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\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE  SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007\par
Sylvain Rubenthaler}\par

\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Examen - lundi 8 janvier 2007}}
\centerline{{\it Dur\'ee : 3h.}}
\centerline{{\it Documents et calculatrices interdits.}}
\centerline{{\it  La plus grande importance sera accord\'ee lors de la correction \`a la justification des r\'eponses.}}
\centerline{{\it Les exercices sont ind\'ependants.  }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item Calculer les limites suivantes.
\begin{enumerate}
 \item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{1+n\sin(\frac{x}{n})}{\sqrt{x}} dx$ (on ne cherchera pas \`a calculer l'int\'egrale limite)
\item   $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} dx$ (on calculera cette fois la valeur de l'int\'egrale limite).
\end{enumerate}

\item Soit $(X,Y)$ couple de variables al\'eatoires \`a valeurs dans $\R^2$ de densit\'e $$(x,y) \in \R^2\mapsto \frac{8}{\pi^2}\frac{xy}{x^2(1+(xy)^2)+y^2+x^2y^4}\1_{x\geq0,y\geq 0}.$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer la loi de $(U,V)=(X/Y,XY)$.
\item Calculer la loi de $V$.
\end{enumerate}

\item Soient $X,Y,Z$ trois variables al\'eatoires r\'eelles  ind\'ependantes de m\^eme loi de densit\'e $$x\in \R \mapsto \1_{x\geq 0} e^{-x}$$ (c'est la densit\'e de la loi exponentielle de param\`etre $1$). 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\p(\sup(X,Y)\geq Z)=1-\p(X\leq Z)\p(Y\leq Z)$.
\item Calculer $\p(\sup(X,Y)\geq Z)$.
\end{enumerate}


\item Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires r\'eelles ind\'ependantes $X$ de loi exponentielle de param\`etre $1$ et $Y$ de loi uniforme sur $[0,1]$ (cf. les autres exercices pour les densit\'es de ces lois).
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\p(X \geq 3 ,X-Y\geq 1)$.
\item Calculer $\p(X-Y\geq 1)$.
\item Calculer $\p(X\geq 3|X-Y\geq 1)$. Cette probabilit\'e est-elle plus petite ou plus grande que $\p(X\geq 3)$ ?
\end{enumerate}


\item Soient $U_1,\dots,U_n$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes identiquement distribu\'ees de loi uniforme sur $[0,1]$ (et donc de densit\'e $t\in \R \mapsto \1_{t\in [0,1]} $). 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\E(U_1)$, $\Var(U_1)$.
\item Soient $n=48,k=22$. Donner une approximation de $\p(U_1+\dots+U_n\leq k)$.
\item Trouver un $m \in \N$ tel que  $\p(U_1+\dots+U_m\leq k)\leq 0.1$ (on pourra se contenter d'\'ecrire $m$ comme solution d'une \'equation).
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
