Immersions isométriques elliptiques et courbes pseudo-holomorphes

François LABOURIE

De nombreux problèmes de type elliptique sur les surfaces reçoivent une interprétation en terme de géométrie complexe. Rappelons, par exemple, la représentation de Weierstrass pour les surfaces minimales ou les constructions twistorielles pour les applications harmoniques.

Dans cet article, nous nous intéresserons aux immersions isométriques elliptiques (ou localement convexes) d’une surface dans une variété de dimension 3. Par elliptique (resp. ϵ-elliptique), nous entendons simplement que le discriminant de la deuxième forme fondamentale est positif (resp. supérieur à un ϵ positif). Notre remarque initiale est que le 1-jet d’une telle immersion définit une courbe pseudo-holomorphe. Une telle interprétation va nous permettre de contrôler la façon dont dégénèrent ces immersions. L’un de nos outils fondamentaux est alors la genéralisation du lemme de Schwarz par M.Gromov [G1].

Contrôler la compacité de l’espace des solutions d’un problème elliptique est bien souvent l’un des points cruciaux de la démonstration de l’existence de telles solutions. Dans notre cas, nous avons, en particulier, obtenu le théorème d’existence d’immersions isométriques suivant:

Théorème A. Soit M une variété simplement connexe de dimension 3 à courbure sectionelle inférieure où égale à K_{0}. Soit U un domaine orienté de la sphère muni d’une métrique complète et à courbure supérieure strictement à K_{0}. Il existe alors un plongement propre isométrique, qui respecte l’orientation, de U dans M. On peut par ailleurs imposer arbitrairement le 1-jet de notre plongement en un point.

Ce théorème généralise un théorème connu lorsque M est à courbure constante ([Po] p 38). Il généralise également un théorème de Pogorelov dans le cas U compact (c’est à dire la sphère), et dont nous proposons une nouvelle démonstration, sensiblement plus courte:

Théorème B. (Pogorelov) Soit M une variété de dimension 3 à courbure sectionelle inférieure où égale à K_{0} . Soit S une surface orientée, homéomorphe à la sphère et à courbure supérieure strictement à K_{0}. Il existe alors une immersion isométrique ,qui respecte l’orientation, de S dans M. On peut par ailleurs imposer le 1-jet de l’immersion en un point et, avec cette normalisation, l’immersion est unique.

Traduire en terme de géométrie complexe s’avère également très utile pour traîter un autre problème classique pour les surfaces localement convexe, celui de la rigidité infinitésimale. Ce problème se réduit en effet à un calcul d’intersection. Nous obtenons en particulier une démonstration très rapide et élémentaire d’un autre théorème de Pogorelov, les définitions sont données en 7.1:

Théorème C. (Pogorelov) une surface fermée localement convexe S d’une variété M de dimension 3 est infinitésimalement rigide dans les cas suivants

(i) S est homéomorphe à la sphère et ancrée en un point et son espace tangent, (ii) S est homéomorphe au projectif et ancrèe en un point et une direction, (iii) S est homéomorphe au tore ou à la bouteille de Klein et ancrèe en un

point, (iv) la caractéristique d’Euler de S est négative.

Remarquons que dans son énoncé original, Pogorelov se restreint au cas des surfaces orientables.

Enonçons maintenant les résultats sur la dégénérescence des immersions elliptiques. On se donne donc (f_{n}) une suite d’immersions ϵ-elliptiques d’une surface S dans une variété riemanienne (M, g) de dimension 3, telle que les métriques induites convergent C^{∞} vers une métrique g_{0}. On suppose également que (f_{n}) converge C^{0} vers une application f_{0}. Notre premier résultat exhibe un critère qui permet de faire converger C^{∞} notre suite:

Théorème D. Si l’intégrale de la courbure moyenne des f_{n}(S) est uniformément majorée, (f_{n}) converge C^{∞} sur tout compact vers une immersion isométrique f_{0} de (S, g_{0}) dans (M, g).

Les théorèmes de ce type exigent habituellement une borne uniforme sur la courbure moyenne. Notre deuxième résultat, nous permet de décrire la façon dont dégénère notre suite d’immersions:

Théorème E. On suppose que la suite (f_{n}) ne converge pas C^{∞} au voisinage d’un point x de S. Il existe alors une unique géodésique pour g_{0}, γ, passant par x, telle que f_{0} est une isométrie de γ dans une géodésique de M.

Réciproquement l’existence d’une telle géodésique entraine que (f_{n}) ne converge pas C^{∞} au voisinage de x.

L’énoncé complet du théorème précise la façon dont la géodésique apparait (voir section 6). Dans le cas ou M est à courbure constante, ce théorème se généralise aux hypersurfaces (voir [L]) .

Figure 1

Donnons un exemple du phénomène décrit par ce théorème. On peut construire (voir [S]) une famille (f_{n}) d’immersions isométriques de la sphère moins deux points antipodaux dans R^{3}. Chaque immersion f_{n} s’enroule alors n fois autour de l’axe des pôles, la limite étant un segment (figure 1).

Remarquons, pour finir, que nous savons peu de choses sur les limites d’immersions isométriques en général. En grande codimension, toute application strictement contractante est limite C^{0} d’immersions isométriques C^{∞} ([G2] p 21). La situation est certainement bien différente en petite codimension. Par exemple, dans le cas des surfaces dans R^{3}, une inégalité dûe à Burago et Shefel’ fournit une obstruction pour une application contractante quelconque d’être limite C^{0} d’immersions isométriques C^{∞} ([G2] p 284).

Cet article s’organise de la façon suivante

1. Convergence d’applications pseudo-holomorphes.

2. Description pseudo-holomorphe des immersions isométriques.

3. Convergence des jets.

4. Preuve du théorème D.

5. Voisinage et contrôle de l’intégrale de la courbure moyenne.

6. Preuve du théorème E.

7. Preuve des théorème de Pogorelov.

8. Preuve du théorème A. Je tiens à remercier ici M.Gromov pour son interêt constant pour ce travail

et P.Pansu pour m’avoir longuement expliqué les détails de la démonstration du théorème de compacité des courbes cusps de M.Gromov.

1 Convergence d’applications pseudo-holomorphes

Dans cette section, nous allons, d’une part, rappeler un critère, le lemme de Schwarz (1.2.), qui permet de faire converger une suite d’applications pseudoholomorphes, et d’autre part, démontrer deux lemmes (1.6. et 1.8. ) qui nous permettent de décrire la limite.

Rappelons tout d’abord qu’une structure presque complexe sur une variété est la donnée est la donnée d’un champ d’endomorphismes de carré -1 du fibré tangent. Une application pseudo-holomorphe entre deux variétés presque complexe est une application dont la différentielle commute avec les structures complexes. Enfin une courbe pseudo-holomorphe dans une variété presque complexe est une surface réelle dont le plan tangent est stable par rapport à la structure complexe.

1.1 Lemme de Schwarz. Nous allons extraire de la démonstration du théorème de compacité des courbes cusps de Gromov ([G1]), le lemme fondamental qui nous sera utile par la suite.

Nous considérons une variété E munie d’une structure presque complexe J et d’une métrique hermitienne μ. Soit également g une application pseudoholomorphe de D, le disque unité de C, dans E. Le lemme est le suivant:

1.2 lemme de Schwarz. (Gromov) Si g(D) est incluse dans un compact de E calibré, c’est-à-dire sur lequel il existe une 1-forme β telle que

dβ(x, Jx) > 0.

Alors g a ses dérivées à tous les ordres, à l’origine, a priori majorées.

Ce lemme est le résumé de la première partie du théorème de compacité des courbes cusps de Gromov tel qu’il est exposé dans [P].

On peut trouver des compacts calibrés de la manière suivante: soit F ⟶ E un fibré, muni d’une connexion, sur une variété presque complexe E et dont la fibre est kälherienne. L’espace total est alors également une variété presque complexe. Si maintenant K est un compact de la fibre qui possède un voisinage, dans la fibre, dont le H^{2} de de Rham est nul, K est alors calibré. Cette remarque et le lemme de Schwarz nous donnent un lemme, utilisé implicitement dans [P].

1.3 lemme. Soit π : F ⟶ E un fibré, muni d’une connexion, sur une variété presque complexe E et dont la fibre est kälherienne. On munit l’espace total de la structure presque complexe induite. Soit ensuite (f_{n}) une suite d’applications pseudo-holomorphes de D dans F telle que

(i) (π ∘ f_{n}) converge, (ii) f_{n}(D) est inclus dans un compact K, (iii) K possède un voisinage U, dont l’intersection avec chaque fibre est de H^{2}

de de Rham nul.

Alors les dérivées des f_{n} sont uniformément majorées.

En fait, dans [P], on montre le lemme de Schwarz pour la première dérivée et l’on applique le lemme que nous venons d’énoncer (sur la première dérivée) à l’espace des jets. Ceci permet d’amorcer la récurrence qui montrera le lemme de Schwarz à tous les ordres.

