Cours d'Analyse et Probabilités - Année 2012-2013

                                            Préparation à l'Agrégation de Mathématiques  

                                                                                                                       M. Ribot

PROGRAMME (sous réserve de modifications) : Toutes les séances durent 1h30.

• Semaine 3  :
  • Séance n^o1 (Ma 18/9 - 8h-9h30) : Théorie de la mesure, intégration

• Semaine 4 :
  • Séance n^o2 (Ma 25/9 - 8h-9h30) : Exercices de base en probabilités
• Semaine 5
  • Séance n^o3 (Ma 2/10 - 8h-9h30) : Autour de Borel-Cantelli &  Ruine du joueur, inégalite de Hoeffding
• Semaine 6 :
  • Séance n^o4 (Ma  9/10 - 8h-9h30) : Lois des grand nombres
  • Séance n^o5 (Je 11/10 - 13h15-14h45) : Théorème central limite et applications
• Semaine 7 :
  • Séance n^o6 (Ma 16/10 - 8h-9h30) : Transformées de Fourier et Laplace, convolution et probabilités et Théorème de Lévy
• Semaine 8 :
  • Pas cours.
    
• Semaine 9 :
  • Vacances.
• Changement d'enseignant : M. Ribot assurera la fin  du cours.
• Semaine 10 :
  • Séance n^o7 (Ma 6/11 - 9h45-11h15) :  Relations de comparaison et de sommation
  • Séance n^o8 (Je  8/11- 15h-16h30) : Liminf, limsup, propriétés de R
• Semaine 11 :
  • Séance n^o9 (Lu 12/11 - 13h00-14h30) : Calcul d'intégrales
  • Séance n^o10 (Lu 12/11 - 14h45-16h15) : Intégrales généralisées
  • Séance n^o11 (Ma 13/11 - 8h-9h30) : Développement : Calcul de la gaussienne par plusieurs méthodes et intégrale de Fresnel
• Semaine 12 :
  • Séance n^o12 (Ma 20/11 - 8h-9h30) : Suites
  • Séance n^o13 (Je 22/11 - 13h30-15h00) : Calcul concret de rapidité de convergence de suites. Suites récurrentes
  • Séance n^o14 (Ve 23/11 -  8h-9h30) : Séance supplémentaire de probabilités. Transformées de Fourier et Laplace, convolution et probabilités . Processus de Galton - Watson
  • Séance n^o15 (Ve 23/11 -  9h45-11h15) : Développement : Méthode de Newton & Accélération de la convergence de suites
• Semaine 13 :
  • Séance n^o16 (Lu  26/11- 13h00-14h30) : Séries (1)
  • Séance n^o17 (Lu 26/11 - 14h45-16h15) : Séries (2)
  • Séance n^o18 (Ma 27/11 -  8h-9h30) : Développement : Inégalité de Carleman & Utilisation des séries pour étudier les suites : Stirling via Wallis et u_{n+1}=sin(u_n)
  • Jeudi 29/11 - 9h-15h : Problème.
• Semaine 14 :
  
  • Séance n^o19 (Lu 03/12 - 13h00-14h30) : Développement : Comparaison série-intégrale  & Développement asymptotique de la série harmonique
  • Séance n^o20 (Lu 03/12 - 14h45-16h15) :Suites de fonctions
  • Séance n^o21 (Ma 04/12 - 8h-9h30) : Séries de fonctions 
  • Séance n^o22 (Ma 04/12 - 13h15-14h45) : Séries entières
  • Séance n^o23 (Ma 04/12 - 15h-16h30) : Interversion limite-intégrale
  • Séance n^o24 (Je 06/12 - 15h-16h30) : Continuité et dérivabilité (1)
  • Séance n^o25 (Ve 07/12 - 9h45-11h15) : Continuité et dérivabilité (2).  Continuité uniforme. Fonctions convexes et monotones (1)
• Semaine 15 :
  
