Sur les espaces homogènes modèles de variétés compactes

Yves Benoist François Labourie

0. Introduction Nous nous intéressons dans cet article aux deux questions suivantes : quels sont les

espaces homogènes qui peuvent servir de modèles pour des variétés compactes ? quels sont ceux qui admettent des quotients compacts ? Précisons tout d’abord nos définitions.

0.1 Définitions

Soit G un groupe de Lie réel agissant effectivement et transitivement sur une variété V = G/H. Une variété M est modelée sur G/H, ou encore admet une (G, G/H) structure si il existe un atlas à valeurs dans G/H dont les changements de cartes sont dans G, c’est à dire une famille (U_{i}, f_{i}, g_{ij}) où (U_{i}) est une famille d’ouverts recouvrant M, f_{i} des difféomorphismes des U_{i} dans des ouverts de G/H, et g_{ij} des éléments de G tels que sur U_{i} ∩ U_{j} on ait f_{i} = g_{ij} ∘ f_{j}.

Si on choisit un point de M, on montre aisément que cette donnée est équivalente à la donnée d’une paire (f, ρ) où f est un difféomorphisme local d’un revêtement galoisien de M dans G/H, appelée développement, et ρ une représentation du groupe fondamental Γ dans G, appelée représentation d’holonomie, telles que pour tout γ de Γ on ait f ∘ γ = ρ(γ) ∘ f.

Nous dirons encore que G/H admet un quotient compact s’il existe un sous-goupe discret Γ de G agissant proprement discontinuement sans point fixe sur G/H et tel que le quotient Γ \ G/H soit compact, autrement dit s’il existe un développement qui est un difféomorphisme.

0.2 Dans le cas où G est semi-simple et de type non compact, voici quelques exemples de variétés compactes modelées sur G/H, ou de quotients compacts.

(i) H est cocompact. En dehors des cas triviaux, rappelons que les surfaces de genre plus grand que 2 peuvent être munies de (P SL(3, R), RP^{2}) ou de (P SL(2, C), CP^{1}) structures.

(ii) H est compact ([Bo]) (iii) On peut remarquer ([Ku]) que SU(1, n)/SU(n) = SO(2, 2n)/SO(1, 2n) en identifiant

C^{n} avec R^{2n}. En particulier, un réseau Γ de SU(1, n) fournira un quotient compact de SO(2, 2n)/SO(1, 2n), réseau que l’on peut ensuite déformer dans le cas de SO(2, 2) ([Go]).

0.3 Nos résultats exhibent une obstruction à l’existence de variétés compactes modelées sur G/H.

Théorème 1. Soient G un groupe de Lie connexe semi-simple réel et H un sous-groupe unimodulaire connexe.

S’il existe une variété compacte modelée sur G/H, alors l’algèbre de Lie du centre de H ne contient pas d’éléments hyperboliques.

En particulier,

Corollaire 1. Soient G un groupe de Lie algébrique semi-simple réel et H un sous-groupe algébrique et réductif.

S’il existe une variété compacte modelée sur G/H, alors le centre de H est compact.

Remarque : “réductif” signifie que l’action adjointe de H dans l’algèbre de Lie de G est semi-simple.

Lorsque l’on demande un peu plus à l’application développement, on obtient des résultats plus précis.

Corollaire 2. Soient G un groupe de Lie connexe semi-simple réel à centre fini et H un sous-groupe unimodulaire connexe.

S’il existe une variété compacte modelée sur G/H telle que le développement soit à fibre finie, alors les eléments semi-simple s du centre de H sont tous elliptiques.

A fibre finie signifie qu’il existe N tel que le cardinal de l’image inverse de tout point est majoré par N, ce qui est en particulier le cas pour les quotients compacts.

Corollaire 3. Soient G un groupe de Lie connexe semi-simple réel à centre fini et H un sous-groupe réductif connexe.

Si G/H admet un quotient compact, alors le centre de H est compact.

Il existe d’autres conditions nécessaires d’existence de quotients compacts Γ \ G/H basées

- d’une part sur la notion de dimension cohomologique de Γ ([Ko1 et 2])

- d’autre part sur le principe de proportionalité de Hirzebruch ([K-O])

L’outil central de la démonstration est l’étude des fibrés en droite G-équivariants sur G/H munis d’une connexion G-invariante.

