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\begin{document}


\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE-SOPHIA ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math1.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par



\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  10}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


\begin{enumerate}

\item 
Soit $\delta>0$ et $Y$ de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\p(Y>\delta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\delta^{+\infty}\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial x} (-e^{-\frac{x^2}{2}})dx$. En d\'eduire une int\'egration par parties de cette int\'egrale qui donne que $\p(Y>\delta)=\frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}-(\text{int\'egrale positive})$. En d\'eduire que $$\p(Y>\delta)\leq \frac{1}{\delta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta^2}{2}}.$$
\item On remarque que $\p(Y>\delta)=\int_\delta^{+\infty} y \left(  \frac{1}{y} \frac{e{-\frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\right)dy$. D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $\p(Y>\delta)\geq \delta \int_\delta^{+\infty} F(y)dy$ avec $F(y)=\int_y^{+\infty}\frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}} dx$.
\item Int\'egrer par parties $\int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy$ (en int\'egrant le $1$ et d\'erivant le $F$) pour trouver 
$$
\int_\delta^{+\infty} 1\times F(y)dy= -\delta \int_\delta^{+\infty} \frac{ e^{-\frac{x^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}} dx+\frac{ e^{-\frac{\delta^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}}.
$$
\item En d\'eduire que $$\p(Y>\delta)\geq \frac{1}{\left(\delta+\frac{1}{\delta}\right)} \frac{ e^{-\frac{\delta^2}{2}}}  {\sqrt{2\pi}}.$$
\end{enumerate}

\item On rappelle que la somme de deux variables gaussiennes ind\'ependantes, respectivement de lois $\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ est une variable gaussienne de loi $\mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$. Soient $X_1,X_2,X_3,\dots$ des variables ind\'ependantes et identiquement distribu\'ees (i.i.d.) de loi $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. On suppose que l'on conna{\^\i}t $\sigma$ mais pas $m$, que l'on veut estimer par $S_n=\frac{1}{n}(X_1+\dots+X_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{n}\left( \frac{S_n-m}{\sigma} \right)$ est (exactement) de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
\item D\'eduire de l'exercice pr\'ec\'edent que 
$$
\forall \delta>0,\ \p\left( m-\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq S_n \leq   m+\delta\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\geq 1 -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\delta} \exp\left( -\frac{\delta^2}{2} \right)
$$
\item En d\'eduire que 
$$
\forall \epsilon >0,\ \p(m-\epsilon\leq S_n \leq m+\epsilon) \geq 1 -\sqrt{ \frac{2}{n\pi}} \frac{\sigma}{\epsilon} \exp\left(-\frac{n\epsilon^2}{2\sigma^2} \right).
$$
\item On suppose que $\epsilon=0.01$, $\sigma=1$, $n=10000$, minorer $\p(|S_n-m|\leq \epsilon)$ par une valeur num\'erique.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