1.4 Hypothèses. A l’aide du théorème d’Ascoli et du lemme de Schwarz, nous pourrons extraire des suites convergentes, C^{∞} sur tout compact, d’applications pseudo-holomorphes. Nous nous intéresserons donc dans la suite de cette section à la situation suivante:

(i) une variété E munie d’une suite (J_{n}) de structures presque complexes convergeant C^{∞} vers J_{0},

(ii) une suite (f_{n}) d’applications pseudo-holomorphes de D dans (E, J_{n}) convergeant C^{∞} sur tout compact vers f_{0}, pseudo-holomorphe de D dans (E, J_{0}),

(iii) nous supposerons également que E est muni d’une suite (μ_{n}) de métriques hermitiennes convergeant vers μ_{0}.

1.5 Singularités. Considérons G_{2}(E), la grassmanienne des 2-plans tangents à E. Si maintenant f est une immersion d’une surface S dans E, on peut lui associer une application f̄ de S dans G_{2}(E) qui, à un point, associe le plan tangent à l’image. Nous allons montrer le

1.6 lemme. Si les hypothèses suivantes sont vérifiées:

(i) les f_{n} sont des immersions,

(ii) (f̄_{n}) converge,

(iii) f_{0} n’est pas constante, alors f_{0} est une immersion.

preuve: Remarquons, tout d’abord, que f_{0} étant pseudo-holomorphe et non constante, ses singularités sont isolées. Nous pouvons donc supposer, pour simplifier que λ_{0} =| f_{0} | est non nulle sur D moins l’origine. Nous voulons montrer que λ_{0} est non nulle partout.

Considérons g_{n} = f_{n}^{∗}μ_{n}, les métriques induites par les f_{n} sur D. Nous savons que g_{n} = λ_{n}g où g est la métrique canonnique et λ_{n} =| f_{n} |.

Nous allons tout d’abord montrer que (ii) entraîne que, si k_{n} est la courbure de la métrique g_{n}, il existe une constante C telle que sur un voisinage de l’origine

| k_{n} |≤ \frac{C}{λ_{n}} .

Notre deuxième hypothèse peut se traduire de la manière suivante: Soient F_{n} ⟶ D les fibrés induits par les f_{n} du fibré tangent à E, alors les fibrés D_{n} = f_{n∗}(T D) vus comme sous-fibrés de F_{n}, convergent. En particulier:

d’une part, la courbure des plans tangents aux images est uniformément bornée;

d’autre part, les deuxièmes formes fondamentales S_{n} de D_{n} dans F_{n} sont uniformément bornées. C’est à dire, si u est un vecteur de D_{n} et v un vecteur tangent à D, alors

| S_{n}(f_{n∗}(v), u) |^{2}≤ Cg(v, v)μ_{n}(u, u).

Ceci entraîne que si w, u sont des vecteurs tangents à l’image

| S_{n}(w, u) |^{2}≤ \frac{C}{λ_{n}} μ_{n}(w, w)μ_{n}(u, u).

En combinant ces deux remarques et l’équation de Gauss pour la surface f_{n}(D), nous en déduisons l’inégalité recherchée.

Maintenant nous savons que

k_{n} = \frac{Δ(log(λ_{n}))}{2λ_{n}},

et donc

Δ(log(λ_{n})) ≤ C.

Nous en déduisons que sur D moins l’origine

Δ(log(λ_{0})) ≤ C.

Il est alors facile de montrer à l’aide de la formule de Green que λ_{0} est non nulle partout.

1.7 Bord. On note dans ce paragraphe f(∂D), l’ensemble des points d’adhérence des suites (f(x_{n})) lorsque (x_{n}) tend vers le bord du disque unité. Notre but est de montrer le

1.8 lemme. Si l’aire de f_{n}(D) est uniformément bornée, alors f_{0}(∂D) est inclus dans la limite de Haussdorf des f_{n}(∂D).

Montrons tout d’abord la proposition suivante:

1.9 proposition. On suppose que notre suite (f_{n}) d’applications pseudo-ho-lomorphes vérifie de plus

(i) d_{n}(f_{n}(∂D), f_{n}(0)) est uniformément minorée par β, (ii) l’aire pour d_{n} de f_{n}(D) est uniformément majorée par K.

Alors f_{0} n’est pas constante.

preuve: Raisonnons par l’absurde, si (f_{n}) tend vers une fonction constante alors, pour tout disque D(r) de rayon r et tout ϵ strictement positif, f_{n}(D(r)) est inclus dans B(f_{0}(0), ϵ), pour tout n grand.

Considérons l’anneau A(r) = D \ D(r) et notons A_{0} et A_{1} les deux composantes de son bord, A_{1} = ∂D et A_{0} = ∂D(r). D’après nos hypothèses, nous avons alors pour tout n grand

(iii) d_{n}(f_{n}(0), f_{n}(A_{0})) ≤ ϵ (iv) d_{n}(f_{n}(0), f_{n}(A_{1})) ≥ β

Rappelons maintenant la notion de module d’un anneau. Tout anneau métrique A est conforme à S^{1} × [0, L(A)], le réel L(A) est alors appelé module de l’anneau A. On peut également le calculer de la manière suivante

(∗)  \frac{1}{L(A)} = inf_{u∈B} ∫_{A} | du |^{2}

où B désigne l’ensemble des fonctions u telles que u |_{A_{0}}≤ 0 et u |_{A_{1}}≥ 1, A_{0} et A_{1} désignant les deux composantes connexes du bord.

Revenons à notre anneau A(r), si nous faisons tendre r vers 1 son module tend vers 0. Par ailleurs A(r) est conforme à son image par f_{n}, et nous pouvons minorer son module à l’aide de (*): nous injectons dans la formule la fonction u(y) = d_{n}(y, f_{n}(0)). Son gradient ayant une norme inférieure à 1, nous obtenons pour n grand grâce à (ii),(iii) et (iv),

L(f_{n}(A(r))) ≥ C(ϵ, β, K).

Ceci nous fournit la contradiction recherchée.

Nous pouvons maintenant démontrer notre lemme.

preuve: Soit y un point de f_{0}(∂D), par définition il existe une suite de points (y_{n}) tel que y = lim(f_{0}(y_{n})). Puisque f_{n} converge sur tout compact vers f_{0}, nous pouvons supposer que pour toute suite p_{n} telle que p_{n} ≥ n,

(∗)  y = lim_{n→∞}(f_{p_{n}}(y_{n})).

Munissons D de la métrique hyperbolique et supposons que les boules B_{n} de rayon 1 autour des y_{n} soient disjointes.

Maintenant puisque l’aire de f_{n}(D) est uniformément majorée, l’aire de f_{0}(D) est bornée et donc

lim_{n→∞}(Aire(f_{0}(B_{n}))) = 0.

Il existe donc une suite p_{n} telle que p_{n} ≥ n et

(∗∗)  lim_{n→∞}(Aire(f_{p_{n}}(B_{n}))) = 0.

Considérons maintenant une famille g_{n} de transformations conformes de D telle que g_{n}(0) = y_{n} et la famille d’applications pseudo-holomorphes f̄_{n} = f_{p_{n}} ∘g_{n}. D’après (**), g_{n} tend sur tout compact vers une application constante. Par ailleurs, g_{n}(D) = f_{p_{n}}(D) a une aire uniformément majorée. Notre proposition précédente nous permet d’affirmer que

lim_{n→∞}(d(g_{n}(∂D), g_{n}(0))) = 0,

et donc que

lim_{n→∞}(d(f_{p_{n}}(y_{n}), f_{p_{n}}(∂D))) = 0.

Ceci et (*) nous permet donc de conclure que y appartient à lim(f_{n}(∂D)).

2 Description pseudo-holomorphe des immersions isométriques

Nous allons décrire le 1-jet d’une immersion isométrique d’une surface S dans une variété M de dimension 3. Ce jet est à valeur dans l’ensemble E = Isom(T S, T M) des isométries linéaires de T S dans T M. Notre but est de munir un ouvert O de E d’une structure presque complexe telle que le 1jet d’une immersion isométrique elliptique (ou localement convexe) définisse une courbe pseudo-holomorphe de O.

Nous verrons aussi que d’autres courbes pseudo-holomorphes, les surfaces de pli s’introduisent naturellement (2.9. ). Enfin, en 2.10., nous étudierons le calibrage de notre espace, et en 2.12., nous établirons, à l’aide de Codazzi-Mainardi, l’équation que vérifie la courbure moyenne dans notre contexte.

2.1 Espace des immersions isométriques. Notre première étape va être de décrire E et plus particulièrement son espace tangent.

E est naturellement un fibré sur S×M. On notera π_{S} et π_{M}, les projections sur S et M respectivement, pour simplifier, on notera leur différentielle de la même manière.

La fibre au point (s, m) est Isom(T_{s}S, T_{m}M), l’ensemble des isométries de T_{s}S dans T_{m}M. L’espace tangent à la fibre en un point g s’identifie à l’ensemble des applications linéaires f de T_{s}S dans T_{m}M qui vérifient

⟨f(u) | g(u)⟩ = 0

où u appartient à T_{s}S et ⟨|⟩ désigne le produit scalaire de T_{m}M. Une telle f s’écrivant nécessairement f = g ∧ v, où v appartient à T_{m}M, cet espace tangent s’identifie canoniquement à T_{m}M.

