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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille  d'exercices num\'ero  3}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}

\begin{enumerate}

\item Les ensembles $[n,n+\frac{1}{2^n}[$ sont 2 \`a 2 disjoints donc $\lambda(A)=\sum_{n\geq 0} \lambda([n,n+\frac{1}{2^n}[)=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}=2$.

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall \epsilon >0$, $\{x\}\subset [x,x+\epsilon]$ donc $\lambda(\{x\})\leq \lambda( [x,x+\epsilon])=\epsilon$. Donc $\lambda(\{x\})=0$.
\item $\lambda(\cup_{n\geq 0} \{x_n\})\leq \sum_{n\geq 0} \lambda(\{x_n\})=0$ par la question pr\'ec\'edente.
\item $\Q$ est d\'enombrable donc on peut \'ecrire $\Q=\{x_0,x_1,\dots,x_n,\dots\}$ donc $\lambda(\Q)=0$ par la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On remarque que
\begin{eqnarray*}
A_n & = & \{[x,x+10^{-n}[: x=0,u_1\dots u_n \text{ avec } u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}\}\\
& =  & \underset{x\in B_n}\bigcup [x,x+10^{-(n+1)}[
\end{eqnarray*}
o\`u $B_n=\{x=0,u_1\dots u_n \text{ avec } u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}\}$. On remarque que $B_n$ est fini et que les intervalles $([x,x+10^{-n}[)_{x\in B_n}$ sont 2 \`a 2 disjoints. Donc~:
\begin{eqnarray*}
\lambda(A_n) &=& \sum_{x\in B_n}\lambda([x,x+10^{-n}[)\\
&=&\text{Card}(B_n) \times 10^{-n}=2^n \times 10^{-n}\ .
\end{eqnarray*}
\item $\forall n$, $A_n\subset A_{n+1}$ donc par intersection d\'ecroissante~: $\lambda(B) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \lambda(A_n) =0$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\mu([0,1])=\int_\R \1_{[0,1]}(x)  \1_{[0,1]}(x) dx= \int_0^1 1 dx =1$\\
 $\mu([0,2])=\int_\R  \1_{[0,2]}(x) \1_{[0,1]}(x) dx = \int_0^1 1 dx=1$\\
 $\mu([0,1/2])=\int_\R \1_{ [0,1/2]}(x)  \1_{[0,1]}(x) dx=\int_{0}^{1/2} 1 dx=1/2$\\
 $\mu(\{1/2\})=\int_\R \1_{\{1/2\}}(x) \1_{[0,1]}(x) dx = \int_\R \1_{\{1/2\}}(x) dx = 0$ car $\lambda(\{1/2\})=0$
 \item $\mu(\R)=\int_{\R} \1_{x>0}(x)e^{-x} dx =1$\\
 $ \mu(\{1\})=\int_{\R}\1_{\{1\}}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx=\int_{\R}\1_{\{1\}}(x) e^{-1} dx=0$ car $\lambda(\{1\})=0$\\
 $ \mu([0,1])=\int_{\R} \1_{[0,1]}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx =\int_0^1 e^{-x}dx=1-e^{-1}$\\
 $ \mu([1,+\infty[)=\int_{\R} \1_{[1,+\infty]}(x)\1_{x>0}(x)e^{-x} dx =\int_1^{+\infty}e^{-x}dx=e^{-1}$
 \item $\mu([0,1])=\int_{\R}\1_{[0,1]}(x)\1_{x>0}(x){xe^{-x^2/2}} dx= \int_0^1 x {e^{-x^2/2}} dx = \left[ -{e^{-x^2/2}} \right]_0^1=(1-e^{-1/2})$
\end{enumerate}


\end{enumerate}



\end{document}
