Pierre Jammes, « Spectre et géométrie conforme des variétés compactes à bord », Compos. Math., 150 (12), p. 2112-2126, 2014. [doi:10.1112/S0010437X14007696|pdf]
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Résumé :
On montre que sur toute variété compacte Mn à bord, il
existe une classe conforme C telle que pour toute métrique
g∈C, λ1(M)Vol(M)2/n
< nVol(Sn)2/n et
σ1(M,g,ρ)μ(M)Vol(M)(2-n)/n
< nVol(Sn)2/n
où λ1(M) désigne la première valeur propre du
laplacien avec condition de Neumann, σ1(M,g,ρ)
la première valeur propre de Steklov pour la densité ρ sur
∂ M et μ(∂M)=∫(∂M)ρ
dvg. On montre aussi que le volume conforme
de (M,C), l'invariant de Friedlander-Nadirashvili et le volume
de Möbius de $M$ sont ceux de la sphère canonique.
Si M est un domaine euclidien, hyperbolique ou sphérique, alors
C est la classe conforme de la métrique canonique.
Mots clefs :
première valeur propre de Neumann et de Steklov, volume conforme
Abstract:
We prove that on any compact manifold Mn with boundary,
there exist a conformal class C such that for any riemannian metric
g∈C, λ1(M)Vol(M)2/n
< nVol(Sn)2/n and
σ1(M,g,ρ)μ(M)Vol(M)(2-n)/n
< nVol(Sn)2/n
where λ1(M) denotes the first positive eigenvalue of
the Neumann laplacian on (M,g), σ1(M,g,ρ)
the first positive Steklov eigenvalue for the density ρ on
∂ M, and μ(∂M)=∫(∂M)ρ
dvg. We also prove that the conformal
volume of (M,C) is Vol(Sn,gcan),
and that the Friedlander-Nadirashvili and the Möbius volume of M
are equal to those of the sphere. If M is a domain in a space form,
C is the conformal class of the canonical metric.
Keywords:
first Neumann and Steklov eigenvalues, conformal volume.
MSC2000 : 58J50, 35P15.