On muni ce fibré de la connexion induite par les connexions de Levi-Civita sur S et M, on note alors π_{F} la projection sur l’espace tangent à la fibre qui s’en déduit.

Nous avons donc décomposé l’espace tangent à E en

T_{(s,m,g)}E = T_{s}S ⊕ T_{m}M ⊕ T_{m}M

à l’aide des projections π_{S} ,π_{M} et π_{F}.

2.2 1-jet d’immersion isométrique. Soit maintenant f une immersion isométrique de S dans M. Nous noterons f_{∗} la différentielle de f, j^{1}f son 1-jet, ∇ la connexion de M, n le vecteur normal à la surface f(S) et J_{0} la structure complexe naturelle sur f_{∗}(T S) induite par la métrique et l’orientation, donnée par J_{0}(u) = n ∧ u .

Nous allons maintenant décrire l’espace des vecteurs tangent à la surface j^{1}f(S) dans E.

2.3 proposition. A l’aide de la décomposition précédente, cet espace se décrit comme l’ensemble des vecteurs de la forme

v = (u, f_{∗}(u), −J_{0}∇_{f_{∗}(u)}n)

où u désigne un vecteur de T S.

preuve: Seul le dernier terme est à vérifier. Considérons tout d’abord l’espace tangent à la fibre comme un espace d’applications linéaires. Le dernier terme est alors l’application π_{F} (v) qui à w associe π_{F} (v)(w) où

\begin{aligned}π_{F} (v)(w) & = ∇_{f_{∗}(u)}f_{∗}(w) − f_{∗}(∇_{u}w) \\ & = II(u, w)n \end{aligned}

où II(,) désigne la deuxième forme fondamentale de la surface immergée. Or

II(u, w)n = −⟨∇_{f_{∗}(u)}n | f_{∗}(w)⟩n
= (n ∧ ∇_{f_{∗}(u)}n) ∧ f_{∗}(w)
= f_{∗}(w) ∧ −J_{0}∇_{f_{∗}(u)}n

q.e.d.

2.4 Cas elliptique. Dans le cas elliptique, la deuxième forme fondamentale est une métrique. On a alors

∇_{f_{∗}(u)}n = kJ_{0}J

où k est la racine carrée de la courbure de Gauss de la surface, c’est à dire la différence des courbures extrinsèques et intrinsèques du plan tangent à la surface,

k^{2} = K(T S) − K(f_{∗}(T S))

et J désigne la structure complexe associée à la deuxième forme fondamentale et qui respecte l’orientation.

En particulier, nous avons 2.5 proposition. L’espace tangent à j^{1}f(S) dans E est constitué des vecteurs de la forme

v = (u, f_{∗}(u), kf_{∗}(Ju))

où u désigne un vecteur de T S.

On remarquera que k est une fonction parfaitement définie sur E.

2.6 Structure presque complexe. Soit O l’ouvert de E constitué des points où la courbure de Gauss k est strictement positive. Nous allons munir O d’une structure presque complexe telle que j^{1}f(S) soit une courbe pseudo-holomorphe pour f elliptique.

Nous allons décomposer T E d’une nouvelle manière

\begin{matrix}T_{g}E = & V ⊕ W \\ V = & \{G(u, v) = (u, g(u), kg(v)); ∀u, v ∈ T S\} \\ W = & \{(u, −g(u) + αn, βn)\} \end{matrix}

Munissons T E de la structure presque complexe

\begin{aligned}J |_{V} & : G(u, v) ↦ G(v, −u) \\ J |_{W} & : (u, −g(u) + αn, βn) ↦ (J_{0}u, −g(J_{0}u) + βn, −αn) \end{aligned} .

En fait, la structure complexe sur W n’a aucune incidence sur la suite du problème. Munissons V de la métrique hermitienne μ

μ(G(u_{1}, v_{1}), G(u_{2}, v_{2})) = k⟨u_{1} | u_{2}⟩ + k⟨v_{1} | v_{2}⟩,

où ⟨|⟩ désigne la métrique de S. On munit ensuite W de n’importe quelle métrique.

2.7 Courbes pseudo-holomorphes. Nous allons maintenant exhiber des courbes pseudo-holomorphes.

2.8 proposition. Si f est une immersion isométrique elliptique de S dans M, j^{1}f(S) est une courbe pseudo-holomorphe de O. De plus la structure presque complexe induite sur S est celle donnée par la deuxième forme fondamentale. L’aire ω induite est Hω_{0} où H désigne la courbure moyenne de l’immersion et ω_{0} l’elément d’aire de la métrique initiale.

La preuve découle de 2.5.

Il existe d’autre courbes pseudo-holomorphes. Celles que nous allons définir maintenant nous seront utiles.

2.9 proposition, définition. Soient γ(t) une géodésique de S et Γ(t) une géodésique de M, toutes deux paramétrées par l’arc. La surface F = F (γ, Γ) de E constituée des isométries de T_{γ(t)}S dans T_{Γ(t)}M qui envoient \frac{dγ}{dt} sur \frac{dΓ}{dt}, est une courbe pseudo-holomorphe. Nous l’appelerons Surface de pli .

A nouveau la preuve est immédiate.

2.10 Calibrage. Une notion utile (voir 1.2.) pour l’étude des courbes pseudoholomorphes est celle de calibrage. Un compact O est calibré si il existe une 1-forme β, définie sur O, telle que

dβ(x, Jx) > 0.

Dans notre cas, nous nous intéresserons seulement au calibrage respectivement à V, c’est à dire que nous demandons que la formule ci-dessus soit vérifiée uniquement pour les vecteurs x de V. Nous pouvons alors montrer

2.11 proposition. Toute fibre F_{(s,m)} = Isom(T_{s}S, T_{m}M) de E ⟶ S × M est calibrée respectivement à V.

preuve: Considérons h le champ de vecteur de M défini au voisinage de m qui à un point x associe l’image réciproque par l’application exponentielle de m. On remarque que ce champ de vecteur vérifie ∇_{u}h = u en m. On peut relever ce champ de vecteur en un champ de vecteur de E à valeur dans T M.

Considérons alors la 1-forme β définie par

β(u, v, w) = det(h, n, w)

où n désigne à nouveau ici le champ de vecteur normal. Si nous différencions cette forme, nous obtenons le long de F_{(s,m)}

dβ((u_{1}, v_{1}, w_{1}), (u_{2}, v_{2}, w_{2})) = det(v_{1}, n, w_{2}) − det(v_{2}, n, w_{1}).

On vérifie maintenant que pour tout vecteur x tangent à V le long de F_{(s,m)}, nous avons

dβ(x, Jx) > 0.

q.e.d.

Les calculs effectués lors de la démonstration de notre dernière proposition sont liés à ceux qui permettent d’obtenir les formules de Minkowski (Voir [S]).

2.12 Courbure moyenne et équation de Codazzi Mainardi. Soit H la courbure moyenne de notre immersion. Remarquons tout d’abord que la fonction W = \frac{1}{H} ,définie sur j^{1}f(S), peut se définir également comme le determinant de la projection sur S. L’équation de Codazzi-Mainardi va nous permettre de montrer le 2.13 lemme. La fonction W est solution d’une équation du type

dW ∘ J = W β + π_{S}^{∗}ω(−4(kW)^{2} + 1),

où k est la courbure de Gauss, ω la forme de connexion du repère des directions principales et β une 1-forme qui ne dépend que la projection orthogonale sur l’espace tangent à j^{1}f(S).

preuve: Commençons par calculer la projection orthogonale π d’un vecteur de G(u, v) de V sur T j^{1}f(S). Nous obtenons

πG(u, v) = W kG(J_{0}v + JJ_{0}u, JJ_{0}v − J_{0}u)

Pour effectuer ce calcul, il suffit de remarquer que l’orthogonal de T j^{1}f(S) dans V est constitué des vecteurs de la forme G(u, J_{0}JJ_{0}u) et que nous avons

JJ_{0} + J_{0}J = \frac{H}{k} Id.

Rappelons maintenant l’équation de Codazzi Mainardi. Si nous écrivons la deuxième forme fondamentale

II(u, v) = ⟨A(u) | v⟩

et si nous désignons par R le tenseur de courbure de M et par n le vecteur normal à la surface, cette équation s’écrit

∇_{u}A(v) − ∇_{v}A(u) = R(u, v)n.

Or nous pouvons écrire

A = kJ_{0}J = J_{0}B.

Notre équation se reécrit

∇_{u}B(v) − ∇_{v}B(u) = −J_{0}R(u, v)n

Nous avons ensuite les relations de commutation

(∇_{u}B)J + J(∇_{u}B) = −2(u.k)Id.

En reportant dans l’équation précédente, nous obtenons

\begin{matrix}(∇_{Ju}B)(v) − (∇_{u}B)(Jv) = & 2(u.k)v − 2(v.k)u \\ − JJ_{0}R(u, v)n + J_{0}R(u, Jv)n \end{matrix}

En A, cela donne

\begin{matrix}(∇_{Ju}A)(v) − (∇_{u}A)(Jv) = & 2(u.k)J_{0}v − 2(v.k)J_{0}u \\ − J_{0}JJ_{0}R(u, v)n − R(u, Jv)n \end{matrix} .

