Pierre Jammes, « Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens », Ann. Inst. Fourier, 60 (1), p. 257-290, 2010, <doi:10.5802/aif.2522><pdf>.
Résumé :
On considère un flot riemannien F sur une variété
compacte M, et on étudie le comportement des premières valeurs propres
du laplacien agissant sur les formes différentielles lors
d'un effondrement adiabatique du flot. Le nombre de petites valeurs
propres peut alors se calculer en fonction de la cohomologie basique
de F, et on donne des critères spectraux pour l'annulation
des classes d'Álvarez et d'Euler du flot. En outre, on définit un
invariant de nature diophantienne du flot qui est lié au comportement
asymptotique des petites valeurs propres. Enfin, un appendice est
consacré aux propriétés arithmétiques des flots riemanniens.
Mots clefs :
flots riemanniens, effondrements, formes différentielles,
laplacien, petites valeurs propres, approximations diophantiennes.
Abstract:
Let F be a riemannian flow on a closed manifold M. We study
the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting
on differential forms under
adiabatic collapsing of the flow. We show that the number of small
eigenvalues is related to the basic cohomology of F, and
give spectral criteria for the vanishing of the Álvarez class
and the Euler class of the flow. We also define a diophantine
invariant of the flow which is related to the asymptotical behavior
of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic properties
of riemannian flows.
Keywords:
riemannian flows, collapsings, differential forms, Laplacian,
small eigenvalues, diophantine approximations.
MSC2000 : 58C40, 58J50, 53C12.