_{0} la limite des surfaces convexes as-

sociées S′_{n}(x_{n}).

1) Montrons tout d’abord la dernière partie du lemme, c’est à dire

l’“unicité” de W. Nous utiliserons simplement le fait que W vérifie (a),(b) et (c).

soit W′ un germe d’hypersurfaces, limite C^{0} d’une suite (W′_{n)} d’hyper-

surfaces de V, telles que f_{n}(W′_{n}) converge C^{1} vers un ouvert convexe B_{1} d’un sousespace affine de R^{p}. Raisonnons par l’absurde et supposons que W est différent de W′.

Du fait de la convergence C^{1}, f_{O} est une isométrie de W′ sur B_{1}. L’hy-

persurface W′ est donc totalement géodésique d’après 4.2.. A nouveau d’après 4.2. si W et W′ sont distincts, B_{1} et B_{0} sont transverses. Leur réunion engendre donc un hyperplan affine P_{1}.

Nous allons montrer qu’il existe un voisinage U de x tel que f_{n}(U)

est inclus dans S_{n} = S_{n}(x_{n}). f_{0}(x) possèdera alors un voisinage entier de points réguliers de la surface convexe f_{0}(U): L’intersection de P_{1} et de f_{0}(U). Ceci prouvera l’absurdité à cause de 6.3..

Raisonnons encore par l’absurde: La projection de l’hypersurface con-

vexe S_{0} sur P_{0} est d’intérieur vide. D’après 6.5 f_{0}(x) en est point diédral et B_{O} = f_{0}(W) est parallèle à l’axe du dièdre tangent.

B_{1} = f_{0}(W′) n’est alors pas parallèle à l’axe du dièdre. Il existe donc

une suite de points de f_{n}(W_{n}) n’appartenant pas à S_{n} et tendant vers f_{0}(x). Comme par ailleurs pour n grand, W_{n} ∩ W′_{n} est non vide et donc que f_{n}(W′_{n}) ∩ S_{n} est non vide, nous en déduisons l’existence d’une suite de points z_{n} de W′_{n} tendant vers x, et tels que f_{n}(z_{n}) appartiennent à δS_{n} pour n grand. Pour n grand, l’hyperplan d’appui en ces points à l’hypersurface est parallèle au vecteur normal N_{n} en f_{n}(x_{n}).

La limite de ces hyperplans nous fournit un hyperplan d’appui P_{2} à S_{0}

en f_{0}(x), parallèle à B_{1} = f_{0}(W′) et au vecteur N_{0}, vecteur limite des N_{n}. En particulier, P_{2} est transverse à B_{0} l’axe du dièdre tangent à S_{0} en x ce qui est impossible.

2) Montrons l’existence d’une suite W_{n} d’hypersurfaces de V telles que

f_{n}(W_{n}) est incluse dans S_{n} et converge C^{1} vers B_{0}.

Soit S′′_{n} une suite de surfaces convexes, incluses dans S_{n}, graphes au

dessus d’une suite d’ouverts convexes U′′_{n}, telle que la limite des S′′_{n} soit tracée sur P_{0} et contienne vers B_{0}. On peut par exemple prendre une suite d’hyperplans convergant judicieusement vers P_{0} et pour S′′_{n} la partie de S_{n} coincée entre ces hyperplans et P_{0}.

Figure 9

La limite des U′′_{n} contient également vers B_{0}. On peut donc trouver

une suite B_{n} d’ouverts de sous-espaces affines de codimension 2 inclus dans U′′_{n} et convergant vers B_{0}. Soit la suite F_{n} des graphes au dessus de B_{n}.

Montrons que F_{n} converge C^{1} vers B_{0}. Ceci découle du fait que F_{n}

est une suite d’hypersurfaces convexes (dans des hyperplans de R^{p}...) régulières convergeant vers une hypersurfaces convexes (d’un hyperplan ...) régulière B_{0} et 2.5..

Nous prendrons pour W_{n}, W_{n} = f_{n}^{−1}(F_{n}).

