Analyse
approfondie, Master 1,
2005-2006 :
Ce
cours
s'adresse soit aux étudiants qui souhaitent
préparer
l'Agrégation, soit
à ceux qui souhaitent approfondir leurs
connaissances en
Analyse appliquée
(équations différentielles
ou aux
dérivées
partielles , analyse de Fourier
...).
Un
certain nombre d'outils
décrits décrits dans ce cours
- tout particulièrement
les espaces de Hilbert - jouent un rôle
essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques et
des
applications,
mais sont souvent présentés de manière
dispersée dans les différentes UE
de Licence et de Master. On essaiera de les
présenter de
manière plus unifiée,
soit sous forme traditionnelle cours + TD soit uniquement sous forme de
TD.
Plan
du cours
Généralités
sur les espaces vectoriels
normés. Espaces de Banach (TD). Indications
sur les Théorèmes de
Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et
leurs applications (cours
et TD).
Espaces
de Hilbert : projection
orthogonale, bases Hilbertiennes et
applications :
moindres carrés...Théorèmes de
représentation : Riesz,
Lax-Milgram.
Applications. Notes
de
cours manuscrites, début (Cette partie reprend
un cours d'Analyse Numérique). Notes
de
cours manuscrites, fin
Séries
de Fourier : généralités,
théorie hilbertienne. Développement d'une
fonction en série de Fourier : résultats
classiques de convergence ou de non convergence, noyau de
Féjer, de Dirichlet ... Notes
de
cours manuscrites.
Théorème
du point fixe
de Picard. Théorème
de Cauchy-Lipschitz. Compléments sur
les équations différentielles ordinaires. Méthode
des caractéristiques pour une équation
de transport.
Espaces de
Sobolev. Formulation
variationnelle de
problèmes aux
limites. Décomposition spectrale des opérateurs
compacts
auto-adjoints. Applications à l'équation de la
chaleur.
les
exercices d'Analyse Approfondie en 2006-2007 (L. Michel),