0.4 La remarque initiale de ce travail est la suivante : si X est un sous-groupe à un paramètre de G engendré par un élément hyperbolique et si G_{X} est le centralisateur de X alors X determine un fibré en droite muni d’une connexion sur G/G_{X} dont la courbure est une forme symplectique. Par ailleurs une forme courbure d’un fibré en droite est exacte (c’est la différentielle d’une forme de connexion), on en déduit qu’aucune variété compacte ne peut être modelée sur G/G_{X}. En effet, la forme volume obtenue en prenant une puissance de la forme symplectique serait également exacte ce qui est interdit

Dans le cas général, c’est à dire H ⊂ G_{X}, il nous faut affiner cette technique. Nous cherchons à nouveau à montrer que la forme volume est cohomologiquement triviale en utilisant des fibrés en droites. Cette fois-ci toute une famille de tels fibrés apparait correspondant aux éléments hyperboliques du centralisateur de H , á chaque fibré nous associons une forme volume et nous montrons que pour un bon choix de fibré cette forme volume est triviale.

Dans la première partie, on étudie une certaine application φ définie sur l’ensemble des éléments semi-simples d’une algèbre de Lie semi-simple, dont les propriétés sont cruciales.

La démonstration des résultats est donnée dans la deuxième partie.

Il serait sans doute plus logique de commencer la lecture de cet article par cette dernière partie.

0.5 Dans toute la suite, les groupes seront supposés connexes. En fait, il suffit de supposer qu’ils ont un nombre fini de composantes connexes.

Cet article trouve son origine dans un travail commun avec Patrick Foulon que nous remercions ici.

1. Une application entre éléments semi-simples.

Nous allons décrire une application φ qui envoie l’ensemble des éléments hyperboliques du centralisateur de H dans lui-même. Le résultat important est la proposition 2.2 qui prouve que φ y est surjective.

1.1 Soit G une algèbre de Lie semi-simple réelle et. ⟨ , ⟩ sa forme de Killing. Pour tout élément semi-simple X de G, on note

G^{X} = {Y ∈ G/[X, Y] = 0} le centralisateur de X,

z^{X} = {Z ∈ G/∀Y ∈ G^{X}, [Z, Y] = 0} le centre de G^{X} (tous les éléments de z^{X} sont semi-simples cf [He] IX proposition 4.6),

W^{X} = [X, G] et ω^{X} la forme bilinéaire sur G définie par ω^{X}(Y, Z) = ⟨X, [Y, Z]⟩. La restriction de ω^{X} à W^{X} est non dégénérée. Soient (Y_{i})_{i=1,···,2d} une base de W^{X} et (Z_{i})_{i=1,···,2d} la base duale pour ω^{X} : c’est à dire telle que pour tout i, j, on a ω^{X}(Y_{i}, Z_{j}) = δ_{ij}.

Définition : On pose φ(X) = ∑_{i=1}^{2d}[Y_{i}, Z_{i}]

Lemme. L’application φ vérifie les propriétés suivantes :

a) φ(X) ne dépend pas du choix de la base (Y_{i})_{i=1,···,2d}.

b) Si σ est un automorphisme de G, alors φ(σ(X)) = σ(φ(X)).

c) φ(z^{X}) ⊂ z^{X}. En particulier φ(X) est semi-simple.

d) Si X est hyperbolique, alors φ(X) l’est aussi.

Preuve : a) et b) sont clairs.

c) se déduit de b) en prenant pour σ les éléments du groupe adjoint qui centralisent X.

d) se déduit de b) en prenant pour σ une involution de Cartan telle que σ(X) = −X, une telle involution existe cf [He] IX théorème 7.2.

2.2. Fixons un élément hyperbolique X_{0} de G. Notons

A = {X ∈ z^{X_{0}}/X est hyperbolique}

et

A_{reg} = {X ∈ A/G^{X} = G^{X_{0}}}.

Ce dernier ensemble est un ouvert de Zariski de A qui contient X_{0}. On a vu que φ(A) ⊂ A. En fait, φ_{|A} est surjective : c’est une conséquence immédiate de la proposition suivante (en l’appliquant à tout X de A) qui est le résultat crucial de cette partie.