3) Nous allons maintenant montrer que si W_{n} converge C_{0} vers une

hypersurface W, cette hypersurface est totalement géodésique et vérifie (a), (b), et (c).

Montrons tout d’abord que W contient x. Nous savons déjà que

d_{e}(W_{n}, f_{n}(x_{n})) tend vers 0 (où d_{e} est la distance extrinsèque dans R^{p}). Par ailleurs, si une hypersurface S de R^{p} est un graphe convexe alors d_{i} ≤ \sqrt{2}d_{e} (où d_{i} est la distance intrinséque). Dans notre cas particulier (S = S_{n}), nous obtenons que d_{n}(W_{n}, x_{n}) ≤ \sqrt{2}d_{e}(f_{n}(W_{n}), f_{n}(x_{n})). A la limite, d(W, x) = 0 ce qui signifie que x appartient à W.

Il reste à montrer que f_{0} est une isométrie de W sur B_{O} c’est-à-dire

(b). En effet, W sera totalement géodésique d’après 4.2. (a) est alors évident et (c) est assuré par construction.

Ce dernier point est clair à cause de la convergence C^{1} des images.

4) Montrons que W_{n} converge C^{0}. D’après 1) et 3), il suffit en fait de montrer que l’on peut extraire une sous-suite convergente de toute sous-suite.

Ceci se montre aisément: f_{n}(W_{n}) convergeant C^{1} vers B_{0}, on peut

trouver une suite de difféomorphismes σ_{n} tendant C^{1} vers l’identité, et donc équicontinue, de B_{0} sur f_{n}(W_{n}). Maintenant, f_{n}^{−1}oσ_{n} est également équicontinue et le théorème d’Ascoli nous permet de conclure.

Pour terminer la démontration du lemme 6.6, il suffit de montrer que

W vérifie également les propriétés suivantes:

(a) quelle que soit ϕ(n), tous les points de W sont dégénérés pour f_{ϕ(n)};

(b) si u_{n} est une suite de vecteurs tangents de V convergeant vers un vecteur tangent u à W, alors Df_{n}(u_{n}) converge vers Df_{0}(u).

Preuve : 1) Montrons (a).

Soient y un point de W et (y_{n}) une suite de point de (W_{n}) tendant vers

y. Deux cas se présentent alors:

(i) f_{0}(x) n’est pas un point régulier de l’hypersurface limite. Dans

ce cas il est point dièdral et f_{n}(W_{n}) tend vers l’axe du dièdre B_{0}. On peut alors trouver deux suites de points de V, (y_{n}^{1}) et (y_{n}^{2}) adjacentes à (y_{n}), telles que f_{n}(y_{n}^{i}) appartiennent à S_{n} et les hyperplans d’appui en ces points ne convergent pas vers le même hyperplan.

En particulier, y ne pourra être régulier pour une sous-suite de f_{ϕ(n)}. (ii) f_{0}(x) est point régulier de l’hypersurface limite. Il est alors limite

de points du type précédent et on raisonne comme en 6.5.2).b).

2) Montrons (b).

soit (u_{n}) une suite de vecteurs tangents de V, convergeant vers un

vecteur tangent u à W. Notons y_{n} (resp. y) le pied de u_{n} (resp u).

Remarquons qu’il suffit de trouver pour toute suite ϕ(n), une sous-suite

ψ(n) et une une suite u′_{ψ(n)} de vecteurs tangents à y_{ψ(n)} convergeant vers u et telle que Df_{ψ(n)}(u′_{ψ(n)}) converge vers Df_{0}(u).

En effet u_{ψ(n)} − u′_{ψ(n)} tendra vers 0, Df_{ψ(n)}(u_{ψ(n)} − u′_{ψ(n)}) également

puisque Df_{n} est une isométrie. Nous aurons alors démontré que de toute soussuite ϕ(n) on peut extraire une sous-suite ψ(n) telle que Df_{ψ(n)}(u_{ψ(n)}) tend vers Df_{0}(u). On terminera enfin la démonstration du résultat par un argument de compacité.

soit ϕ(n) une sous-suite, on sait d’après (a) que y est dégénéré pour

(f_{ϕ(n)}). On peut donc extraire une sous-suite ψ(n) de ϕ(n) telle que (y_{ψ(n)}) et (f_{ψ(n)}) vérifient la condition (*) (cf 6.4).

