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\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler\par
   {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html  }}\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  1}}
\centerline{{\bf}}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $f([-3,-1])=[1,9]$, $f([-3,1])=[0,9]$, $f(]-3,1])=[0,9[$.
\item $f^{-1}(]-\infty,2])=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, $f^{-1}(]1,+\infty[)=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)=\{0\}\cup]-\sqrt{2},-1]\cup[1,\sqrt{2}[$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\frac{\sin(x)}{\log(1+x)} \underset{x\rightarrow 0+}{\sim} \frac{x}{x} = 1 \underset{x\rightarrow 0+}{\rightarrow} 1$
\item $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}$ et $x\log\left(1+\frac{2}{x}\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{2x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\rightarrow} 2$ donc par continuit\'e de la fonction $\exp$~: $\left(1+\frac{2}{x}\right)^x \underset{x\rightarrow }{\rightarrow} e^2$
\item $ \frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}=\frac{(x^2/2)+o(x^2)}{x^2+o(x^2)} \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2x^2} =1/2$
\item  $\frac{1-(1+x)^\alpha}{1-(1+x)^\beta} =\frac{\alpha x +o(x)}{\beta x+o(x)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \frac{\alpha x}{\beta x}=\frac{\alpha}{\beta}$
\end{enumerate}


\begin{enumerate}
\item on int\`gre par parties~:
\begin{eqnarray*}
\int_0^{+\infty}  x^2 e^{-x} dx & = & [ - x^2 e^{-x} ]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} 2x e^{-x}dx\\
& = & 0 + [-2x e^{-x} ]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} 2 e^{-x}dx \\
& = & [-2e^{-x} ]_0^{+\infty} = 2
\end{eqnarray*}
\item changement de variable ~: $t=\log(z)$, $z=e^t$, $dz=e^t dt$
\begin{eqnarray*}
\int_{e^1}^{+\infty} \frac{1}{(\log(z))^2 z} dz & = & \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt\\
& = & [ -1/t]_1^{+\infty} = 1
\end{eqnarray*}
\item on d\'ecompose $ \frac{1}{(2-x)(1+x)} = \frac{1/3}{2-x} + \frac{1/3}{1+x}$ (toujours possible pour une fraction rationelle \`a p\^oles simples) et donc~: $$\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(1+x)} dx = \left[ -\frac{1}{3}\log(2-x)+\frac{1}{3}\log(1+x) \right]_0^1=\frac{1}{3}\log(4)$$
\item changement de variable ~: $t=\tan(x)$, $x=\arctan(t)$, $dx=\frac{1}{1+t^2} dt$
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\pi/4} \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} dx & = & \int_0^{\pi/4} 1+\tan^2(x) dx\\
& = & [\tan(x)]_{0}^{\pi/4} =1
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $I_0=\int_0^{\pi/2} 1 dx=\frac{\pi}{2}$, $I_1=\int_0^{\pi/2}  \sin(x) dx=[-\cos(x)]_0^{\pi/2}=1$.
\item On int\`egre par parties pour tout $n\geq 2$~:
\begin{eqnarray*}
I_{n+2} & = & \int_0^{\pi/2} \sin^{n+1}(x)\sin(x)dx \\
& = & [-\sin^{n+1}(x)\cos(x)]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \sin^n(x)\cos^2(x)dx\\
& = & (n+1)(I_n - I_{n+2})
\end{eqnarray*}
d'o\`u $I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2} I_n$.
\item D\'emonstration par r\'ecurrence de la formule pour $I_{2p}$ (d\'emonstration similaire pour $I_{2p+1}$)~:
\begin{itemize}
\item c'est vrai en $p=0$
\item si c'est vrai jusqu'au rang $p$ alors $I_{2p+2}=\frac{2p+1}{2p+2} I_{2p}=\frac{(2p+1)(2p-1)\dots 1}{(2p+2)(2p) \dots 2}\frac{\pi}{2}$
\end{itemize}

\item $\forall p \in \N$, $\forall x \in [0,\pi/2]$, $0\leq \sin^{2p+1}(x)\leq \sin^{2p}(x)\leq \sin^{2p-1}(x)$ donc par int\'egration $\forall p \in \N$, $I_{2p+1}\leq I_{2p}\leq I_{2p-1}$, donc $1\leq\frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}\leq\frac{I_{2p-1}}{I_{2p+1}} = \frac{2p+1}{2p}$, donc $\lim_{p\rightarrow +\infty}\frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}=1$

\item on d\'eduit de la question pr\'ec\'edente~: $\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{\pi}{2}\left[\frac{(2p-1)(2p-3)\dots 1}{2p(2p-2)\dots2}\right]^2(2p+1) = 1$, d'o\`u la formule de Wallis

\item On fait la d\'emonstration pour $n$ impair . Soit $n=2p+1$~:
\begin{eqnarray*}
I_{2p+1} & = & \frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p+1)\dots1}\\
& = & \frac{\sqrt{p}}{2p+1}\sqrt{\frac{1}{p} \left( \frac{2p(2p+2)\dots 2}{(2p-1)\dots 1}\right)^2}\\
& \underset{p\rightarrow +\infty}{\sim} & \frac{1}{\sqrt{2(2p+1)}}\sqrt{\pi}\ .
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