Proposition 1.2. L’élément X_{0} appartient à φ(A_{reg})

Remarque : Nous montrerons l’inclusion A_{reg} ⊂ φ(A_{reg}) et verrons que, en général, φ n’est ni continue, ni injective et que φ(A_{reg}) n’est pas inclus dans A_{reg}. La fin de cette partie est consacrée à la démonstration de la proposition.

1.3 Pour α dans A^{∗}, on note H_{α} l’élément de A tel que, pour tout X dans A, α(H) = ⟨H_{α}, X⟩ ; on note G^{α} = {Y ∈ G/∀X ∈ A [X, Y] = α(X)Y } l’espace de poids α et m_{α} = dim G^{α}.

Soit R = {α ∈ A^{∗} \ {0}/G^{α} ≠ 0}. On a l’égalité A_{reg} = {X ∈ A/∀α ∈ R α(X) ≠ 0}

Lemme. Pour tout X dans A_{reg}, on a

φ(X) = ∑_{α∈R} m_{α} \frac{H_{α}}{⟨H_{α}, X⟩}.

Preuve : Soit {Y_{i}^{α}} une base de G^{α} et {Z_{i}^{α}} la base de G^{−α} duale pour ω^{X}. On a l’égalité

1 = ω^{X}(Y_{i}^{α}, Z_{i}^{α}) = α(X)⟨Y_{i}^{α}, Z_{i}^{α}⟩ .

Donc, pour tout β dans A^{∗}, on a

β([Y_{i}^{α}, Z_{i}^{α}]) = ⟨[H_{β}, Y_{i}^{α}], Z_{i}^{α}⟩ = α(H_{β})⟨Y_{i}^{α}, Z_{i}^{α}⟩ = \frac{β(H_{α})}{⟨H_{α}, X⟩}.

Donc

β(φ(X)) = ∑_{α∈R} m_{α} \frac{β(H_{α})}{⟨H_{α}, X⟩}.

Ce qui prouve le lemme.

1.4 Soit R^{+} = {α ∈ R/α(X_{0}) > 0} et π l’ensemble des éléments de R^{+} qui ne peuvent pas s’écrire comme une somme de deux éléments de R^{+}.

Lemme. π est une base de A^{∗} et tout élément de R^{+} est une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs d’éléments de π.

Preuve : C’est classique. Soit A_{0} un sous espace de Cartan de G contenant A , r : A_{0}^{∗} → A^{∗} la projection naturelle, Σ ⊂ A_{0}^{∗} le système des racines restreintes, B une base de Σ telle que r(B) ⊂ R^{+} ∪ {0} et B_{0} = B ∩ Ker(r). Alors B_{0} est une base de Ker(r) car l’orthogonal de A dans A_{0} est un sous-espace de Cartan de l’algèbre de Lie semi-simple [G^{X_{0}}, G^{X_{0}}]. Donc π = r(B) \ {0} (cf [Wa] 1.2.4.).

Le lemme est alors une conséquence facile du cas particulier bien connu où A est un sous-espace de Cartan (cf [Wa] 1.1.3.) .

1.5 Soient C^{+} = {X ∈ A/∀α ∈ π α(X) > 0} et D^{+} le cône convexe ouvert engendré par (H_{α})_{α∈π}. On a X_{0} ∈ C^{+} et C^{+} ⊂ D^{+}, car, pour tout α, β distincts dans π, on a ⟨H_{α}, H_{β}⟩ ≤ 0 (cf [Bou] VI 1.5). Donc la proposition est une conséquence du

Lemme. φ(C^{+}) = D^{+}

Preuve : Soit π = {α_{1}, ⋯, α_{p}}. La base {H_{α_{1}} , H_{α_{p}}} de A et la base duale {H_{1}, , H_{p}} pour la forme de Killing permettent d’identifier D^{+} et C^{+} avec ]0, ∞[^{p}. Le lemme est alors un cas particulier du :

1.6. Lemme. Soit R^{+} une famille finie de vecteurs non nuls de R^{p}, contenant la base canonique {e_{1}, ⋯, e_{p}} de R^{p} et telle que, pour tout v = (v_{1}, ⋯, v_{p}) dans R^{+}, on a v_{i} ≥ 0. Soit m une fonction sur R^{+} à valeurs dans ]0, ∞[. Alors l’application

\begin{matrix}φ :]0, ∞[^{p} & →]0, ∞[^{p} \\ a = (a_{1}, ⋯, a_{p}) & ↦ ∑_{v∈R^{+}} m_{v} \frac{v}{∑_{1≤i≤p} v_{i}a_{i}} \end{matrix}

est surjective.

