Spectre et géométrie conforme des variétés compactes à bord


Pierre Jammes, « Spectre et géométrie conforme des variétés compactes à bord », Compos. Math., 150 (12), p. 2112-2126, 2014. [doi:10.1112/S0010437X14007696|pdf]

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Résumé : On montre que sur toute variété compacte Mn à bord, il existe une classe conforme C telle que pour toute métrique g∈C, λ1(M)Vol(M)2/n < nVol(Sn)2/n et σ1(M,g,ρ)μ(M)Vol(M)(2-n)/n < nVol(Sn)2/nλ1(M) désigne la première valeur propre du laplacien avec condition de Neumann, σ1(M,g,ρ) la première valeur propre de Steklov pour la densité ρ sur ∂ M et μ(∂M)=∫(∂M)ρ dvg. On montre aussi que le volume conforme de (M,C), l'invariant de Friedlander-Nadirashvili et le volume de Möbius de $M$ sont ceux de la sphère canonique. Si M est un domaine euclidien, hyperbolique ou sphérique, alors C est la classe conforme de la métrique canonique.
Mots clefs : première valeur propre de Neumann et de Steklov, volume conforme

Abstract: We prove that on any compact manifold Mn with boundary, there exist a conformal class C such that for any riemannian metric g∈C, λ1(M)Vol(M)2/n < nVol(Sn)2/n and σ1(M,g,ρ)μ(M)Vol(M)(2-n)/n < nVol(Sn)2/n where λ1(M) denotes the first positive eigenvalue of the Neumann laplacian on (M,g), σ1(M,g,ρ) the first positive Steklov eigenvalue for the density ρ on ∂ M, and μ(∂M)=∫(∂M)ρ dvg. We also prove that the conformal volume of (M,C) is Vol(Sn,gcan), and that the Friedlander-Nadirashvili and the Möbius volume of M are equal to those of the sphere. If M is a domain in a space form, C is the conformal class of the canonical metric.
Keywords: first Neumann and Steklov eigenvalues, conformal volume.

MSC2000 : 58J50, 35P15.


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