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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  2}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

%\item \underline{Rappel~:} Si $f:E \rightarrow F$ et $A\subset F$, $f^{-1}(A)=\{x\in E : f(x)\in A\}$.  Si $C\subset E$,
%$f(C)=\{f(x), x\in C\}$. \\
%On consid\`ere l'application $f:\R \rightarrow \R$, $x \mapsto x^2$.
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer $f([-3,-1])$, $f([-3,1])$, $f(]-3,1])$.
%\item  D\'eterminer $f^{-1}(]-\infty,2])$, $f^{-1}(]1,+\infty[)$, $f^{-1}(]-1,0] \cup [1,2[)$
%\end{enumerate}

\item \underline{Rappel~:} Pour une famille d'ensemble $(A_n)_{n\in \N}$, on note $\bigcap_{n\geq 0} A_n =\{x: \forall n, x\in
A_n\}$ et $\bigcup_{n\geq 0} A_n=\{x:\exists n \text{ tel que } x\in A_n \} $

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1,1+1/(n+1)] $.
\item  D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1,2+1/(n+1)]$.
\item  D\'eterminer $\bigcap_{n\geq 0} ]1-1/(n+1),2]$.
\item Soit $f: \R \rightarrow \R$, $x\mapsto x^2$.  D\'eterminer $f^{-1}(\bigcup_{n\geq 0}[1/(n+1),+\infty[)$.
\end{enumerate}

\item Soit $\Omega$ un ensemble et soient $A_0,A_1,\dots$ des parties de $\Omega$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $A_0\subset A_1 \subset \dots \subset A_n \subset A_{n+1} \subset \dots$. Posons pour tout $n\geq 1$, $B_n=A_n\diagdown A_{n-1}$
(\underline{rappel~:} $A\diagdown C =\{x\in A : x\notin C\}$). Montrer que les ensembles $B_n$ sont deux \`a deux disjoints.
\item On note~: $\forall A \subset \Omega$, $A^c=\{x\in \Omega : x\notin A\}$. Montrer que $\underset{_n\geq0} {\cup} A_n^c = (\underset{_n\geq0}{\cap} A_n)^c$.
\item    Montrer que $ ( \underset{n\geq 0 }{\cup} A_n^c)^c  = \underset{n\geq 0 }{\cap} A_n$.
\end{enumerate}

\item Soit $A_1,...,A_n$ une partition de $\R$.
Montrer que $\mathcal{A}= \{ \bigcup_{i \in I} A_i : I \subset \{1,...,n\} \}$ est une tribu. ($\mathcal{A}$ est constitu\'e de toutes les r\'eunions possibles d'ensembles $A_i$.)



\item Soit

\begin{eqnarray*}
\text{Card} : \mathcal{P}(\N) & \rightarrow & [0,+\infty]\\
A& \mapsto &\text{Card}(A)= \text{ le nombre d'\'el\'ements de } A\ .
\end{eqnarray*}
Montrer que Card est une mesure sur $(\N,\mathcal{P}(\N))$.

\item On se donne un espace mesurable $(E,\mathcal{A})$.

\begin{enumerate}
\item Soit $x \in E$, on note
\begin{eqnarray*}
\delta_x : \mathcal{A} &  \rightarrow &  [0,+\infty]\\
B & \mapsto & \delta_x(B)\begin{cases} =1 & \text{ si } x
\in B\\ =0 & \text{ sinon .} \end{cases}
\end{eqnarray*}
 Montrer que $\delta_x$ est une mesure sur $(E,\mathcal{A})$.
\item Soient $x_1,...,x_k $ des \'el\'ements distincts de $E$ et $p_1,...,p_k \in \R_+^{*}$. On note

\begin{eqnarray*}
 \mu : \mathcal{A} & \rightarrow &
[0,+\infty]\\
B & \mapsto  &\mu(B) =  \sum_{1 \leq i \leq k} p_i \delta_{x_i}(B)
\end{eqnarray*}
 Montrer que $\mu$ est une mesure sur $(E,\mathcal{A})$.
\end{enumerate}




\end{enumerate}
\end{document}