Remarque : on peut même montrer que cette application φ est injective.

Preuve : Soit I la bijection de ]0, ∞[^{p} dans lui même définie par

I((a_{1}, ⋯, a_{p})) = (1/a_{1}, ⋯, 1/a_{p}).

L’application φ ∘ I se prolonge continûment en une application ψ de [0, ∞[^{p} dans lui-même à laquelle on peut appliquer le lemme suivant :

1.7. Lemme. Soient C = [0, ∞[^{p} et, pour i = 1, ⋯, p,

C_{i} = {a = (a_{1}, ⋯, a_{p}) ∈ C/a_{i} = 0}.

Soit ψ une application continue de C dans lui-même, homogène (i.e. ψ(tx) = tψ(x) pour t > 0 et x dans C) telle que ψ(C_{i}) ⊂ C_{i}, pour i = 1, ⋯, p, et telle que ψ^{−1}(0) = 0. Alors ψ est surjective.

Preuve : Δ = C/_{{homothéties}} est un simplexe dont les faces sont les Δ_{i} = C_{i}/_{{homothéties}}. L’application ψ induit une application continue de Δ dans lui-même qui respecte les faces. Une telle application est surjective.

2. Démonstrations des résultats.

Le théorème principal est le théorème 1. Nous allons procéder à sa démonstration par étapes.

Précisons tout d’abord une notation. Supposons que V = G/H serve de modèle à une variété compacte M. Tout objet G-invariant de V donne naissance à un objet sur M. Ainsi si α est une forme G-invariante sur V, on notera α_{1} la forme à laquelle elle donne naissance sur M. De même, si (L, ∇) est un fibré en droite G-équivariant muni d’une connexion G-invariante on notera (L_{1}, ∇_{1}) le fibré qui s’en déduit sur M. Si ω est la courbure de (L, ∇), celle de (L_{1}, ∇_{1}) est ω_{1}.

2.1. Traitons tout d’abord le cas où H est la composante connexe G^{X} du centralisateur d’un élément hyperbolique X. Montrons en premier lieu la proposition :

Proposition. Il existe un R-fibré principal sur G/G^{X}, G-équivariant, muni d’une connexion également G-équivariante et dont la courbure est la forme (symplectique) ω^{X}. Nous noterons par la suite (L, ∇) un fibré vectoriel de rang 1 et sa connexion associés à ce fibré principal.

Preuve : Soient M l’orthogonal de X dans G^{X}, M le sous-groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie M ; il est fermé et G^{X} est isomorphe à M × R (cf [Wa] 1.2.4.) . Le fibré G/M ⟶ G/G^{X} est le R-fibré principal que nous recherchons. La 1-forme duale de X par la forme de Killing sur G est par construction M-équivariante. Elle donne naissance à une 1-forme de connexion sur G/M dont la forme de courbure sur G/G^{X} est bien ω^{X}.

Nous pouvons maintenant conclure en remarquant que ω_{1} = ω_{1}^{X} est exacte : soient s une section nulle part nulle de L_{1} (en prenant éventuellement un revêtement à deux feuillets) et β_{1} la 1-forme de connexion définie par, pour tout vecteur tangent η sur M, ∇_{η}s = β_{1}(η).s. On a l’égalité ω_{1} = dβ_{1}. Ensuite, nous savons que ω_{1} est symplectique et nous obtenons la contradiction par un argument bien connu que nous rappelons. Si M est de dimension 2d, la forme ω_{1}^{∧d} est une forme volume, mais par ailleurs c’est la différentielle de la forme β_{1} ∧ ω_{1}^{∧d−1}.

2.2 Nous nous intéressons maintenant au cas général. Soit X un élément hyperbolique du centre de H, autrement dit tel que H ⊂ G^{X}. Nous obtenons donc ainsi une fibration

π : V = G/H ⟶ G/G^{X}.

En particulier d’une part V est feuilleté par les fibres de cette fibration qui s’identifient à G^{X}/H, d’autre part nous pouvons construire un fibré en droites G-équivariant muni d’ une connexion G-équivariante sur V en induisant celui sur G/G^{X} construit dans la section précédente.

