Cours d'Analyse et Probabilités - Année 2011-2012

                                            Préparation à l'Agrégation de Mathématiques  

                                                                                                                       M. Ribot

PROGRAMME (sous réserve de modifications) : Toutes les séances durent 1h30.

• Semaine 1  :
  • Séance n^o1 (Ma 13h30-15h) : Relations de comparaison et de sommation
  • Séance n^o2 (Je 8h45-10h15) : Liminf, limsup, propriétés de R
    
  • Séance n^o3 (Je 10h30-12h) : Calcul d'intégrales
  • Séance n^o4 (Ve 13h30-15h) : Intégrales généralisées
  
  
• Semaine 2 :
  
  • Séance n^o5 (Lu 10h30-12h) : Développement : Calcul de la gaussienne par plusieurs méthodes et intégrale de Fresnel
  • Séance n^o6 (Lu 13h30-15h) : Intégration numérique. Développement : Méthode de Newton-Cotes
  •  Séance n^o7 (Ma 13h30-15h)  : Suites
  • Séance n^o8 (Je 13h30-15h) : Calcul concret de rapidité de convergence de suites. Suites récurrentes

• Changement d'enseignant : J. Barré assurera la partie "Probabilités" du cours.
• Séance n^o9 (Ve 13h30-15h) :  reportée à la semaine suivante
  

• Semaine 3 :
  • Séance n^o9 (Lu 10h15-11h45) : Théorie de la mesure, intégration
  • Séance n^o10 (Lu 13h30-15h) :  Exercices de base en probabilités
    
  • Séance n^o11 (Ma 8h45-10h15) : Autour de Borel-Cantelli &  Ruine du joueur, inégalite de Hoeffding
  • Séance n^o12 (Ma 13h30-15h) : Lois des grand nombres
  • Séance n^o13 (Je 13h30-15h) :  Théorème central limite et applications
  • Séance n^o14 (Je 15h15-16h45) : Transformées de Fourier et Laplace, convolution et probabilités et Théorème de Lévy
  
  
• Re-changement d'enseignant : M. Ribot assurera la fin du cours.
• Semaine 4 :
  
  • Séance n^o15 (Lu 10h15-11h45) : Séries (1)
  • Séance n^o16  (Lu 13h30-15h) : Séries (2)
  • Séance n^o17 (Ma 13h30-15h) : Développement : Méthode de Newton & Accélération de la convergence de suites
  • Séance n^o18 (Je 13h30-15h) : Développement : Inégalité de Carleman & Utilisation des séries pour étudier les suites : Stirling via Wallis et u_{n+1}=sin(u_n)
  • Séance n^o19 (Ve 13h30-15h) : Développement : Comparaison série-intégrale  & Développement asymptotique de la série harmonique
  
  
• Semaine 5 :
  •  Séance n^o20  (Lu 10h15-11h45) :  Suites de fonctions
  •  Séance n^o21 (Ma 13h30-15h) : Séries de fonctions 
  • Je 9h-15h : Problème.
  •  Séance n^o22  (Ve 13h30-15h) : Séries entières
• Semaine 6 :
  
  • Séance n^o23 (Lu 10h15-11h45) : Interversion limite-intégrale
  • Séance n^o24 (Ma 13h30-15h) : Continuité et dérivabilité
  • Séance n^o25 (Je 15h15-16h45):  Formules de Taylor, développements limités et asymptotiques
  • Séance n^o26 (Ve 13h30-15h): Continuité uniforme. Fonctions convexes et monotones
• Semaine 7 :
  
  • Séance n^o27 (Lu 10h15-11h45) : Equations différentielles numériques
  • Séance n^o28 (Ma 13h30-15h) : Développement : La construction d'une fonction continue, nulle part dérivable & Théorème de Bernstein pour les séries entières
  •  Séance n^o29 (Ve 13h30-15h) : Développement : Fonctions à variations bornées & Théorème de Borel 
• Semaine 8 :
  
  • Séance n^o30  (Ma 13h30-15h) : Interpolation  et approximation polynômiales. Développement : Meilleure approximation par des polynômes
• Semaine 10 :
  
  • Examen final le lundi 7 novembre 2011 de 8h30 à 11h30.  Exercices-examen à connaître :

• Relations de comparaison - Suite Implicite
• Liminf, limsup et propriétés de R - Théorème taubérien
• Liminf, limsup et propriétés de R - Système dynamique perturbé
• Calcul d'intégrales - Calcul de l'intégrale de sin x/x
• Calcul d'intégrales - Irrationnalité de pi
• Intégrales généralisées - Inégalité entre intégrales
• Intégrales généralisées - Intégrale  de f(x+a)-f(x) et
• Intégration numérique- Cas d'une fonction périodique
• Suites - Approximation diophantienne
• Suites - Equirépartition - Version rédigée :
• Suites récurrentes - Ensemble de Cantor et
• Suites récurrentes - Théorème de Sarkovski
• Séries -  Equivalents de restes et de sommes partielles
• Séries - Sommation par paquets
• Séries  - Produit de séries
• Suites de fonctions - Théorème de Chudnovsky
• Suites de fonctions - Critère de convergence uniforme
• Suites de fonctions - Théorème de sélection de Helly
• Séries de fonctions - Séries de Dirichlet et
  
• Séries entières - Théorème taubérien faible
• Séries entières - Théorème taubérien fort
• Interversion Limite-Intégrale - Lemme de Riemann-Lebesgue
• Interversion Limite-Intégrale - Théorème des moments
• Continuité et Dérivabilité - Points où les dérivées à droite et à gauche différent Attention : coquille à la ligne 9 sur le sens de l'inégalité.
• Continuité et Dérivabilité - Escalier du diable et
• Formules de Taylor - Inégalités de Kolmogorov et
• Formules de Taylor - Lemme d'Hadamard et application et
• Continuité uniforme - Théorème de Sard en dimension 1
• Monotonie et convexité - Inégalité de Jensen et

• Suites équiréparties (cf la feuille sur les suites)
• Accélération de la convergence des suites
• Méthode de Newton
• Inégalité de Carlemann
• Utilisation des séries pour l'étude des suites : équivalent de Stirling via les intégrales de Wallis et développement asymptotique des suites définies par récurrence
• Comparaison série-intégrale
• Développement asymptotique de la série harmonique
• Critère de convergence uniforme (cf la feuille sur les suites de fonctions)
• Théorème de sélection de Helly (cf la feuille sur les suites de fonctions)
• Théorème de Borel
• La fonction Theta (cf la feuille sur les séries de fonctions)
• Les séries de Dirichlet (cf la feuille sur les séries de fonctions)
• Théorème de Bernstein sur les séries entières
• Théorème taubérien fort (cf la feuille sur les séries entières)
• Méthode de Newton-Cotes
• Meilleure approximation par des polynômes en norme infinie
• Calcul de la gaussienne par différentes méthodes
• Théorème des moments (cf la feuille sur l'interversion limite-intégrale)
  
• La construction d'une fonction continue, nulle part dérivable
• L'escalier du diable (cf la feuille sur la continuité et la dérivabilité)
  
• Fonctions à variation bornée
• Inégalités de Kolmogorov (cf la feuille sur les formules de Taylor)
  

Notation :

Note finale de l'U.E. = 2/3 * Note de l'examen final + 1/3*Moyenne des 2 notes de colle.

Tout absence à l'écrit blanc ou à l'examen final entraine un 0 au module