Nous allons prendre la trace de cette équation. Un bref calcul nous donne tout d’abord

tr((∇_{u}A)J) = (H^{2} − 4k^{2})ω.

Notons ensuite R̄(u) l’opérateur défini par R̄_{u}v = R(u, v)n + J_{0}R(u, J_{0}v)n. Nous obtenons alors

dH(Ju) − (H^{2} − 4k^{2})ω = −2dk(J_{0}u) − tr(JR̄_{u}).

Nous allons relever cette équation sur j^{1}f(S). Nous sommes donc conduit à relever les opérateurs J_{0} et R_{u}. Leurs relevés que nous notons de la même manière sont donnés par

J_{0}(G(v, Jv)) = G(J_{0}v, JJ_{0}v)

et

R̄_{G(u,Ju)}G(v, Jv) = G(R̄_{u}v, JR̄_{u}v)

En fait ces opérateurs sont les restrictions d’opérateurs de la forme HπL où L est un opérateur bien défini sur V. Nous avons

J_{0}(u) = HπL_{1}(u),

où

L_{1}(G(u, v)) = kG(0, u).

Ainsi que

R̄_{u}v = HπL_{2}(v, w),

où

L_{2}(G(u, v), G(w, z)) = kG(0, −J_{0}R̄_{u}w).

En reportant tout cela nous obtenons finalement que

dH ∘ J = Hβ + π_{S}^{∗}ω(H^{2} − 4k^{2}),

où β ne dépend que de π,k,L_{1} et L_{2}.

3 Convergence des jets

Nous allons maintenant exploiter l’interprétation pseudo-holomorphe de la section précédente. Notre but est de montrer (3.3.) que, sous certaines hypothèses, le graphe du 1-jet d’une suite d’immersions isométriques elliptiques converge, localement, soit vers un graphe, soit vers une surface de pli.

3.1 Hypothèses. Dans cette section les données sont les suivantes (i) une variété M de dimension 3, munie d’une métrique g, (ii) une surface S, (iii) une suite d’immersions ϵ-elliptiques (f_{n}) de S dans M convergeant C^{0} vers

une application f_{0} et telle que (iv) la suite de métriques (g_{n} = f_{n}^{∗}g) convergent C^{∞} vers une métrique g_{0}.

On note alors J_{n} la structure complexe sur S donnée par la deuxième forme fondamentale (qui est d’après nos hypothèses une métrique) de f_{n}(S) et H_{n} sa courbure moyenne.

On se donne également une suite (x_{n}) de points de S convergeant vers un point x_{0}, et une suite (O_{n}) de voisinages ouverts suffisamment petit de (x_{n}) homéomorphes au disque et tels que

(v) ∫_{O_{n}} H_{n}dg_{n} est uniformément majorée , (vi) d(j^{1}f_{n}(x_{n}), j^{1}f_{n}(∂O_{n})) est uniformément minorée par α.

Considérons maintenant le difféomorphisme γ_{n} de D dans O_{n}, donné par la représentation conforme de O_{n} muni de J_{n}. Soit alors h_{n} = j^{1}f_{n}∘γ_{n}, immersion du disque dans J^{1}(S, M). D’après 2.8. , h_{n} est une application pseudo-holomorphe du disque D dans E muni de la suite J̄_{n} de structures presque complexes associées aux métriques g_{n}. Ces structures presque complexes convergent C^{∞}, puisque les g_{n} convergent.

3.2 Convergence . Notre but dans cette section est de montrer la

3.3 proposition. Il existe une sous-suite (h_{p_{n}}) de (h_{n}) convergeant C^{∞} vers une immersion pseudo-holomorphe h_{0} telle que h_{0}(∂D) est inclus dans la limite de Haussdorff des h_{p_{n}}(∂D). De plus, nous avons l’alternative suivante.

Soit h_{0}(D) est inclus dans le graphe d’une immersion isométrique, et dans cas (f_{p_{n}}) converge C^{∞} au voisinage de x_{0} vers f_{0}.

Soit h_{0}(D) est inclus dans une ”surface de pli” F (γ, Γ) (cf 2.9. ). Dans ce cas, si nous paramétrisons γ avec l’origine en x_{0}, nous avons de plus

(i) γ]−α, α[ est la limite des courbes intégrales c_{p_{n}}, passant par x_{n}, du champ (défini sur O_{p_{n}}) de la direction principale associée à la plus petite valeur propre de la deuxième forme fondamentale. De même Γ est la limite des f_{p_{n}}(c_{p_{n}}),

(ii) enfin f_{0} est une isométrie de γ] − α, α[ dans Γ, et si (u_{p_{n}}) est une suite de vecteurs tangents en x_{p_{n}} convergeant vers un vecteur u_{0} tangent à γ, alors (Df_{p_{n}}(u_{p_{n}})) converge vers Df_{0}(u_{0})

La démonstration se fait en deux étapes.

3.4 Première étape. Nous allons montrer la première partie de la proposition, c’est à dire l’existence d’une sous-suite de (h_{n}) convergeant C^{∞} vers une immersion pseudo-holomorphe h_{0} telle que h_{0}(∂D) soit inclus dans la limite de Haussdorff des h_{n}(∂D).

Tout d’abord puisque les O_{n} sont suffisamment petits, les f_{n}(O_{n}) sont uniformément inclus dans un petit voisinage de f_{0}(x_{0}) dans M. Nous en déduisons que j^{1}f_{n}(O_{n}) est inclus dans un petit voisinage de la fibre au dessus du point (x_{0}, f_{0}(x_{0})) qui d’après 2.11. est calibrée.

Nous pouvons donc appliquer le lemme de Schwarz 1.2. et extraire de notre suite (h_{n}), une sous-suite convergeant (h_{p_{n}}) vers une application pseudoholomorphe h_{0}. Nous notons cette sous-suite, pour simplifier, également (h_{n}). Notre hypothèse (v) entraîne que l’aire des h_{n}(D) est uniformément bornée (voir 1.6.). Le lemme 1.8, nous permet donc d’affirmer que h_{0}(∂D) est inclus dans lim(h_{n}(∂D)). En particulier notre hypothèse (vi) entraîne que h_{0} n’est pas constante.

Il nous reste simplement à montrer que h_{0} est une immersion. D’après 1.6., il suffit de montrer que le relevé de h_{n}, h̄_{n}, par l’application de Gauss, à valeur dans G_{2}(E), converge.

Pour cela remarquons tout d’abord que h̄_{n} est en fait à valeur dans l’espace total du fibré CP(V) ⟶ E, dont la fibre est constituée des droites complexes incluses dans le sous-fibré V du fibré tangent à E, et défini en 2.6.. Ce fibré est muni canoniquement d’une connexion, et sa fibre, conforme à CP^{1} = S^{2}, est kälherienne. Plus précisement, h̄_{n} est à valeur dans le compact K de CP(V) constitué des droites complexes dont la projection sur T S (induite par π_{S}) a un determinant positif. On remarque que l’intersection de K avec la fibre est une hémisphère. Les hypothèses du lemme 1.3. sont donc vérifiées, et nous pouvons par le théorème d’Ascoli en déduire l’existence d’une sous-suite convergente de h̄_{n}. Ceci, comme nous l’avons déjà remarqué, suffit à prouver que h_{0} est une immersion.

3.5 Deuxième étape. Nous allons maintenant démontrer la deuxième partie de notre assertion. Pour cela, remarquons à nouveau que la fonction W_{n} = \frac{1}{H_{n}} definie de h_{n}(D) dans R, peut se définir également comme le determinant de la projection sur S. Cette fonction converge donc C^{∞} vers une fonction W_{0} définie sur h_{0}(D). Rappelons le lemme 2.13. que nous pouvons énoncer dans notre contexte sous la forme suivante

3.6 proposition. Les fonctions W_{n} sont solutions d’équations du type

(∗)  dW_{n} ∘ J̄_{n} = W_{n}β_{n} + π_{S}^{∗}ω_{n}(−4(kW_{n})^{2} + 1),

où k est la courbure de Gauss, ω_{n} la forme de connexion du repère des directions principales et β_{n} converge C^{∞}.

En effet, nous venons de voir que la suite de surfaces (h_{n}(D) = j^{1}f_{n}(S)) convergeait C^{∞}, ce qui nous permet d’assurer que (β_{n}) converge C^{∞}.

Nous allons tout d’abord montrer

3.7 proposition.

- soit W_{0} est constamment nulle,

- soit W_{0} n’est jamais nulle.

preuve: On se place au voisinage d’un point où W_{0} est nulle. On désigne par C_{i} des constantes. Pour n grand, (*) nous permet de dire

(1)  \begin{aligned}| π_{S}^{∗}ω_{n} | & ≤ C_{1}(| W_{n} | + | dW_{n} |) \\ & ≤ C_{2}. \end{aligned}

Dérivons (*). Cela donne en notant Ω_{n} la forme de courbure de la métrique g_{n} sur S

(2)  \begin{matrix}d(dW_{n} ∘ J̄_{n}) − dW_{n} ∧ β_{n} = \\ W_{n}(dβ_{n} − 8π_{S}^{∗}ω_{n} ∧ kd(kW_{n})) + π_{S}^{∗}Ω_{n}(−4(kW_{n}^{2}) + 1) \end{matrix}

Maintenant, puisque la courbure des g_{n} est uniformément bornée

(3)  | π_{S}^{∗}Ω |≤ C_{3} | W_{n} |

En combinant (1),(2) et (3), on obtient

| d(dW_{n} ∘ J̄_{n}) − dW_{n} ∧ β_{n} |≤ C_{4} | W_{n} |,

ce qui donne à la limite

| d(dW_{0} ∘ J̄_{0}) − dW_{0} ∧ β_{0} |≤ C_{4} | W_{0} | .