Comme H et G^{X} sont unimodulaires, il existe une forme différentielle G-invariante μ sur V qui soit volume le long des orbites de G^{X}. On notera également ω la 2-forme induite sur V de la forme symplectique ω^{X} sur G/G^{X}.

Si l’on note 2d la dimension de G/G^{X}, la forme volume G-invariante de V = G/H est alors μ ∧ ω^{∧d}. Nous allons à nouveau essayer de montrer que cette forme est exacte. Pour cela, il nous faut tout d’abord le Lemme. On a l’égalité

dμ ∧ ω^{∧(d−1)} = i_{ξ}(μ ∧ ω^{∧d})

où ξ est le champ de vecteur G-invariant sur V dont la valeur au point base v_{0} est

ξ_{0} = (−1)^{d}.\frac{1}{2}φ(X) mod H.

Preuve :

Pour toute q-forme différentielle G-invariante ν sur V = G/H, sa valeur au point base v_{0} sera notée ν_{0} ∈ Λ^{q}((G/H)^{∗})^{H}. On a l’égalité ω_{0} = −ω^{X}.

Soient N^{±} = ⨁_{α∈R^{+}} G^{±α} et S un supplémentaire de H dans G_{0} : G_{0} = H ⊕ S. Soient (X_{1}, ⋯, X_{d}) une base de N^{+}, (Y_{1}, Y_{d}) la base de N^{−} duale pour ω^{X_{0}} et

(Z_{1}, ⋯, Z_{s}) une base de S. La famille (X_{1}, ⋯, X_{d}, Y_{1}, ⋯, Y_{d}, Z_{1}, ⋯, Z_{s}) définit une base de G/H, on note (X_{1}^{∗}, ⋯, X_{d}^{∗}, Y_{1}^{∗}, ⋯, Y_{d}^{∗}, Z_{1}^{∗}, ⋯, Z_{s}^{∗}) la base de (G/H)^{∗} duale. A une constante prés on peut choisir μ de façon à ce que μ_{0} = Z_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ Z_{s}^{∗}.

Ecrivons

[X_{i}, Y_{j}] = ∑_{k=1}^{s} a_{ij}^{k}Z_{k} mod (H ⊕ N^{+} ⊕ N^{−}).

Comme [G_{0} ⊕ N^{±}, N^{±}] ⊂ N^{±}, on a l’égalité

(dμ)_{0} = ∑_{i,j,k}(−1)^{k}a_{ij}^{k}X_{i}^{∗} ∧ Y_{j}^{∗} ∧ Z_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ Ẑ_{k}^{∗} ∧ ⋯ ∧ Z_{s}^{∗}.

Or ω_{0} = − ∑_{i=1}^{d} X_{i}^{∗} ∧ Y_{i}^{∗}. Donc

(dμ ∧ ω^{∧(d−1)})_{0} = ∑_{i,k}(−1)^{k+d−1}a_{ii}^{k}Z_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ Ẑ_{k}^{∗} ∧ ⋯ ∧ Z_{s}^{∗} ∧ X_{1}^{∗} ∧ Y_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ X_{d}^{∗} ∧ Y_{d}^{∗}.

= (−1)^{d}.\frac{1}{2}i_{φ(X)}(μ_{0} ∧ ω_{0}^{∧d})

Car [X_{i}, Y_{i}] = Σ_{k}a_{ii}^{k}Z_{k} mod H.

2.3 Fin de la démonstration du théorème 1.

On choisit, grâce à la proposition 1.2, l’élément X dans A_{reg} tel que φ(X) = X_{0}. On a alors ξ = 0 donc dμ ∧ ω^{∧(d−1)} = 0. On en déduit que la forme volume μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧d} sur M est exacte :

μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧d} = d(β_{1} ∧ μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧(d−1)}).

On a donc l’égalité

∫_{M} μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧(d−1)} = 0,

ce qui contredit le fait que μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧(d−1)} est une forme volume.

2.4 Corollaire 1.

Le corollaire 1 provient du fait que d’une part le centre d’un sous-groupe réductif est constitué uniquement d’éléments semi-simples, d’autre part un sous-groupe algébrique contient la partie hyperbolique et la partie elliptique de chacun de ses éléments.