Soit W′′ l’hypersurface construite à l’aide du lemme 6.7. appliqué à y,

son “unicité” entraîne qu’elle est parallèle à W et que en particulier u est tangent à W′′. Cette dernière hypersurface étant totalement géodésique, il existe un λ strictement positif tel que z = exp(λu) appartiennent à W′′.

Soit également S_{ψ(n)} = S_{ψ(n)}(y_{ψ(n)}) la suite de surfaces associées aux

y_{ψ(n)}, et (W′′_{ψ(n)}) la suite d’hypersurfaces construites à l’aide du lemme 6.7. (c) convergeant vers W′′.

Soit z_{ψ(n)} une suite de points de W′′_{ψ(n)} convergeant vers z. Il suffit

pour conclure d’exhiber une suite de courbes γ_{ψ(n)} joignant z_{ψ(n)} à y_{ψ(n)} - convergeant C^{1} vers la géodésique γ joignant z à y

- et dont l’image par f_{ψ(n)} converge C^{1} vers la géodésique joignant f_{0}(z)

à f_{0}(y).

On prendra en effet pour u′_{ψ(n)} la suite de vecteurs tangents à γ_{ψ(n)} en y_{ψ(n)}.

Soit γ′_{ψ(n)} la suite de courbes planes convexes joignant

f_{ψ(n)}(z_{ψ(n)}) à f_{ψ(n)}(y_{ψ(n)}), incluses dans S_{ψ(n)} et tracée sur un plan parallèle au vecteur normal N_{ψ(n)} en f_{ψ(n)}(y_{ψ(n)}) (cf 5.3.).

Cette suite de courbes planes convexes γ′_{ψ(n)} converge vers le segment

[f_{0}(y), f_{0}(z)] et leur vecteur tangent en f_{ψ(n)}(y_{ψ(n)}) tend vers le vecteur directeur de ce segment. Ceci entraîne que K(γ′_{ψ(n)}) tend vers 0 (où K désigne l’intégrale de courbure).

Soit maintenant la suite de courbes γ_{ψ(n)} = f_{ψ(n)}^{−1}(γ′_{ψ(n)}), ce que nous

venons de voir entraîne que K(γ_{ψ(n)}) tendent vers 0.

En particulier, on peut extraire de n’importe quelle sous-suite de γ_{ψ(n)}

une sous-suite qui converge C^{1} ainsi que son image par f_{ψ(n)}. Enfin si la limite existe c’est une géodésique joignant x et y, c’est-à-dire γ. Ceci entraîne que γ_{ψ(n)} converge C^{1} vers γ et que f_{ψ(n)}(γ_{ψ(n)}) converge C^{1} vers f_{0}(γ).

La démonstration de ce lemme est donc terminée.

7.Démonstration des théorèmes.

Occupons nous tout d’abord du théorème D.

THEOREME D. Soit (f_{n}) une suite d’immersions localement convexes d’une variété V de dimension p−1, dans un espace à courbure constante et de dimension p, telle que:

(i) la suite (f_{n}) converge uniformément sur tout compact vers une application f_{0};

(ii) la suite de métriques (d_{n}) induites par (f_{n}), est à courbure sectionnelle uniformément majorée et converge C^{1,1} vers une métrique d_{0}. Soit x un point dégénéré, il existe une hypersurface W de V totalement

géodésique pour d, telle que (a) x ∈ W et δW inclus dans δV

(b) tous les points de W sont dégénérés;

(c) f_{0} est une isométrie de W dans un sous-espace totalement géodésique

de M.

De plus, il existe une sous-suite f_{ϕ(n)} de f_{n}, telle que pour toute suite de vecteurs tangents u_{n} à V convergeant vers un vecteur tangent u à W, Df_{ϕ(n)}(u_{n}) converge vers Df_{0}(u) (En particulier f_{ϕ(n)}(W) converge C^{1} vers f_{0}(W)).

