Cours
d'Analyse et Probabilités - Année
2012-2013
Préparation à l'Agrégation de
Mathématiques
M. Ribot
PROGRAMME (sous réserve de modifications)
: Toutes les séances durent 1h30.
- Semaine 3 :
- Séance no1 (Ma 18/9 - 8h-9h30) : Théorie de la
mesure, intégration

- Semaine 4 :
- Séance no2 (Ma 25/9 - 8h-9h30) : Exercices de base
en probabilités

- Semaine 5
- Séance no3 (Ma 2/10 - 8h-9h30) : Autour de
Borel-Cantelli
& Ruine du
joueur, inégalite de Hoeffding 
- Semaine 6
:
- Séance no4 (Ma 9/10 - 8h-9h30) : Lois des
grand
nombres

- Séance no5 (Je 11/10 - 13h15-14h45) : Théorème
central
limite et applications

- Semaine 7
:
- Séance no6 (Ma 16/10 - 8h-9h30) : Transformées de
Fourier et Laplace, convolution et probabilités
et Théorème de Lévy
- Semaine 8 :
- Semaine 9
:
- Changement
d'enseignant : M. Ribot
assurera la fin du
cours.
- Semaine 10
:
- Séance no7 (Ma 6/11 - 9h45-11h15) :
Relations de
comparaison et de sommation

- Séance no8 (Je 8/11- 15h-16h30) : Liminf,
limsup,
propriétés de R
- Semaine 11
:
- Séance no9 (Lu 12/11 - 13h00-14h30) : Calcul
d'intégrales

- Séance no10 (Lu 12/11 - 14h45-16h15) : Intégrales
généralisées

- Séance no11 (Ma 13/11 - 8h-9h30) : Développement :
Calcul de la gaussienne par plusieurs méthodes et intégrale de Fresnel

- Semaine 12
:
- Séance no12 (Ma 20/11 - 8h-9h30) : Suites

- Séance no13 (Je 22/11 - 13h30-15h00) : Calcul
concret
de rapidité de convergence de suites. Suites récurrentes

- Séance no14 (Ve 23/11 - 8h-9h30) : Séance supplémentaire de probabilités.
Transformées de
Fourier et Laplace, convolution et probabilités
. Processus de Galton - Watson 
- Séance no15 (Ve 23/11 - 9h45-11h15) : Développement :
Méthode de Newton & Accélération de la convergence de suites

- Semaine 13
:
- Séance no16 (Lu 26/11- 13h00-14h30) : Séries (1)

- Séance no17 (Lu 26/11 - 14h45-16h15) : Séries (2)
- Séance no18 (Ma 27/11 - 8h-9h30) : Développement :
Inégalité de Carleman & Utilisation des séries pour
étudier les suites : Stirling via Wallis et u_{n+1}=sin(u_n)

- Jeudi
29/11 - 9h-15h : Problème.
- Semaine 14
:
- Séance no19 (Lu 03/12 - 13h00-14h30) : Développement :
Comparaison série-intégrale
& Développement asymptotique de la série harmonique

- Séance no20 (Lu 03/12 - 14h45-16h15) :Suites de
fonctions

- Séance no21 (Ma 04/12 - 8h-9h30) : Séries de
fonctions

- Séance no22 (Ma 04/12 - 13h15-14h45) : Séries
entières

- Séance no23 (Ma 04/12 - 15h-16h30) : Interversion
limite-intégrale

- Séance no24 (Je 06/12 - 15h-16h30) : Continuité et
dérivabilité (1)

- Séance no25 (Ve 07/12 - 9h45-11h15) : Continuité et
dérivabilité (2). Continuité
uniforme. Fonctions convexes et
monotones (1)

- Semaine 15
:
- Séance no26 (Lu 10/12 - 13h00-14h30) : Continuité
uniforme. Fonctions convexes et
monotones (2).
- Séance no27 (Ma 11/12 - 8h-9h30) : Formules de
Taylor,
développements limités et asymptotiques

- Séance no28 (Ve 14/12 - 9h45-11h15) : Développement :
La construction d'une fonction
continue, nulle part dérivable & Théorème de Bernstein pour les
séries entières

- Semaine 16
:
- Séance no29 (Lu 17/12 - 13h00-14h30) : Développement :
Fonctions à variations bornées
& Théorème de Borel

- Séance no30 (Lu 17/12 - 14h45-16h15) :
Interpolation
et
approximation polynômiales. Développement
:
Meilleure approximation par des polynômes