2.5 Corollaire 2.

A nouveau choisissons un élément X_{0} semi-simple du centre de H tel que sa partie hyperbolique X_{h} soit non nulle. Soit par ailleurs X_{e} sa partie elliptique. On peut alors comme précédemment trouver un élément X hyperbolique tel que φ(X) = X_{h}. Avec les mêmes notations que précédemment, on obtient cette fois çi que

μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧d} = d(β_{1} ∧ μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧(d−1)}) + β_{1}(ξ_{1}) ∧ μ_{1} ∧ ω_{1}^{∧d},

où ξ_{0} = 1/2.(−1)^{(d−1)}X_{e} mod H. Remarquons maintenant, que X_{e} étant elliptique et G à centre fini le groupe à un paramètre engendré par X_{e} est compact. Puisque de plus, le développement est à fibre finie, l’action infinitésimale de X_{e} sur L_{1} s’intègre en l’action d’un cercle.

Nous pouvons maintenant choisir une section de L_{1} qui soit invariante par cette action. La connexion β_{1} associée va alors vérifier

β_{1}(ξ_{1}) = 0,

ce qui nous permet de conclure comme précédemment.

2.6 Corollaire 3.

Il suffit de remarquer à nouveau que le centre d’un sous-groupe réductif est constitué uniquement d’éléments semi-simples. On en déduit que tous les éléments de l’algèbre de lie du centre de H sont elliptiques. Enfin le centre d’un groupe réductif connexe a un nombre fini de composantes connexes.

2.7 Autres corollaires.

Donnons pour finir deux corollaires de cette méthode.

Corollaire 4. Soient G un groupe de Lie réel connexe, G son algèbre de Lie, f ∈ G^{∗}, Ω = G.f l’orbite coadjointe, G(f) le stabilisateur de f et G(f) son algèbre de Lie. On suppose que f n’est pas un caractère de G et qu’il existe un caractère χ de G(f) tel que dχ = f_{G(f)}.

Alors aucune variété compacte n’est modelée sur Ω.

Remarque : Lorsque G est semi-simple et f est nilpotent non nul, ces conditions sont vérifiées car f_{|G(f)} = 0.

Preuve : Soit (L, ∇) le fibré G équivariant sur Ω avec connexion G-invariante associée à f. Sa courbure ω est une 2-forme symplectique sur Ω ( cf [Ki] 15.2.). L’image ω_{1} de ω sur une variété compacte modelée est symplectique et exacte, ce qui est impossible.

Corollaire 5. Soient G un groupe de Lie semisimple réel connexe à centre fini, G son algèbre de Lie, X un élément de G et X = X_{e} + X_{h} + X_{n} la décomposition de X en composantes elliptique, hyperbolique et nilpotente. Si la G-variété G.X admet un quotient compact alors X_{h} = 0.

Remarque : Ceci précise un énoncé de [Ko2] (où on suppose X_{n} = 0). Preuve : Il suffit de remarquer que X_{h} est un élément hyperbolique du centre de G^{X} = {Y ∈ G/[Y, X] = 0}.

Bibliographie:

[Bo] A. Borel : Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology 2 (1963) p.111-122.

[Bou] N. Bourbaki: Groupes et Algèbres de Lie, Chapitres 4,5 et 6. Masson (1981)

[Go] W.M. Goldman : Non standard Lorentz space forms. Jour. Diff. Geom. 21 (1985) p.301-308.

[He] S. Helgason : Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press (1978).

[Ki] A. Kirillov : Eléments de la théorie des représentations. Mir (1974).

[Ko1] T. Kobayashi : Proper action on a homogeneous space of reductive type. Math. Ann. 285 (1989) p.249-263

[Ko2] T. Kobayashi : A necessary condition for the existence of a uniform lattice. Preprint.

[K-O] T. Kobayashi, K. Ono : Note on Hirzebruch’s proportionality principle. Jour. Fac. Sc. Univ. Tokyo 37 (1990) p.71-87.

[Ku] R.S. Kulkarni : Proper actions and pseudo-Riemannian space forms, Adv. in Math. 40 (1981) p.10-51.

[Wa] G. Warner : Harmonic Analysis on semi-simple Lie groups 1, Springer Verlag (1972).

Yves BENOIST Université Paris VII UFR de Mathématiques 75251 Paris UA 748 du CNRS François LABOURIE Ecole Polytechnique Centre de Mathématiques 91128 Palaiseau URA D 0169 du CNRS