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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  10}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
 \item On a $\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})=xe^{-\frac{x^2}{2}}$. On fait une int\'egration par parties~:
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})dx\\
& = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \frac{1}{x}  e^{-\frac{x^2}{2}} \right]_\delta^\infty -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x^2} e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
& \leq &  \frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}.
\end{eqnarray*}
\item Par la question pr\'ec\'edente~:
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) &= & \int_\delta^\infty   y \left(  \frac{1}{y} \frac{e{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right)dy\\
& \leq & \int_\delta^\infty   y \times \p(Y>y) dy\\
& = & \delta \int_\delta^{+\infty} F(y)dy
\end{eqnarray*}
\item
\begin{eqnarray*}
 \int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy &=& \left[ y F(y) \right]_\delta^\infty +\int_\delta^\infty y \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dy\\
&=& -\delta F(\delta) + \left[  - \frac{e^{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \right]_\delta^\infty \\
&=& -\delta \int_\delta^\infty \frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dx + \frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}
\end{eqnarray*}
\item D'o\`u
\begin{eqnarray*}
 \p(Y>\delta) &\geq& -\delta^2 \p(Y>\delta) + \delta \frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\\
\p(Y>\delta) &\geq& \frac{\delta}{1+\delta^2}\frac{e^{-\frac{\delta^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\ .
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}



\item 
\begin{enumerate}
\item $S_n \sim \mathcal{N}(nm,n\sigma^2)$ donc $\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma} \right) \sim \mathcal{N}(0,1)$.
\item Par sym\'etrie et par les r\'esultats pr\'ec\'edents~:
\begin{eqnarray*}
 \p\left( m-\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq   m+\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) &=& \p\left(\left|\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma}\right) \right|\leq\delta\right)\\
&=&  1-2\p\left(  \sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma}\right) >\delta\right)\\
&\geq& 1-\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\delta} \exp\left( -\frac{\delta^2}{2} \right)\ .
\end{eqnarray*}
\item Avec $\delta=\sqrt{n}\epsilon/\delta$, on a (par la question pr\'ec\'edente)~:
$$
\p(m-\epsilon\leq S_n \leq m+\epsilon) \geq 1 -\sqrt{ \frac{2}{n\pi}} \frac{\sigma}{\epsilon} \exp\left(-\frac{n\epsilon^2}{2\sigma^2} \right).
$$
\item \`A l'aide d'une calculatrice, on trouve~:
$$
\p(|S_n-m|\leq \epsilon) \geq 0.8920\ .
$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{document}
