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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  2}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

%\item \underline{Rappel~:} Si $f:E \rightarrow F$ et $A\subset F$, $f^{-1}(A)=\{x\in E : f(x)\in A\}$.  Si $C\subset E$,
%$f(C)=\{f(x), x\in C\}$. \\
%On consid\`ere l'application $f:\R \rightarrow \R$, $x \mapsto x^2$.
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer $f([-3,-1])$, $f([-3,1])$, $f(]-3,1])$.
%\item  D\'eterminer $f^{-1}(]-\infty,2])$, $f^{-1}(]1,+\infty[)$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)$
%\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $ \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)]=\emptyset$ car $1 \notin \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)] $ et $\forall x \neq 1$, $\exists n$ tel que $x\notin  ]1,1+1/(n+1)]$ et donc $x \notin  \bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)]$
\item $\bigcap_{n\geq 0} ]1,2+1/(n+1)]=]1,2]$
\item $\bigcap_{n\geq 0} ]1-1/(n+1),2] =[1,2]$
\item $\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[ = ]0,+\infty[$ donc $f^{-1}(\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[)=f^{-1}(]0,+\infty[)=\R \diagdown \{0\}=\R^*$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soient $k\neq n,k<n$. $A_k\subset A_{n-1}$ donc $\forall x \in A_k$, $x\notin B_n$. Comme $B_k\subset A_k$, alors $B_k\cap B_n =\emptyset$
\item
 \begin{itemize}
 \item Si $x \in (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$ alors $x\notin \underset{_n\geq0}{\cap} A_n$ donc $\exists n$ tel que $x \notin A_n$. Donc $\exists n$ tel que $x \in A_n^c$. Donc $x \in \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c$.
 \item Si $x \in \underset{_n\geq0} {\cup} A_n^c$ alors $\exists n$ tel que $x \notin A_n$. Donc $x\notin \underset{_n\geq0}{\cap} A_n$. Donc $x \in (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
 \end{itemize}
Conclusion~: $\underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c=(\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
\item Par passage au compl\'ementaire dans le r\'esultat pr\'ec\'ecent~: $ ( \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c)^c  = \underset{n\geq 0 }{\cap} A_n$.
\end{enumerate}

\item On rappelle que "$A_1,\dots,A_n$ partition de $\R$" signifie que les ensembles $A_i$ sont 2 \`a 2 disjoints et que $A_1\cup \dots \cup A_n=\R$.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\R=A_1\cup \dots \cup A_n\in \mathcal{A}$
\item[(ii)]  Soit $\underset{i\in I}\cup A_i \in \mathcal{A}$, $(\underset{i\in I}\cup A_i)^c=\underset{i\notin I}\cup A_i \in \mathcal{A}$.
\item[(iii)] Si on fait une r\'eunion d\'enombrable d'\'el\'ements de $\mathcal{A}$~: $\underset{n\geq 0}\cup (\underset{i\in I_n}\cup A_i)=\bigcup_{\left[i\in \underset{n\geq 0}\cup I_n\right]} A_i \in \mathcal{A}$.
\end{itemize}

\item Fait en cours

\item
\begin{enumerate}
\item Remarque~: $\delta_x$ s'appelle la mesure de Dirac en $x$.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\delta_x$ est bien une fonction de $\mathcal{A}$ dans $[0,+\infty]$
\item[(ii)] $\delta_x(\emptyset)=0$ car $x\notin \emptyset$
\item[(iii)] Si on a des \'el\'ements 2 \`a 2 disjoints de $\mathcal{A}$~: $A_0,A_1,\dots$.
\begin{eqnarray*}
\delta_x(\underset{n\geq 0}\cup A_n)  & & \begin{cases} =1 & \text{ si } x
\in \underset{n\geq 0}\cup A_n\\
 =0 & \text{ sinon }\end{cases}\\
 & &  \begin{cases} =1 & \text{ si } \exists n \text{ tel que } x \in A_n\\
=0 & \text{ sinon }\end{cases}\\
& & = \sum_{n\geq 0} \delta_x(A_n)
\end{eqnarray*}
car les $A_n$ sont 2 \`a 2 disjoints (et donc au plus un seul d'entre eux contient $x$, c'est \`a dire au plus un seul d'entre eux est tel que $\delta_x(A_n)=1$).
\end{itemize}
\item On remarque que $\forall i$, $\delta_{x_i}$ est une mesure par la question pr\'ec\'edente.
\begin{itemize}
\item[(i)] $\mu$ est bien une fonction de $\mathcal{A}$ dans $[0,+\infty]$
\item[(ii)] $\mu(\emptyset)=\sum_{1\leq i\leq k} p_i \delta_{x_i}(\emptyset) =0$
\item[(iii)] Si on a des \'el\'ements 2 \`a 2 disjoints de $\mathcal{A}$~: $A_0,A_1,\dots$~:
\begin{eqnarray*}
\mu(\underset{n\geq 0}\cup A_n) & = & \sum_{1\leq i\leq k} p_i \delta_{x_i}(\underset{n\geq 0}\cup A_n)\\
& = &\sum_{1\leq i\leq k}p_i \sum_{n\geq 0} \delta_{x_i}(A_n)\\
& = &\sum_{n\geq 0}\sum_{1\leq i\leq k}p_i \delta_{x_i}(A_n)\\
& = &\sum_{n\geq 0} \mu(A_n)\ .
\end{eqnarray*}

\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