Il existe donc un opérateur linéaire elliptique du deuxième ordre sans terme constant, L, tel que

| L(W_{0}) |≤ C_{4} | W_{0} | .

Nous pouvons maintenant conclure à l’aide du principe du maximum, puisque W_{0} est positive ou nulle.

Il nous reste à montrer 3.8 proposition. Si W_{0} n’est jamais nulle, h_{0}(D) est inclus dans le graphe d’une immersion isométrique. Si W_{0} est nulle, h_{0}(D) est inclus dans une ”surface de pli” F (γ, Γ). Dans ce cas, si nous paramétrisons γ avec l’origine en x_{0}

(i) γ]−α, α[ est la limite des courbes intégrales c_{p_{n}}, passant par x_{n}, du champ (défini sur O_{p_{n}}) de la direction principale associée à la plus petite valeur propre de la deuxième forme fondamentale. De même Γ est la limite des f_{p_{n}}(c_{p_{n}}),

(ii) enfin f_{0} est une isométrie de γ] − α, α[ dans Γ, et si (u_{p_{n}}) est une suite de vecteurs tangents en x_{p_{n}} convergeant vers un vecteur u_{0} tangent à γ, alors (Df_{p_{n}}(u_{p_{n}})) converge vers Df_{0}(u_{0})

preuve: La première partie de notre assertion est une trivialité, puisque W_{0} est le déterminant de la projection sur S. Examinons la deuxième partie.

Dans ce cas, W_{n} converge C^{∞} vers 0. Remarquons alors que, d’après l’inégalité (1) de la proposition précédente, π_{S}^{∗}ω_{n} tend lui aussi vers 0.

Soit maintenant c_{n} la courbe intégrale, passant par x_{n}, du champ (défini sur O_{n}) de la direction principale associée à la plus petite valeur propre de la deuxième forme fondamentale. D’après notre remarque précédente sa courbure géodésique tend vers 0. Par ailleurs, la courbure normale de f_{n}(c_{n}) tend également vers 0 puisque H_{n} = \frac{1}{W_{n}} tend vers 0. D’après notre hypothèse (vi) de 3.1, sa longueur est uniformément minorée par α.

Ceci nous permet de conclure que c_{n} tend vers une géodésique γ de S, et que f_{n}(c_{n}) tend vers une géodésique Γ de M. h_{0}(D) va donc avoir une infinité de point communs avec la surface de pli F (γ, Γ). Nous pouvons conclure en utilisant, par exemple, le principe de Carlemann (cf [B]) qui nous dit que deux courbes pseudo-holomorphes ayant une infinité de points communs sont confondues. Le reste de la proposition suit aisément.

4 Preuve du théorème D

Rappelons son énoncé

Théorème D. Soit (f_{n}) une suite d’immersions ϵ-elliptiques d’une surface S dans un compact d’une variété M de dimension 3, munie d’une métrique g, telle que

(i) les métriques g_{n} = f_{n}^{∗}g convergent C^{∞} vers une métrique g_{0}, (ii) l’intégrale de la courbure moyenne des f_{n}(S) est uniformément majorée.

Alors il existe une sous-suite convergeant C^{∞} sur tout compact vers une immersion isométrique f_{0} de (S, g_{0}) dans (M, g).

preuve: Nos hypothèses et le théorème d’Ascoli nous permettent d’extraire une sous-suite de (f_{n}) convergeant C^{0} sur tout compact vers une application f_{0}. Notons cette sous-suite (f_{n}).

Soit O un ouvert suffisamment petit autour d’un point x. Nous sommes alors dans les hypothèses de la section 3.1. , avec O_{n} = O. En utilisant les mêmes notations qu’en 3.1. , construisons la suite h_{n} d’applications pseudo-holomorphes du disque dans E (cf 2.8. ). Par construction, h_{n}(D) = j^{1}f_{n}(O).

La proposition 3.3. nous permet d’extraire une sous-suite (h_{p_{n}}) convergeant vers h_{0}. De plus, h_{0}(∂D) est inclus dans la limite de Haussdorff des h_{p_{n}}(∂D), et en particulier

π_{S}(h_{0}(∂D)) ⊂ ∂O.

Dès lors, h_{0}(D) ne peut être inclus dans une surface de pli, puisque dans ce cas π_{S}(h_{0}(∂D)) est un arc géodésique. Nous sommes dans le premier cas de l’alternative de 3.3. et (f_{p_{n}}) converge donc C^{∞} sur un voisinage de x vers f_{0}.

5 Voisinage et contrôle de l’intégrale de la courbure moyenne

Dans les hypothèses 3.1., apparaissent des voisinages ayant de bonnes propriétés ((v),(vi)). nous allons montrer l’existence de tels voisinages. Notre but est de démontrer le lemme 5.6. Nous allons montrer également comment contrôler l’intégrale de la courbure moyenne (5.2.).

Avant cela quelques remarques.

5.1 Remarque et proposition. Soit U(r) le fibré unitaire de la boule B(r) de rayon \frac{r}{2} autour d’un point m de M, et S(r) la sphère de rayon r centrée sur ce même point. On considère alors l’application F de U(r) dans S(r) qui à un vecteur unitaire n associe l’intersection de la géodésique dans la direction n avec S(r) (figure 2).

Pour r suffisamment petit une telle application est bien définie. L’espace horizontal H_{n} du fibré tangent à U(r) en n s’identifie naturellement à T M. De même le fibré vertical V_{n} s’identifie avec un sous espace de T M.

Montrons

5.2 proposition. Pour r suffisamment petit, il existe une constante C_{0} telle que si

(u, v) ∈ T_{n}U(r) = H_{n} ⊕ V_{n}

avec ⟨u | n⟩ = 0 et ⟨u | v⟩ ≤ 0, nous avons

| DF (u, v) |^{2}≥ C_{0}(| v |^{2} + | u |^{2}).

preuve: C’est une propriété qui est invariante pour des petites pertubations de la métrique. Puisque l’on s’intéresse à r petit, il suffit de la prouver pour R^{3}. Dans ce cas elle est facile à vérifier.

5.3 Surface elliptique. Soit r tel qu’en 5.2. , S une surface ϵ-elliptique incluse dans B(r) et n son champ de vecteur normal. On considère alors l’application N = F ∘ n de S dans S(r), c’est à dire l’application qui à un point de S associe l’intersection de la géodésique partant dans la direction normale à avec S(r) (figure 3).

Figure 3

Nous allons montrer les propriétés suivantes de l’application N

5.4 propriétés. Il existe des constantes C_{1}, C_{2} et C_{3} indépendantes de S telles que

(i) | DN |≥ C_{1}, (ii) d_{1}(n(z), n(y)) ≥ C_{2}d(N(z), N(y)), où d_{1} est la métrique du fibré unitaire

de M et d celle de M, (iii) si N est injectif de O dans S(r), alors

∫_{O} Hdg ≤ C_{3},

ici H désigne la courbure moyenne et g la métrique de S.

preuve: Remarquons tout d’abord que la propriété (ii) est évidente, elle provient simplement de la continuité de F. Ensuite, on a

Dn(u) = (Df(u), ∇_{Df(u)}n),

la surface étant elliptique, nous avons

⟨Df(u) | ∇_{Df(u)}n⟩ = −II(u, u) ≤ 0.

Nous pouvons appliquer 5.2. , ce qui nous donne

(1).  | DN(u) |^{2}≥ C_{0}(| u |^{2} + | ∇_{u}n |^{2})

Ceci prouve (i). Montrons (iii). Soit K la courbure de Gauss de la surface, (*) nous donne alors qu’il existe une constante C telle que

(2)  ∫_{O} dg + ∫_{O} K^{2}dg ≤ C.

Nous savons que

(3)  \frac{H}{K} II(u, u) =| u |^{2} +\frac{1}{K} | ∇_{u}n |^{2} .

Or, l’aire de la métrique \frac{H}{K} II est l’intégrale de la courbure moyenne. De (1),(2) et (3) on en déduit bien (iii).

5.5 Bon voisinage. Ces propriétés vont nous permettre de démontrer le

5.6 lemme. Soit f une immersion isométrique ϵ-elliptique d’une surface (S, g_{0}) dans une variété (M, g) de dimension 3, et x un point de S. Il existe alors un voisinage O de x, homéomorphe au disque et tel que

(i) ∫_{O} Hdg_{0} ≤ A, (ii) d(j^{1}f(x), j^{1}f(∂O)) ≥ B,

où A et B ne dépendent que de g, g_{0}, x et f(x).

preuve: Soit en effet r suffisamment petit pour que les propriétés précédentes soient vraies autour de f(x). Soit D(α) le disque de rayon α autour de N(f(x)) dans S(r) avec

α = \frac{inf(r, d_{0}(x, ∂S))}{4C_{1}},

ici d_{0} désigne la distance de S. Le voisinage que nous cherchons est O, la composante connexe de x dans N^{−1}{D(α)}.

