Soit $a < b$. Si $f\in \mathcal C([a,b])$ est dérivable telle que
$$
f(a)=f(b)=0,
$$
alors, il existe $c\in ]a,b[$ tel que
$$
f'(c)=0.
$$
3 cas possibles
$\inf f=0=\sup f$
OK
$\inf f < 0$
OK
$0<\sup f$
OK
$\inf f=0=\sup f$
$f=0$
$f'=0$
$\inf f < 0$
$\exists c\in[a,b], f(c)=\inf f$
$c\in ]a,b[,$
$f'(c)=0$
$\sup f > 0$
$\exists c\in[a,b], f(c)=\sup f$
$c\in ]a,b[,$
$f'(c)=0$
Théorème des accroissements finis
Soit $a \lt b$. Si $f\in \mathcal C([a,b])$ est dérivable, il existe $c\in (a,b)$ tel que
$$
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$
Corollaire
Si $f$ est une fonction dérivable,
$f$ est croissante ssi $f'\geq 0$
$$
f'\geq 0 \Longrightarrow f \text{ croissante.}
$$
Soit $f$ dérivable telle que $f'\geq 0.$
Soit $b \gt a$, il existe $c\in (a,b)$ tel que
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
$$
D'après l'hypohèse, $f'(c) \geq 0$, d'où
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq 0.
$$
et comme $b-a \gt 0$,
$$
f(b)\geq f(a)
$$
$$
f\text{ croissante} \Longrightarrow f'\geq 0.
$$
Soit $f$ dérivable et croissante. Pour tout $c\in (a,b)$,
$$
f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(c)-f(x)}{c-x}.
$$
Comme $f$ est croissante, le taux d'accroissement est positif,
$$
\frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0.
$$
Donc
$$
f'(c)\geq 0.
$$
Théorème des accroissements finis généralisé
Soit $f$ et $g$ fonctions dérivables sur $[a,b]$,
il existe $c\in ]a,b[$ tel que
$$
(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).
$$
Application : Règle de l'Hôpital
Soit $f$ et $g$ fonctions dérivables sur $[a,b]$,
telles que
$f(a)=g(a)=0$
$g'$ ne s'annule pas sur $]a,b[$
Alors
$$
\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$