Pierre Jammes, « Petites valeurs propres des fibrés principaux en tores »,Proc. Lond. Math. Soc., 112 (2) p. 882-902, 2016. [doi:10.1112/plms/pdw010|pdf]
Résumé :
Soit Mn un fibré principal en tores Tk
sur une variété compacte N. On étudie les effondrements de M
sur N tels que la courbure sectionnelle et le diamètre de M
vérifient |K(M)|<a et diam(M)<d.
On montre d'une part que pour tout k, il existe des effondrements
pour lesquels la première valeur propre du laplacien agissant sur
les formes différentielles de degré 1 et 2 est de l'ordre de
inj(M)2k, et d'autre part que la première
valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les 1-formes est minorée
par c(n,a,d,N).Vol(M)2 et c.inj(M)
2k quand Mn s'effondre sur N.
Mots clefs :
effondrements, formes différentielles, laplacien,
petites valeurs propres, approximations diophantiennes.
Abstract: Let Mn be a compact manifold of
dimension n with free Tk-action.
We consider collapsings of M on N=M/Tk such that
the sectional curvature and diameter of M satisfy |K(M)|<
a
and diam(M)<d, and give examples of collapsings for all k such
that the first non-zero eigenvalue of Laplacian acting on 1-forms and 2-forms
of M are bounded above by c(M).inj(M)2k.
Moreover we prove that the first non-zero eigenvalue of Laplacian
acting on 1-forms of all principal Tk-bundle M
over N is bounded below by c(n,a,d,N).Vol(M)2
and c.inj(M)2k when M collapses on N.
Keywords:
collapsing, differential forms, Laplacian, small eigenvalues,
diophantine approximations.
MSC2000 : 58C40, 58J50.