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\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE  SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007\par
Sylvain Rubenthaler}\par

\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Partiel - lundi 20 novembre 2006}}
\centerline{{\it Dur\'ee : 2h.}}
\centerline{{\it Documents et calculatrices interdits.}}
\centerline{{\it  La plus grande importance sera accord\'ee lors de la correction \`a la justification des r\'eponses.}}
\centerline{{\it Les exercices sont ind\'ependants.  }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item Calculer les limites suivantes.
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n dx$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{x\sqrt{x}}\left( \sin\left(\frac{x}{n}  \right) - \frac{x}{n}\right)dx$
\end{enumerate}

\item Soit $X$ variable al\'eatoire r\'eelle de densit\'e $x\mapsto 2e^{-2x}\1_{x\geq 0}$. Calculer $\E(X^2)$.

\item On d\'efinit pour $y\in [0,1]$, $$F(y)=\int_0^{\pi/2} \frac{y}{x} \sin(yx) dx\ .$$
Montrer que $F$ est d\'erivable et exprimer $F'$ sous forme d'une int\'egrale.


\item Soient $X_1,X_2,\dots$ des variables al\'eatoires ind\'ependantes et identiquement distribu\'ees telles que $\p(X_1=1)=\p(X_1=0)=1/2$. On d\'efinit pour tout $n\in \N^*$, $A_n=\{\omega:1=X_1(\omega)=X_2(\omega)=\dots=X_n(\omega)\}$. On remarque que $\forall n$, $A_{n+1}\subset A_n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\p(A_n)$, $\forall n$.
\item Calculer $\p(\cap_{n\geq 1} A_n)$.
\end{enumerate}

\item Soit $(X,Y)$ variable al\'eatoire \`a valeurs dans $(\R^*_+)^2$ de densit\'e $(x,y) \in (\R^*_+)^2 \mapsto (x+y)e^{-x}e^{-y}$. Soient $U=\sqrt{XY}$, $V=\sqrt{Y/X}$. La variable $(U,V)$ est \'egalement \`a valeurs dans $(\R^*_+)^2$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la densit\'e de la loi de $(U,V)$ (on pourra faire un changement de variable en $u=\sqrt{xy},v=\sqrt{y/x}$).
\item Calculer la densit\'e de la loi de $V$.
\end{enumerate}



\end{enumerate}



\end{document}
