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\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE  SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007\par
Sylvain Rubenthaler}\par

\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf CORRIG\'E de l'examen - lundi 8 janvier 2007}}
\centerline{{\it Dur\'ee : 3h.}}
\centerline{{\it Documents et calculatrices interdits.}}
\centerline{{\it  La plus grande importance a \'et\'e accord\'ee lors de la correction \`a la justification des r\'eponses.}}
\centerline{{\it Les exercices sont ind\'ependants.  }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in [0,1]$ et tout $n\geq 0$, $|\frac{1+n\sin(\frac{x}{n})}{\sqrt{x}}| \leq \frac{2}{\sqrt{x}}$ qui est int\'egrable sur $[0,1]$. Pour tout $x\in [0,1]$, $n\sin(\frac{x}{n}) \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}x$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, la limite cherch\'ee est $\int_0^1\frac{1+x}{\sqrt{x}}dx$.
\item Pour tout $x\geq0$, tout $n\in \N$, $\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \leq \frac{1}{1+x^2}$ qui est une fonction int\'egrable sur $[0,+\infty)$. Pour tout $x > 0$ (et donc p.s. en $x\geq 0$), $\frac{1}{(1+x^2)^n} \convn 0$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, la limite cherch\'ee est $0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ fonction continue born\'ee positive $\R^2\rightarrow \R$.
\begin{eqnarray*}
 \E(f(U,V)) & = & \E(f(X/Y,XY)) \\
& = & \int_{x\geq 0, y\geq 0} f\left(\frac{x}{y},xy\right) \frac{8}{\pi^2}\frac{xy}{x^2(1+(xy)^2)+y^2+x^2y^4} dx dy
\end{eqnarray*}
Changement de variable~: $u=x/y,v=xy$, $x=\sqrt{uv},y=\sqrt{v/u}$. Matrice jacobienne~:

$$
J(u,v)=
\left[  
\begin{array}{cc}
 \frac{1}{2}\sqrt{\frac{v}{u}} & -\frac{1}{2}\frac{\sqrt{v}}{u^{3/2}}\\
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{u}{v}} & \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{uv}}
\end{array}
\right]
$$
Quand $(x,y)$ parcourt $[0,+\infty)^2$, $(u,v)$ parcourt $[0,+\infty)^2$. Donc

\begin{eqnarray*}
 \E(f(U,V)) & = & \int_{u\geq 0 , v\geq 0} f(u,v) \frac{8}{\pi^2}\frac{v}{\left(uv(1+v^2)+\frac{v}{u}+v^2\times \frac{v}{u}\right)} \frac{1}{2u} du dv\\
&=& \int_{u\geq 0 , v\geq 0} f(u,v)  \frac{4}{\pi^2} \frac{1}{u^2(1+v^2)+1+v^2} du dv
\end{eqnarray*} 
Donc la densit\'e de $(U,V)$ est $(u,v)\mapsto \1_{u\geq 0,v\geq0} \frac{4}{\pi^2} \frac{1}{u^2(1+v^2)^2+1+v^2}$.
\item Soit $f$ fonction continue born\'ee positive $\R\rightarrow \R$. Par Fubini-Tonelli~:
\begin{eqnarray*}
 \E(f(V)) & = & \int_{u\geq 0 , v\geq 0} f(v) \frac{4}{\pi^2} \frac{1}{u^2(1+v^2)+1+v^2} du dv\\
& = & \int_{v\geq 0} f(v) \int_{u\geq 0}  \frac{4}{\pi^2} \frac{1}{u^2(1+v^2)+1+v^2} du dv\\
& =& \int_{v\geq 0} f(v) \left[ \frac{4}{\pi^2}  \arctan (u )\frac{1}{(1+v^2)} \right]_0^{+\infty} \\
& = & \int_{v\geq 0} f(v)  \frac{2}{\pi} \frac{1}{(1+v^2)} dv
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $V$ est $v \in \R \mapsto \1_{v\geq 0} \frac{2}{\pi} \frac{1}{(1+v^2)}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item \dots
\item Par Fubini-Tonelli et parce que $X$ et $Z$ sont ind\'ependantes (donc la densit\'e du couple est le produit des densit\'es)
\begin{eqnarray*}
 \p(X< Z) & =& \int_{x\geq 0,z\geq 0} \1_{x<z} e^{-x-z} dx dz\\
&   = & \int_{z\geq 0} e^{-z} \int_0^z e^{-x} dx dz\\
& = &   \int_{z\geq 0} e^{-z} (1-e^{-z}) dz\\
& = & 1-1/2=1/2.
\end{eqnarray*}
Les variables $X,Y,Z$ sont ind\'ependantes et de m\^eme loi donc $(X,Z)$ a m\^eme loi que $(Y,Z)$ donc $\p(X\leq Z)=\p(Y\leq Z)$.
D'o\`u $\p(\sup(X,Y)\geq Z)=1-1/4=3/4$.
\end{enumerate}

\item $X$ et $Y$ sont ind\'ependantes donc la densit\'e du couple $(X,Y)$ est le produit des densit\'es.
\begin{enumerate}
\item Par Fubini-Tonelli
\begin{eqnarray*}
 \p(X \geq 3 ,X-Y\geq 1) & = & \int_{x\geq 0,0\leq y \leq 1} \1_{x\geq 3}\1_{x\geq y+1} e^{-x} dx\\
& = & \int_{x\geq 0,0\leq y \leq 1} \1_{x\geq 3}  e^{-x} dx\\
& = & \int_{0\leq y \leq 1} \int_{x\geq 3}  e^{-x} dx\\
& = & \int_{0\leq y \leq 1} e^{-3}dx=e^{-3}
\end{eqnarray*}
\item Par Fubini-Tonelli
\begin{eqnarray*}
 \p(X-Y\geq 1) & = &  \int_{x\geq 0,0\leq y \leq 1}  \1_{x\geq y+1} e^{-x} dx \\
& = &  \int_{0\leq y \leq 1} \int_{x\geq y+1}  e^{-x} dx \\
& = & \int_{0\leq y \leq 1} e^{-y-1} dy \\
& = & e^{-1}(1-e^{-1})=e^{-1}-e^{-2}
\end{eqnarray*}
\item Donc $\p(X\geq 3|X-Y\geq 1)=\p(X\geq 3,X-Y\geq 1)/\p(X-Y\geq 1)=e^{-3}/(e^{-1}-e^{-2})\geq e^{-3}=\p(X\geq 3)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
 \item $\E(U_1)=1/2$, $\E(U_1^2)=\int_0^1 x^2 dx=1/3$ donc $\Var(U_1)=1/3-1/4=1/12$.
\item Soit $Z$ de loi $\mathcal{N}(0,1)$. Par th\'eor\`eme central-limite et d'apr\`es la table jointe au sujet~:
\begin{eqnarray*}
 \p(U_1+\dots+U_n\leq k) & = & \p( \frac{U_1+\dots+U_n-n\E(U_1)}{\sqrt{n\Var(U_1)}} \leq \frac{k-n\E(U_1)}{\sqrt{n\Var(U_1)}} )\\
& \approx & \p(Z\leq -1)=\p(Z\geq 1)=1-\p(Z\geq 1) \approx 0.1587
\end{eqnarray*}

\item Il suffit d'avoir $\frac{k-m\E(U_1)}{\sqrt{m\Var(U_1)}} =1.29$. On prend alors $m$ la partie enti\`ere de la solution positive de l'\'equation en $x$ suivante  $(k-x\E(U_1))^2=1.29^2\times x\Var(U_1)$.

\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
