\documentclass{article}
\RequirePackage{amsmath}
\RequirePackage{amssymb}

\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{fancybox}

\pagestyle{empty}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
 \newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\C }{{\mathbb C}}
\newcommand{\1}{\text{\bf 1}}
\newcommand{\p}{\mathbb{P}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\eqloi}{\overset{\text{loi}}{=}}
\newcommand{\convn}{\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}}
\newcommand{\convps}{\overset{\text{p.s.}}{\convn}}
\newcommand{\lam}{\lambda}

\oddsidemargin=1.truecm
\evensidemargin=1.truecm
\topmargin=-1.truecm
\textwidth=15.truecm
\textheight=24.truecm
\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE  SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007\par
Sylvain Rubenthaler}\par

\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e du partiel - lundi 20 novembre 2006}}
\centerline{{\it Dur\'ee : 2h.}}
\centerline{{\it  La plus grande importance a \'et\'e accord\'ee lors de la correction \`a la justification des r\'eponses.}}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $(1+\frac{x}{n})^n=\exp(n\log(1+\frac{x}{n}))$ et $\forall x \in ]0,1]$, $n\log(1+\frac{x}{n}) \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} n\frac{x}{n}=x$ donc, puisque $\exp$ est continue, $\exp(n\log(1+\frac{x}{n})) \convn e^x$ ($\forall x \in ]0,1]$). Donc $\exp(n\log(1+\frac{x}{n})) \convn e^x$ pour presque tout $x$ de $[0,1]$. Pour tout $x$ de $]0,1]$ (et donc pour presque tout $x$ de $[0,1]$), $\log(1+\frac{x}{n}))\leq \frac{x}{n}$ donc $\exp(n\log(1+\frac{x}{n}))\leq e^x$ qui est une fonction int\'egrable sur $[0,1]$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee~: $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n dx =\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1-1\ .$$

\item $\forall x  \in ]0;1]$, $\frac{n}{x\sqrt{x}}  \sin\left(\frac{x}{n}\right)  \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \frac{n}{x\sqrt{x}} \frac{x}{n} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ donc pour presque tout $x$ de $[0,1]$, $$\frac{n}{x\sqrt{x}}\left( \sin\left(\frac{x}{n}  \right) - \frac{x}{n}\right) \convn 0\ . $$ On a par ailleurs, $\forall x> 0$ (et donc pour presque tout $x$ de $[0,1]$), $\left| \frac{n}{x\sqrt{x}}\left( \sin\left(\frac{x}{n}  \right) - \frac{x}{n}\right)  \right| \leq \frac{n}{x\sqrt{x}} (|\sin\left(\frac{x}{n}  \right) | + |\frac{x}{n}| ) \leq \frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$ qui est int\'egrable sur $[0,1]$. Donc par th\'eor\`eme de convergence domin\'ee~: $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{x\sqrt{x}}\left( \sin\left(\frac{x}{n}  \right) - \frac{x}{n}\right)dx = 0 \ .$$
\end{enumerate}


\item 
\begin{eqnarray*}
 \E(X^2) & = & \int_0^{+\infty} x^2 2e^{-2x} dx\\
& = & [-x^2 e^{-2x}]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} 2x e^{-2x} dx\\
& = & [-x e^{-2x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}  e^{-2x} dx\\
& = & [-e^{-2x}/2]_0^{+\infty}\\
& = & 1/2
\end{eqnarray*}

\item  Pour tout $x>0$ (et donc pour presque tout $x$ de $[0,\pi/2]$), $y\mapsto (y/x)\sin(yx)$ est d\'erivable de de d\'eriv\'ee $\frac{1}{x}\sin(yx)+y\cos(yx)$. Pour tout $y \in [0,1]$, $|\frac{1}{x}\sin(yx)+y\cos(yx)|\leq \frac{yx}{x}+y\leq 2$ qui est int\'egrable sur $[0,1]$. Pour tout $y \in [0,1]$, $x\mapsto \frac{y}{x}\sin(yx) $ est int\'egrable sur $[0,1]$ (car $|\frac{y}{x}\sin(yx) |\leq y^2$. Donc, par th\'eor\`eme de d\'erivation globale sous l'int\'egrale, $$F'(y)=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin(yx)}{x}+y\cos(yx) dx\ .$$

\item 
\begin{enumerate}
 \item Par ind\'ependance des $X_i$~: $\p(A_n)=\p(X_1=1,\dots,X_n=1)=\p(X_1=1)\dots\p(X_n=1)=(1/2)^n$.
\item $\p(A_0)\leq 1$ donc par intersection d\'ecroissante~: $\p(\cap_{n\geq 1} A_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty} \p(A_n) =0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
 \item On prend $f\in C^+_b( (\R^*_+)^2 )$. 
\begin{eqnarray*}
 \E(f(U,V)) &=& \E(f(\sqrt{XY},\sqrt{X/Y}))\\
& = & \int_{(\R^*_+)^2} f(\sqrt{xy},\sqrt{x/y}) (x+y) e^{-x}e^{-y} dx dy\\
\end{eqnarray*}
On fait le changement de variable $u=\sqrt{xy},v=\sqrt{x/y}$. On a $x=uv$, $y=u/v$. La matrice jacobienne est la suivante~:

$$J(u,v) =
\left[
\begin{array}{ccc}
   v &  1/v \\
   u &  -u/v^2
\end{array}
\right]
$$
Donc~:

\begin{eqnarray*}
 \E(f(U,V)) &=& \int_{(\R^*_+)^2} f(u,v) e^{-uv}e^{-u/v} \left(uv+\frac{u}{v}\right) \left| \frac{-2u}{v} \right| du dv\\
\end{eqnarray*}
Donc la densit\'e de $(U,V)$ est la fonction $(u,v) \in (\R^*_+)^2 \mapsto e^{-uv}e^{-u/v}2u^2\left(1+\frac{1}{v^2}\right)$.

\item La variable $V$ est \`a valeurs dans $\R^*_+$.
Soit $f\in C^+_b(\R^*_+)$. Par Fubini-Tonelli~:

\begin{eqnarray*}
 \E(f(V)) &=& \int_{(\R^*_+)^2} f(v) e^{-uv}e^{-u/v}2u^2\left(1+\frac{1}{v^2}\right) du dv\\
&=& \int_{\R^*_+} f(v) \left(\int_{\R^*_+} e^{-u/v}2u^2\left(1+\frac{1}{v^2}\right)du \right) dv\\
\end{eqnarray*}

Donc la densit\'e de $V$ est $v \in \R^*_+ \mapsto \int_{\R^*_+} e^{-uv}e^{-u/v}2u^2\left(1+\frac{1}{v^2}\right)du$ que l'on calcule par int\'egrations par parties (en posant $\alpha=(v+\frac{1}{v})$~:

\begin{eqnarray*}
  \int_{\R^*_+} e^{-uv}e^{-u/v}2u^2\left(1+\frac{1}{v^2}\right) du &=& \left( 1+\frac{1}{v^2} \right) \left( \left[-\frac{2u^2}{\alpha} e^{-u\alpha}  \right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} \frac{4u}{\alpha} e^{-\alpha u} du \right)\\
& =&  \left( 1+\frac{1}{v^2} \right) \left( \left[-\frac{4u}{\alpha^2} e^{-\alpha u} \right]_0^{+\infty}   + \int_0^{+\infty} \frac{4}{\alpha^2} e^{-\alpha u} du \right) \\
&=& \left( 1+\frac{1}{v^2} \right) \frac{4}{\alpha^3}= \frac{4v(v^2+1)}{(v^2+1)^3}
\end{eqnarray*}



\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{document}