En effet d’après 5.4. (i), N est étale de O dans D(α). De plus d’après cette même propriété et le choix de α elle est surjective. N est donc un difféomorphisme et O est difféomorphe au disque.

D’après 5.4. (iii), (i) est vérifiée. Enfin N envoyant ∂O dans ∂D(α), 5.4. (ii) nous donne (ii)

6 Preuve du théorème E Donnons son énoncé complet:

Théorème E. Soit (f_{n}) une suite d’immersions ϵ-elliptiques d’une surface S dans (M, g), convergeant C^{0} vers f_{0}, et telle que les métriques induites g_{n} = f_{n}^{∗}g convergent C^{∞} vers g_{0}.

On suppose que la suite (f_{n}) ne converge pas C^{∞} au voisinage d’un point x de S. Il existe alors une géodésique pour g_{0}, γ, passant par x et telle que

(i) f_{0} est une isométrie de γ dans une géodésique de M.

De plus (ii) une telle géodésique est unique, (iii) si (x_{n}) converge vers un point de γ, et si c_{n} est la courbe intégrale, passant

par x_{n}, de la direction principale associée à la plus petite valeur propre de la deuxième forme fondamentale de f_{n}, alors (c_{n}) converge vers γ. De même Γ est la limite de (f_{n}(c_{n})),

(iv) si (u_{n}) est une suite de vecteurs tangents tendant vers un vecteur u tangent à la géodésique γ, alors Df_{n}(u_{n}) tend vers Df_{0}(u). Réciproquement l’existence d’une géodésique vérifiant (i) entraîne que (f_{n})

ne converge pas C^{∞} au voisinage de x. En particulier, (f_{n}) ne converge C^{∞} au voisinage d’aucun point de γ.

6.1 Applications contractantes. La seule chose que nous sachions pour le moment sur f_{0} est qu’elle est contractante de (S, g_{0}) dans (M, g). Nous allons avoir besoin de la

6.2 propriété. Soit f_{0} une application contractante d’une surface S dans une variété M. On suppose qu’il existe deux arcs géodésiques γ_{1} et γ_{2} de S se coupant en un point x, et envoyés isométriquement par f_{0} sur deux arcs géodésiques, alors

(i) l’angle des géodésiques f_{0}(γ_{i}) est égal à l’angle des géodésiques γ_{i}.

(ii) la courbure de S en x est inférieure ou égale à la courbure sectionelle k du plan de T_{f_{0}(x)}M engendré par les f_{0}(γ_{i}).

preuve: On notera dans cette démonstration d_{s} la distance de S, et d_{m} celle de M. le fait que f_{0} soit contractante se traduit par:

d_{m}(f_{0}(x), f_{0}(y)) ≤ d_{s}(x, y)·

Prouvons (i):

Soient donc γ_{i} deux géodésiques comme dans l’énoncé, se coupant en un point x. On paramétrise ces deux géodésiques par l’arc en mettant l’origine en x. Les deux courbes Γ_{i} = f_{0}(γ_{i}) sont alors des géodésiques paramétrées par l’arc d’après les hypothèses. Soit α l’angle en x entre les géodésique γ_{i} et β l’angle entre les géodésiques Γ_{i}. Pour tout λ et t de R:

d_{s}^{2}(γ_{1}(t), γ_{2}(λt)) = t^{2}(1 + λ^{2} − 2λ cos α) + o(t^{2}),

ainsi que

d_{m}^{2}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(λt)) = t^{2}(1 + λ^{2} − 2λ cos β) + o(t^{2}),

Le fait que f_{0} est contractante nous permet d’écrire:

d_{s}^{2}(γ_{1}(t), γ_{2}(λt)) ≥ d_{m}^{2}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(λt)),

en divisant par t^{2} et en faisant tendre t vers 0, on a:

−2λ cos α ≥ −2λ cos β

Ceci étant vrai pour tout λ, nous avons bien:

α = β·

Montrons (ii)

Remarquons tout d’abord que d’après ce qui précède l’angle entre les γ_{i} et les Γ_{i} = f_{0}(γ_{i}) est le même.

Munissons alors un voisinage de 0 dans l’espace tangent en x de la métrique d_{1} induite par l’exponentielle, et de la métrique d_{2} à courbure constante k en coordonnées normales.

Soit u_{1} et u_{2} les vecteurs tangents aux géodésiques γ_{i}. Ces géodésiques et leurs images ayant le même angle,

d_{1}(tu_{1}, tu_{2}) = d_{s}(γ_{1}(t), γ_{2}(t))

d_{2}(tu_{1}, tu_{2}) = d_{m}(Γ_{1}(t), Γ_{2}(t)) + O(t^{4}) = d_{m}(f_{0}(γ_{1}(t)), f_{0}(γ_{2}(t))) + O(t^{4})

Maintenant f_{0} étant contractante, la comparaison à l’ordre 3 des métriques nous donne l’inégalité voulue.

6.3 Preuve du théorème E. Soit x un point de S au voisinage duquel (f_{n}) ne converge pas C^{∞}. Montrons

6.4 lemme. Il existe un arc géodésique γ passant par x telle que (i) f_{0} est une isométrie de γ sur une géodésique Γ de M, (ii) d(x, ∂γ) ≥ α(x) où α(x) est une fonction continue positive sur S, (iii) les 2-plans tangents à Γ en f_{0}(x) ont une courbure inférieure ou égale à

k_{0}(x) − ϵ où k_{0} désigne la courbure de g_{0}, (iv) enfin si γ_{1} est un autre arc géodésique, passant par x, envoyé isomét-

riquement par f_{0} sur une géodésique de M, γ_{1} est tangent à γ.

preuve: Soit donc O_{n}(x) le voisinage de x homéomorphe au disque défini pour tout n à l’aide de 5.6. et qui vérifie

(a) ∫_{O_{n}} Hdg_{n} ≤ A,

(b) d(j^{1}f_{n}(x), j^{1}f_{n}(∂O_{n})) ≥ B, où A et B ne dépendent que de g, g_{n}, x et f_{n}(x). D’après le théorème D, il existe une sous-suite p_{n} telle que

(∗)  lim(d_{n}(x, ∂O_{p_{n}}) = 0

On considère la suite (h_{p_{n}}) d’applications pseudo-holomorphes du disque dans E associée par 3.1.. On peut alors, grâce à 3.3., extraire une sous-suite convergente vers une immersion pseudo-holomorphe h_{0}. A cause de (*), nous sommes dans le deuxième cas de l’alternative de la proposition. h_{0}(D) est donc inclus dans une surface de pli F (γ, Γ), f_{0} envoyant isométriquement γ sur Γ. Nous venons de vérifier (i) et (ii).

Remarquons que ceci entraîne que (f_{n}) ne converge C^{∞} au voisinage de x pour aucune sous-suite.

Montrons (iii). On considère l’ensemble A, des 2-plans P tangents à Γ en f_{0}(x), pour lesquels il existe une suite de points (x_{p_{n}}) tendant vers x et tels que

P = lim(Df_{p_{n}}(T_{x_{pn}} S)).

Un tel ensemble est clairement fermé. Montrons qu’il est ouvert. Soit P un plan de A, et (x_{p_{n}}) la suite de points associée. On construit alors une suite de voisinages de ces points à l’aide de 5.6., qui vérifie les hypothèses 3.1.. A nouveau, (*) va être vérifiée (en remplaçant x par x_{p_{n}}). Soit alors h′_{0} l’immersion pseudoholomorphe du disque à nouveau obtenue à l’aide de 3.3.. De nouveau, à cause de (*), h′_{0}(D) est inclus dans une surface de pli. Puisque h′_{0} est une immersion, h′_{0}(D) est ouvert dans cette surface de pli et en particulier les plans proches de P sont atteints. Ceci montre que A est ouvert.

A est donc ouvert et fermé et contient donc tous les plans tangents à Γ. Or tous les plans de A vérifient la condition requise.

Enfin (iv) est une conséquence de (iii) et de 6.2..

6.5 lemme. Il existe un unique arc géodésique γ passant par x telle que f_{0} est une isométrie de γ sur une géodésique de M de plus

(i) d(x, ∂γ) ≥ α(x)

(ii) si (x_{n}) converge vers x et si c_{n} est la courbe intégrale, passant par x_{n}, de la direction principale associée à la plus petite valeur propre de la deuxième forme fondamentale de f_{n}, alors c_{n} converge vers γ. De même Γ est la limite des fn(c_{n}),

(iii) enfin si (u_{n}) est une suite de vecteurs tangents convergeant vers un vecteur u_{0} tangent à γ, alors (Df_{n}(u_{n})) converge vers Df_{0}(u_{0})

preuve: Nous venons de montrer la première partie, montrons (ii) et (iii). Remarquons, à nouveau, que l’existence d’un arc γ entraîne que f_{n} ne converge C^{∞} sur aucune sous-suite. Soit maintenant O_{n} la suite de voisinage défini en 5.6., associée à x_{n} et f_{n}. Soit alors h_{0} l’immersion pseudo-holomorphe du disque obtenue grâce à 3.3.. Nous sommes nécessairement dans le deuxième cas de l’alternative et donc h_{0}(D) est inclus dans F (γ, f_{0}(γ)) par unicité de γ. Ceci, (i) et (ii) de 3.3. entraînent notre résultat. .

