Pierre Jammes, « Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3 », Bull. Soc. math. France, 140 (2), p. 237-255, 2012, <pdf>.
Résumé :
Soit M une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de
diamètre d et de volume <V. Si on note µi(M)
la i-ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur
les 1-formes coexactes de M, on montre que µ1(M)>
c/(d3e2kd) et µk+1(M)>
c/d2, où c>0 est une constante ne dépendant que de
V, et k est le nombre de composantes connexes de la partie
mince de M. En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperblique
M0 de volume fini avec cusps, il existe une suite
Mi de variétés hyperboliques compactes, de diamètre
di telle que Mi tende vers
M0 et µ1(Mi)>
c/di2.
Mots clefs :
formes différentielles, laplacien de Hodge-de Rham,
variétés hyperboliques.
Abstract:
Let M be a compact hyperbolic 3-manifold of diameter d
and volume <V. If µi(M) denotes the i-th
eigenvalue of the Hodge Laplacian acting on coexact 1-forms coexactes of
M, we prove that µ1(M)>
c/(d3e2kd) and µk+1(M)>
c/d2, where c>0 depends only on V, and
k is the number of connected component of the thin part of M.
Moreover, we prove that for any finite volume hyperbolic 3-manifold
M0 with cusps, ther is a sequence
Mi of compact hyperbolic manifolds of diameter
di such that Mi tends to
M0 and µ1(Mi)>
c/di2.
Keywords:
differential forms, Hodge Laplacian, hyperbolic manifolds.
MSC2000 : 58J50.