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\begin{document}



\par
{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler\par
   {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html  }}\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  1}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item \underline{Rappel~:} Si $f:E \rightarrow F$ et $A\subset F$, $f^{-1}(A)=\{x\in E : f(x)\in A\}$.  Si $C\subset E$,
$f(C)=\{f(x), x\in C\}$. \\
On consid\`ere l'application $f:\R \rightarrow \R$, $x \mapsto x^2$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $f([-3,-1])$, $f([-3,1])$, $f(]-3,1])$.
\item  D\'eterminer $f^{-1}(]-\infty,2])$, $f^{-1}(]1,+\infty[)$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)$.
\end{enumerate}

\item Calculer les limites suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{\sin(x)}{\log(1+x)}$
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty} \left( 1+ \frac{2}{x} \right)^{x}$
\item $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x\sin(x)}$
\item $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-(1+x)^\alpha}{1-(1+x)^\beta}$ pour $\alpha,\beta>0$.
\end{enumerate}

\item Calculer les int\'egrales suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} dx$
\item $\int_{e^1}^{+\infty} \frac{1}{(\log(z))^2 z} dz$
\item $\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(1+x)} dx$
\item $\int_0^{\pi/4} \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} dx$.
\end{enumerate}

\item Int\'egrales de Wallis\\
Pour tout $n \in \N$, on pose~:
$$ I_n=\int_0^{\pi/2} \sin^n(x)dx    \ .$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item Donner une relation de r\'ecurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$.
\item En d\'eduire que~:
$$
 \forall p \in \N,\ I_{2p}=\frac{(2p-1)(2p-3)\dots1}{2p(2p-2)\dots2}\frac{\pi}{2} \text{ et } I_{2p+1}=\frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p+1)(2p-1)\dots1}\ .
$$
\item Montrer que $\forall p\in \N, I_{2p+1}\leq I_{2p}\leq I_{2p-1}$. En d\'eduire que $\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{I_{2p}}{I_{2p+1}}=1$.
\item En d\'eduire la formule de Wallis~:
$$
\lim_{p\rightarrow +\infty} \frac{1}{p}\left[ \frac{2p(2p-2)\dots2}{(2p-1)(2p-3)\dots1}\right]^2=\pi \ .
$$
\item Montrer que $\forall n\in \N$, $I_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