- Séance no31 (Ma 18/12 - 8h-9h30) : Analyse
numérique : un peu d'intégration numérique, un peu de résolution
numérique de f(x)=0 et un peu de résolution numérique des équations
différentielles.
- Examen
final le jeudi 20 décembre 2012 de 13h00 à 16h00.
CORRIGES des EXERCICES - EXAMEN :
- Relations
de comparaison - Suite Implicite

- Liminf, limsup et propriétés de R - Théorème taubérien

- Liminf, limsup et propriétés de R - Système dynamique perturbé

- Calcul d'intégrales - Calcul de l'intégrale de sin x/x

- Calcul d'intégrales - Irrationnalité de pi

- Intégrales généralisées - Inégalité entre intégrales

- Intégrales généralisées - Intégrale de f(x+a)-f(x)
et 
- Intégration numérique- Cas d'une fonction périodique

- Suites - Approximation diophantienne

- Suites - Equirépartition
- Version rédigée : 
- Suites récurrentes - Ensemble de Cantor
et 
- Suites récurrentes - Théorème de Sarkovski

- Séries - Equivalents de restes et de sommes partielles

- Séries - Sommation par paquets

- Séries - Produit de séries

- Suites de fonctions - Théorème de Chudnovsky

- Suites de fonctions - Critère de convergence uniforme

- Suites de fonctions - Théorème de sélection de Helly

- Séries de fonctions - Séries de Dirichlet
et 
- Séries entières - Théorème taubérien faible

- Séries entières - Théorème taubérien fort

- Interversion Limite-Intégrale - Lemme de Riemann-Lebesgue

- Interversion Limite-Intégrale - Théorème des moments

- Continuité et Dérivabilité - Points où les dérivées à droite et à
gauche différent
Attention : coquille à la
ligne 9 sur le sens de l'inégalité. - Continuité et Dérivabilité - Escalier du diable
et 
- Formules de Taylor - Inégalités de Kolmogorov
et 
- Formules de Taylor - Lemme d'Hadamard et application
et 
- Continuité uniforme - Théorème de Sard en dimension 1

- Monotonie et convexité - Inégalité de Jensen
et 
PROBLEMES et LEUR CORRIGE :
L'énoncé du problème du 29 Novembre 2012
et son corrigé :
ou 
L'énoncé des problèmes du 6 Octobre 2011
(2003)
(2006) et leurs corrigés
(2003)
(2006)
L'énoncé du problème du 23 Septembre 2010
et son corrigé 
EXAMENS et LEUR CORRIGE :
Le sujet de l'examen du 20 Décembre 2012
et son corrigé 
Le sujet de l'examen du 7 Novembre 2011
et son corrigé 
Le sujet de l'examen du 6 Décembre 2010
et son corrigé 
DEVELOPPEMENTS VUS :
- Suites équiréparties (cf la feuille sur les suites)
- Accélération de la convergence des suites
- Méthode de Newton
- Inégalité de Carlemann
- Utilisation
des séries pour l'étude des suites : équivalent de Stirling via les
intégrales de Wallis et développement asymptotique des suites définies
par récurrence
- Comparaison série-intégrale
- Développement asymptotique de la série harmonique
- Critère de convergence uniforme (cf la feuille sur les suites de
fonctions)
- Théorème de sélection de Helly (cf la feuille sur les suites de
fonctions)
- Théorème de Borel
- La fonction Theta (cf la feuille sur les séries de fonctions)
- Les séries de Dirichlet (cf la feuille sur les séries de
fonctions)
- Théorème de Bernstein sur les séries entières
- Théorème taubérien fort (cf la feuille sur les séries entières)
- Méthode de Newton-Cotes
- Meilleure approximation par des polynômes en norme infinie
- Calcul de la gaussienne par différentes méthodes
- Théorème des moments (cf la feuille sur l'interversion
limite-intégrale)
- La construction d'une fonction continue, nulle part dérivable
- L'escalier du diable (cf la feuille sur la continuité et la
dérivabilité)
- Fonctions à variation bornée
- Inégalités de Kolmogorov (cf la feuille sur les formules de
Taylor)
Notation :
Deux examens sont prévus : un écrit blanc type agrégation et un examen
final type M2.
Note finale de l'U.E. = 2/3 * Note de
l'examen final + 1/3*Moyenne des 2 notes de colle.
Tout absence à l'écrit blanc ou à l'examen
final entraine un 0 au module