  • Séance n^o26 (Lu 10/12 -  13h00-14h30) : Continuité uniforme. Fonctions convexes et monotones (2).
  • Séance n^o27 (Ma 11/12 - 8h-9h30) : Formules de Taylor, développements limités et asymptotiques
  • Séance n^o28 (Ve 14/12 - 9h45-11h15) : Développement : La construction d'une fonction continue, nulle part dérivable & Théorème de Bernstein pour les séries entières
• Semaine 16 :
  • Séance n^o29 (Lu 17/12 -  13h00-14h30) : Développement : Fonctions à variations bornées & Théorème de Borel 
  • Séance n^o30 (Lu 17/12 -  14h45-16h15) : Interpolation  et approximation polynômiales. Développement : Meilleure approximation par des polynômes
  • Séance n^o31 (Ma 18/12 -  8h-9h30) : Analyse numérique  : un peu d'intégration numérique, un peu de résolution numérique de f(x)=0 et un peu de résolution numérique des équations différentielles.
    
  • Examen final le jeudi 20 décembre 2012 de 13h00 à 16h00.  

• Relations de comparaison - Suite Implicite
• Liminf, limsup et propriétés de R - Théorème taubérien
• Liminf, limsup et propriétés de R - Système dynamique perturbé
• Calcul d'intégrales - Calcul de l'intégrale de sin x/x
• Calcul d'intégrales - Irrationnalité de pi
• Intégrales généralisées - Inégalité entre intégrales
• Intégrales généralisées - Intégrale  de f(x+a)-f(x) et
• Intégration numérique- Cas d'une fonction périodique
• Suites - Approximation diophantienne
• Suites - Equirépartition - Version rédigée :
• Suites récurrentes - Ensemble de Cantor et
• Suites récurrentes - Théorème de Sarkovski
• Séries -  Equivalents de restes et de sommes partielles
• Séries - Sommation par paquets
• Séries  - Produit de séries
• Suites de fonctions - Théorème de Chudnovsky
• Suites de fonctions - Critère de convergence uniforme
• Suites de fonctions - Théorème de sélection de Helly
• Séries de fonctions - Séries de Dirichlet et
  
• Séries entières - Théorème taubérien faible
• Séries entières - Théorème taubérien fort
• Interversion Limite-Intégrale - Lemme de Riemann-Lebesgue
• Interversion Limite-Intégrale - Théorème des moments
• Continuité et Dérivabilité - Points où les dérivées à droite et à gauche différent Attention : coquille à la ligne 9 sur le sens de l'inégalité.
• Continuité et Dérivabilité - Escalier du diable et
• Formules de Taylor - Inégalités de Kolmogorov et
• Formules de Taylor - Lemme d'Hadamard et application et
• Continuité uniforme - Théorème de Sard en dimension 1
• Monotonie et convexité - Inégalité de Jensen et

• Suites équiréparties (cf la feuille sur les suites)
• Accélération de la convergence des suites
• Méthode de Newton
• Inégalité de Carlemann
• Utilisation des séries pour l'étude des suites : équivalent de Stirling via les intégrales de Wallis et développement asymptotique des suites définies par récurrence
• Comparaison série-intégrale
• Développement asymptotique de la série harmonique
• Critère de convergence uniforme (cf la feuille sur les suites de fonctions)
• Théorème de sélection de Helly (cf la feuille sur les suites de fonctions)
• Théorème de Borel
• La fonction Theta (cf la feuille sur les séries de fonctions)
• Les séries de Dirichlet (cf la feuille sur les séries de fonctions)
• Théorème de Bernstein sur les séries entières
• Théorème taubérien fort (cf la feuille sur les séries entières)
• Méthode de Newton-Cotes
• Meilleure approximation par des polynômes en norme infinie
• Calcul de la gaussienne par différentes méthodes
• Théorème des moments (cf la feuille sur l'interversion limite-intégrale)
  
• La construction d'une fonction continue, nulle part dérivable
• L'escalier du diable (cf la feuille sur la continuité et la dérivabilité)
  
• Fonctions à variation bornée
• Inégalités de Kolmogorov (cf la feuille sur les formules de Taylor)
  

Notation :

Note finale de l'U.E. = 2/3 * Note de l'examen final + 1/3*Moyenne des 2 notes de colle.

Tout absence à l'écrit blanc ou à l'examen final entraine un 0 au module