Preuve: La démonstration se fait en trois étapes:

1) M est l’espace euclidien,

2) f_{n}(V) est inclus dans le domaine d’un modèle projectif,

3) cas général.

1) M est l’espace euclidien.

Soit x un point dégenéré, il existe alors une sous-suite ϕ(n) telle que x

et f_{ϕ(n)} vérifie la condition (*) et telle que x est un point dégénéré pour la suite f_{ϕ(n)}. Pour simplifier nous supposerons que ϕ(n) = n

Le lemme 6.6 nous fournit alors une hypersurface totalement géodésique

W telle que:

(a) W contient une boule de centre x et de rayon ϵ(x),

(b) f_{0} est une isométrie de W sur un ouvert convexe d’un sous-espace affine,

(c) quelle que soit ϕ(n), tous les points W sont dégénérés pour f_{ϕ(n)};

(d) si u_{n} est une suite de vecteurs tangents de V convergeant vers un vecteur tangent u à W, Df_{n}(u_{n}) converge vers Df_{0}(u). En particulier f_{n}(W) converge C^{1} vers f_{0}(W).

De plus si W′_{n} est une suite d’hypersurfaces de V convergeant C^{0} vers W′ contenant x, telle que f_{n}(W_{n}) converge C^{1} vers un ouvert convexe d’un sous-espace affine, le germe de W′ en x est égal à celui de W.

Considérons l’hypersurface totalement géodésique W′ maximale con-

tenant W telle que:

(α) f_{0} est une isométrie de W sur un ouvert d’un sous-espace totalement

géodésique de M, (β) quelle que soit ϕ(n), tous les points de W sont dégénérés pour f_{ϕ(n)}; (γ) si u_{n} est une suite de vecteurs tangents de V convergeant vers un vecteur tangent u à W, alors Df_{n}(u_{n}) converge vers Df_{0}(u). En particulier f_{n}(W) converge C^{1} vers f_{0}(W). Pour montrer que W′ est l’hypersurface que nous recherchons, il suffit

de montrer que δW′ est inclus dans δV. Pour cela nous montrerons que pour tout y de W’, d(y, δW′) ≥ ϵ(y).

Soit y un point de W′, il est dégénéré pour toutes les sous-suites de

f_{n}. On peut extraire de toute sous-suite ϕ(n) une sous-suite ψ(n) à laquelle on applique le lemme 6.6. Celui-ci nous fournit une hypersurface W” nécessairement parallèle à W par unicité. Cette hypersurface est alors la même pour toute les sous-suites. Ceci suffit à prouver que W” est incluse dans W. En effet dans le cas contraire, on pourrait extraire une sous-suite contradictoire.

2) f_{n}(V) est incluse dans le domaine d’un modèle projectif G.

Dans ce cas, on considère la sous-suite g_{n} = Gof_{n}. Le lemme 4.4 et le

théorème de compacité de Gromov, nous permettent d’extraire une sous-suite que nous noterons f′_{n} et qui vérifiera les hypothèses du théorème dans le cas où M est R^{p}.

Nous obtenons une hypersurface W qui vérifie les conclusions du théo-

rème pour nos f′_{n}. Il est alors facile de vérifier que les conclusions sont également vérifiées pour les f_{n}.

3) Cas général. Il suffit de supposer que V est compacte. Pour chaque x de V on construit un modèle projectif au voisinage de f_{0}(y). On recouvre par un nombre fini de ces voisinages. On recouvre également V par un nombre fini d’ouverts V_{i} de façon à ce que pour n grand , f_{n}(V_{i)} soit inv-clus dans le domaine d’un des modèles projectifs définis précédemment. On applique pour chacun des V_{i} le théorème et on peut se débrouiller facilement pour queb le recollemnt s’opère sans problème.

Ceci termine la démonstration du théorème.

Nous allons maintenant démontrer le théorème C, dont nous rappelons

l’énoncé:

THEOREME C. Si (f_{n}) est une suite d’immersions localement convexes convergeant C^{0} vers une immersion strictement localement convexe (la deuxième forme fondamentale est strictement positive), alors modulo une suite de difféomorphismes (f_{n}) converge C^{1}.