Cette proposition est la version locale de notre théorème. Pour terminer il suffit de remarquer que (f_{n}) ne converge C^{∞} au voisinage d’aucun point de notre arc géodésique γ et de d’utiliser un argument de connexité usant de l’unicité de γ.

7 Preuve des théorèmes de Pogorelov

7.1 Rigidité infinitésimale. Soit S une surface immergée dans une variété riemannienne M de dimension 3. Un champ, v, de déformation isométrique infinitésimale est un champ le long de S qui vérifie, pour tout u vecteur tangent de T S,

(1)  ⟨∇_{u}v | u⟩ = 0

où ∇ est la connexion de Levi-Civita de M. Une surface infinitésimalement rigide est une surface telle que tout champ de déformation infinitésimale isométrique (vérifiant éventuellement des conditions de normalisations, voir ci dessous) est nul.

On peut imposer les conditions de normalisation suivantes.

Une surface est ancrée en un point si l’on impose que tout champ de déformation v isométrique est nul en ce point.

Une surface est ancrée en un point et une direction u si l’on impose de plus que ∇_{u}v = 0.

Une surface est ancrée en un point et son espace tangent si elle est ancrée en ce point et dans toutes les directions.

Enonçons le théorème de rigidité infinitésimale de Pogorelov.

Théorème C. (Pogorelov) une surface fermée localement convexe S d’une variété M de dimension 3 est infinitésimalement rigide dans les cas suivants

(i) S est homéomorphe à la sphère et ancrée en un point et son espace tangent, (ii) S est homéomorphe au projectif et ancrèe en un point et une direction, (iii) S est homéomorphe au tore ou à la bouteille de Klein et ancrèe en un

point, (iv) la caractéristique d’Euler de S est négative.

Dans son énoncé original (voir [Po] pp 424-434), Pogorelov se restreint au cas orientable. Son résultat se généralise aisément au cas non orientable en passant au revêtement des orientations sauf, semble-t-il, pour le cas du projectif. Nous allons donner une preuve extrêmement rapide et élémentaire de ce résultat.

preuve: On se ramène au cas où S est orientable en utilisant éventuellement son revêtement des orientations.

Soit n le champ de vecteur normal et v un champ de déformation isométrique, décomposons v en sa partie tangentielle et sa partie normale, soit

v = x + an.

Soit maintenant ¯∇ la connexion de Levi-Civita de S pour la métrique induite de celle de M et II la deuxième forme fondamentale, l’équation (1) se traduit par

(2)  ⟨ ¯∇_{u}x | u⟩ = aII(u, u).

En particulier, pour montrer que v est nul, il suffit de montrer que x est nul.

Soit maintenant J, la structure complexe définie par la deuxième forme fondamentale, qui, d’après nos hypothèses, est une métrique et soit J^{∗} sa transposée pour la métrique initiale. Utilisant (2), il est alors facile de montrer que pour tout u de T S

(3)  J^{∗} ¯∇_{u}x + ¯∇_{Ju}x = 0.

Cette équation nous dit que si l’on munit T S de la structure presque complexe donnée par J sur l’espace horizontal et −J^{∗} sur l’espace vertical, x(S) est une courbe pseudo-holomorphe. Remarquons que la section nulle nous fournit également une courbe pseudo-holomorphe et que

(4)  χ(S) = I(x, 0),

où χ(S) désigne la caractéristique d’Euler de la surface et I(x, 0), l’indice d’intersection de x et de la section nulle.

Par ailleurs ([G1], [B]), la remarque fondamentale de Lefschetz nous dit que, en dimension 4, l’indice d’intersection en un point de deux courbes pseudoholomorphes distinctes est positif et supérieur à l’ordre de contact en ce point. Ceci nous donne immédiatement (iv). Pour conclure dans les autres cas, il nous suffit de calculer l’ordre de contact imposé par nos conditions de normalisation et de reporter dans (4).

-Ancrer une surface en un point entraîne bien évidemment un ordre de contact supérieur ou égal à 1, ce qui démontre (iii).

-Si l’on ancre une surface en un point s et une direction u, on a

(5)  \begin{matrix}x(s) = 0, a(s) = 0, \\ ¯∇_{u}x = 0, da(u) = 0 \end{matrix}

Par ailleurs (3) entraîne que ¯∇_{Ju}x = 0. En particulier l’ordre de contact est supérieur ou égal à 2. Ceci donne (ii).

-Enfin ancrer une surface en un point et son espace tangent entraîne que (5) est vérifiée pour tout u. Si l’on dérive maintenant (2) par rapport à un vecteur u′, on obtient en x et pour tout champ de vecteur u.

⟨ ¯∇_{u′} ¯∇_{u}x | u⟩ = 0.

Comme par ailleurs d’après (5)

¯∇_{u′} ¯∇_{u}x = ¯∇_{u} ¯∇_{u′}x,

on en déduit aisément pour tout u et u′ de T S,

¯∇_{u′} ¯∇_{u}x = 0.

L’ordre de contact est donc supérieur ou égal à 3. Ceci donne (i).

7.2 Existence d’immersions isométriques. Nous allons donner une preuve du théorème suivant ([Po] p 413).

Théorème B. (Pogorelov) Soit M une variété de dimension 3, à courbure sectionelle inférieure où égale à K_{0} et m un point de M. Soit S une surface orientée homéomorphe à la sphère et à courbure supérieure strictement à K_{0}, s un point de S et I une isométrie de T_{s}S dans T_{m}M. Il existe alors une unique immersion isométrique qui respecte l’orientation de S dans M telle que f(s) = m et D_{s}f = I

Par immersion isométrique (ici nécessairement elliptique) qui respecte l’orientation, nous entendons que le vecteur normal induit par l’orientation engendre une deuxième forme fondamentale positive.

Le schéma de la démonstration est celui, classique dans ce genre de problèmes, des démonstrations des théorèmes du même ordre par Nirenberg [N], Aleksandrov ([Po] p 21) et Pogorelov ([Po] p 413).

On se donne donc

- une surface S orientée homéomorphe à la sphère, et un point s de S,

- une variété riemannienne (M, g) de dimension 3,

On considère alors l’espace F, constitué des immersions f de S dans M telles que

- la métrique induite f^{∗}g est à courbure supérieure strictement à K_{0},

- f respecte l’orientation.

On considère l’espace G, constitué des métriques sur S à courbure supérieure strictement supérieure à K_{0} et l’espace H constitué des couples (g_{0}, I), où g_{0} est un point de G et I est une isométrie de (T_{s}S, g_{0}) dans T M.

Nous allons étudier l’opérateur P de F dans H qui, à une immersion, associe la métrique induite et le 1-jet de l’immersion en s:

P (f) = (f^{∗}g, j^{1}f(s)).

Plus précisemment, nous allons montrer que P est un homéomorphisme. Pour cela, il nous suffit de montrer que

1. H est connexe,

2. P est un homéomorphisme local, 3. P est propre,

4. P est injectif.

Pour montrer 1, il suffit de montrer que G est connexe. Ceci est classique, nous pouvons renvoyer à par exemple à [G2] p 289.

7.3 Preuve de 2. Nous allons raisonner de la même manière que [H] en utilisant la catégorie des bons espaces de Fréchet qui y est développée, et à laquelle appartiennent F,G et P.

L’espace tangent à F en f est l’espace des champs de vecteur v le long de f(S). L’espace tangent à H en (g_{0}, I) où I est une isométrie de (T_{s}S, g_{0}) dans (T_{m}M, g), s’identifie à l’espace des triplets

(h, v_{0}, A),

où h est une deux-forme symétrique le long de S, v_{0} un vecteur de T_{m}M et A un endomorphiseme de T_{s}S dans T_{m}M vérifiant

∀w ∈ T_{s}S, g(I(w), A(w)) = h(w, w).

Le linéarisé de P en un point f est l’opérateur DP = (D^{1}P, D^{2}P, D^{3}P) où les D^{i}P (v) sont donnés par

(6)  \begin{aligned}g_{0}(DP^{1}(v)(w), w) & = g(∇_{f_{∗}w}v, f_{∗}w) \\ D^{2}P (v) & = v(s) \\ D^{3}P (v)(w) & = ∇_{w}v(s). \end{aligned}

Nous allons chercher à inverser DP en f. Pour simplifier, on identifie S et son image par f. On se donne donc (h, v_{0}, A) un vecteur de T H, et l’on cherche un champ de vecteur v le long de f(S) vérifiant

(7)  \begin{aligned}g(∇_{w}v, w) & = h(w, w) \\ v(s) & = v_{0} \\ ∇_{w}v(s) & = A(w). \end{aligned}

Reécrivons (7) et, pour cela, décomposons, comme dans la démonstration du théorème précédent, v en sa partie normale et sa partie tangentielle, soit

v = x + an.