Preuve: D’après 2.5., il nous suffit de montrer que pour tout compact K de V, f_{n}(K) est un graphe dans le voisinage tubulaire de f_{0}(V). Le résultat se réduit à un résultat local, on se ramène à l’aide de modèles projectifs au cas où M est l’espace euclidien.

Soit x un point de V, f_{0} étant strictement localement convexe on peut

trouver un voisinage U de x et un hyperplan P_{1} de R^{p} qui sépare f_{0}(x) et f_{0}(δU). En particulier pour n grand, P^{1} sépare f_{n}(x) et f_{n}(δU).

Il suffit de démontrer le lemme suivant:

LEMME 7.1. Soit W une hypersurface compacte connexe et localement convexe, x un point de W et P^{1} un hyperplan qui sépare x et δW, il existe alors un voisinage U de x dans W qui soit une hypersurface convexe telle que δU est inclus dans P_{1}.

Preuve du lemme: On considère pour cela U la composante connexe de x dans W \ P_{1}. Il suffit de montrer que U est une hypersurface convexe.

Soit y un minimum de la fonction hauteur donnée par le vecteur normal

à P_{1}. L’hyperplan tangent P_{0} à W en y est parallèle à P_{1}. Soit alors P_{t} la famille d’hyperplans parallèle à P_{1} joignant P_{0} à P_{1} et U_{t} la composante connexe de y dans U − P_{t}.

Figure 11

Il nous suffit de montrer que pour tout t, U_{t} est une hypersurface con-

vexe. Ceci se montre par connexité: Pour t proche de O, U_{t} est bien une hypersurface convexe. soit λ le plus grand des t tel que U_{t} est une hypersurface convexe.

D’après 3.3., P_{λ} est soit transverse le long de δU_{λ}, soit tangent.

Si P_{λ} est tangent, δU_{λ} est le bord d’un ouvert convexe O tracée sur P_{λ} et

W, En particulier U_{lamba}∪O est une hypersurface convexe complète homéomorphe à une sphère et W ne serait pas connexe.

Figure 12

P_{λ} est donc transverse le long de δU_{λ}, et enparticulier pour tout t

proche de lamda, U_{t} est une hypersurface convexe. Ceci entraine que t=1.

Démontrons maintenant le théorème B:

THEOREME B. Soit (f_{n}) une suite d’immersions isométriques d’une surface V dans une variété M de dimension 3 à courbure constante strictement inférieure à celle de V, convergeant C^{0} vers f_{0}. Un point x de V est dégénéré si et seulement si il existe une géodésique γ passant par x tel que f_{0} est une isométrie de γ dans une géodésique de M. De plus

(a) une telle géodésique est unique,

(b) on peut la prolonger jusqu’au bord,

(c) tous ses points sont dégénérés,

(d) si (u_{n}) est une suite de vecteurs tangents tendant vers un vecteur u tangent à la géodésique, alors Df_{n}(u_{n)} tend vers Df_{0}(u).

Preuve: Il est clair tout d’abord que l’existence d’une géodésique

envoyée isométriquement par f_{0} sur une géodésique de M entraîne que f_{0} n’est pas une isométrie au voisinage de x et donc que x est dégénéré. Maintenant l’unicité de la géodésique associée à un point dégénéré vient de 4.3..

Par rapport au théorème D, il nous reste simplement à montrer (d).

Remarquons que si un point x est dégénéré, il l’est pour n’importe quelle soussuite de f_{n}, de plust γ étant unique en est la géodésique associée. En particulier le théorème D nous permet d’affirmer que de toute sous-suite ϕ(n) on peut extraire une sous-suite ψ(n) telle que Df_{ψ(n)}(u_{ψ(n)}) converge vers Df_{0}(u). Par compacité cela suffit à conclure.

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Centre de mathématiques U.A. du C.N.R.S no 169 Ecole Polytechnique. 91128 Palaiseau Cedex.