Nous allons séparer les variables x et a et écrire tout d’abord un système d’équations uniquement en x. Nous obtenons tout d’abord avec les mêmes notations que dans la démonstration du théorème précédent:

(8)  h(w, w) = g_{0}( ¯∇_{w}x, w) + aII(w, w).

Ceci nous donne de la même manière qu’en (3)

(9)  J^{∗}h(w) + h(Jw) = J^{∗} ¯∇_{u}x + ¯∇_{Ju}x = L(x).

De plus, en utilisant (7) et en dérivant (8), on s’aperçoit que le 2-jet de x en s est imposé par v_{0}, A et le 1-jet de h en s. Par ailleurs, l’opérateur L est clairement elliptique et, étant homotope au ¯∂ de S^{2}, son indice est 6. De plus, nous avons vu au cours de la démonstration du théorème précédent que la dimension du noyau est inférieure ou égale à 6. Celle ci est donc exactement 6. L’opérateur L′ qui associe à un champ de vecteur x, l’endomorphisme L(x) et le 2-jet de x en s est donc de noyau nul et surjectif.

Nous pouvons raisonner comme en [H] et inverser notre opérateur L′ qui est un bon opérateur, puisque obtenu à partir d’un opérateur elliptique. On résoud ensuite algébriquement (7) pour obtenir a. Nous obtenons ainsi une bonne famille d’opérateurs inversant DP. On conclut enfin à l’aide du théorème de Nash-Moser [H] .

Nous ne faisons ici que suivre servilement [H] p 238, où la démonstration est faite lorsque M est l’espace euclidien, et utiliser l’équation (3) de la démonstration du théorème C, qui nous simplifie la vie.

7.4 Preuve de 3. C’est surtout à cette partie de la démonstration de Pogorelov que nous avons apporté une amélioration. Nos résultats nous permettent d’éviter les longs calculs nécéssaires à l’obtention d’une majoration a-priori de la courbure moyenne [Po] pp 351-365 et 401-413. Nous utiliserons ici le théorème E. On se donne donc une famille d’immersions (f_{n}) de S dans M telle que, d’une part, (f_{n}(s)) converge et, d’autre part, les métriques induites sont à courbure strictement supérieure à K_{0} et convergent C^{∞} vers une métrique g_{0}. Nous voulons montrer qu’il existe une sous-suite C^{∞} convergente.

Nous pouvons, tout d’abord, à l’aide du théorème d’Ascoli, extraire de (f_{n}), une sous-suite convergeant C^{0} vers une application f_{0}, et notée de la même manière. Ensuite notre condition sur la courbure entraîne que

diam(f_{n}(S)) ≤ C_{0},

où C_{0} vaut +∞ si K_{0} est négatif, et \frac{2π}{\sqrt{K_{0}}} , si K_{0} est positif. Supposons maintenant que (f_{n}) ne converge pas C^{∞} au voisinage d’un point x de S et notons m = f_{0}(x). La surface S étant simplement connexe nous pouvons relever notre famille d’immersions f_{n} en des immersions f̄_{n} de S dans la boule B de rayon C_{0} de T_{m}M munie de la métrique induite par l’exponentielle.

On applique maintenant le théorème E à la famille f̄_{n}. D’après ce théorème, cette suite ne convergeant pas C^{∞}, il existe une géodésique γ pour g_{0}, envoyée isométriquement par f̄_{0} dans une géodésique γ de B. Nous aurions alors une géodésique complète de B passant par 0, or de telles géodésiques sont des droites, ce qui nous fournit la contradiction.

7.5 Preuve de 4. Ici nous allons grosso-modo suivre Pogorelov. Pour l’instant, nous avons montré que P est propre et un homéomorphisme local de F dans H. Montrons que P est injectif.

Premier cas. M est à courbure constante. On peut supposer que M est simplement connexe pour simplifier. On se fixe alors un vecteur u de T_{s}S, un point m de M, un plan P orienté de T_{m}M et un vecteur u′ de P. On considère ensuite F_{0} le sous-ensemble de F constitué des immersions f telles que

- f(s) = m,

- Df(s) envoie T_{s}S sur P en respectant l’orientation

- Df(u) est dans la direction de u′.

Ce que nous avons montré précédemment entraîne que l’opérateur, qui associe à un élement de F_{0}, la métrique induite, est propre et est un homéomorphisme local. Il nous faut montrer que cet opérateur est injectif. Pour cela, il nous suffit de remarquer que d’une part F_{0} est connexe, ce qui se démontre à l’aide de l’addition de Minkowski des convexes dans un modèle projectif de M, et d’autre part que G est contractile, pour ce point nous renvoyons toujours à [G2] p 289.

Deuxième cas. Soit donc f_{0} et f_{1} deux élements de F induisant la même métrique et ayant le même jet en s.

Soit x un point de M n’appartenant ni à f_{0}(S) ni à f_{1}(S). On pertube alors la métrique de M au voisinage de x de façon à ce qu’elle soit à courbure constante près de x et toujours à courbure inférieure à K_{0}. Nous avons montré que P était un revêtement, si maintenant nous prenons une métrique de très petit diamètre et des conditions initiales en x, une immersion isométrique associée est alors incluse dans un petit voisinage de x, en particulier d’après ce qui précède elle est unique. Ceci entraîne que P est un homéomorphisme et donc que f_{0} = f_{1}.

8 Preuve du théorème A Rappelons son énoncé,

Théorème A. Soit M une variété simplement connexe de dimension 3 à courbure sectionelle inférieure où égale à K_{0} et m un point de M. Soit U un domaine de R^{2} muni d’une métrique complète et à courbure supérieure strictement à K_{0}, s un point de S et I une isométrie de T_{s}S dans T_{m}M. Il existe alors un plongement propre isométrique qui respecte l’orientation de S dans M telle que f(s) = m et D_{s}f = I

Une telle immersion n’est pas nécessairement unique. Ce théorème généralise un théorème analogue obtenu lorsque M est à courbure constante (voir [Po] p 38).

preuve: Commençons par remarquer qu’il existe une suite U_{n} d’ouverts de S tels que

(i) U_{n} est inclus dans U_{n+1}, (ii) S est la réunion des U_{n}, (iii) chaque U_{n} se plonge isométriquement dans une 2-sphère S_{n} munie d’une

métrique à courbure supérieure à K_{0}.

En effet, d’après le théorème précedemment cité, S se plonge isométriquement dans l’espace M_{0} simplement connexe à courbure constante K_{0} comme le bord d’une surface convexe. Notons f ce plongement et B_{n} la boule de rayon \frac{1}{n} autour de f(s) dans M_{0}. Il est alors clair que les ouverts définis par U_{n} = f^{−1}(B_{n} ∩ f(S) vérifient les conditions exigées.

On utilise ensuite le théorème B pour plonger isométriquement S_{n} dans M avec les conditions requises en s. Remarquons que les images sont des bords de convexes. Notons f_{n} le plongement de U_{n} qui s’en déduit. Nous pouvons alors d’après le théorème d’Ascoli en extraire une sous-suite convergeant C^{0} sur tout compact vers une application f_{0}. Il nous reste alors simplement à montrer que (f_{n}) converge C^{∞} sur tout compact vers f_{0}, qui sera le plongement que nous cherchons.

Soit donc x un point de S, on considère alors la boule B de M de rayon r autour de f_{0}(x), où r est un réel vérifiant la proposition 5.2. On considère également b la boule de S de rayon \frac{1}{2} autour de x. Pour n suffisamment grand, f_{n}(b) est inclus dans B. De plus comme nous l’avons déjà remarqué f_{n}(b) est inclus dans le bord d’un convexe.

L’application N de f_{n}(b) dans le bord de B définie en 5.3. est alors clairement injective. La proposition 5.4. nous permet alors d’affirmer que l’intégrale de la courbure moyenne de f_{n}(b) est uniformément majorée. D’après le théorème D, (f_{n}) converge C^{∞} vers f_{0} au voisinage de x. C’est ce qu’il fallait démontrer.

[B] D.Bennequin, Problèmes elliptiques, surfaces de Riemann et structures symplectiques, Séminaire Bourbaki, exposé No 657 (Fevrier 1986)

[G1] M.Gromov, Pseudo-holomorphic curves on almost complex manifold, Invent. Math. 82, (1985), pp. 307-347

[G2] M.Gromov, Partial differential relations , Springer-Verlag, Berlin (1986)

[H] R.S.Hamilton, The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull A.M.S. (New series), vol 7, No 1 (1982), pp. 65-222

[L] F.Labourie, Limite d’hypersurfaces localement convexes, Inventiones Math., a paraître

[N] L.Nirenberg, The Weyl and Minkowski problem in differential geometry in the large, Comm. Pure Appl. Math., vol 6, No 3 (1953), pp. 337-394.

[P] P.Pansu, Notes sur la démonstration du théorème de compacité des courbes cusps de Gromov, preprint, à paraître

[Po] A.V.Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, Israel program for scientific translation, Jerusalem (1973).

[S] M.Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry , Publish or Perish, Boston (1975).

François Labourie Equipe de Topologie et Dynamique Université Paris-Sud F-91405 Orsay URA 1169 du C.N.R.S.