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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  Licence MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  3}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}


On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$. On rappelle que $\lambda$ (en tant que mesure) v\'erifie les propri\'et\'es suivantes~:

\begin{itemize}
\item Croissance~: si $A,B \in \mathcal{B}(\R)$ avec $A\subset B$ alors $\lambda(A)\leq \lambda (B)$, si, de plus, $\lambda(A)<+\infty$, alors $\lambda(B\backslash A)=\lambda(B)-\lambda(A)$.
\item Additivit\'e~: si $A_0,A_1,\dots \in \mathcal{B}(\R)$ sont deux \`a deux disjoints alors $\lambda(\cup_{n\geq 0} A_n)=\sum_{n\geq 0} \lambda(A_n)$.
\item Sous-additivit\'e~: si $A_0,A_1,\dots \in \mathcal{B}(\R)$ alors $\lambda(\cup_{n\geq 0} A_n)\leq \sum_{n\geq 0} \lambda(A_n)$.
\end{itemize}


\begin{enumerate}

%\item Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurable. Soit $f:E\rightarrow F$. Montrer que $\{B\subset F : f^{-1}(B) \in \mathcal{A} \}$ est une tribu sur $B$.

\item Soit $A=\cup_{n\geq 0} [n,n+\frac{1}{2^n}[$. Calculer $\lambda(A)$. (On se servira du fait que $A$ est r\'eunion d'ensembles disjoints et on utilisera la propri\'et\'e d'additivit\'e.)

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$, calculer $\lambda(\{x\})$ (utiliser la propri\'et\'e de croissance).
\item Soit $x_0,x_1,x_2,\dots \in \R$, calculer $\lambda(\cup_{n\geq 0} \{x_n\})$ (utiliser la propri\'et\'e de sous-additivit\'e).
\item En d\'eduire que $\lambda(\Q)=0$. Calculer $\lambda([0,1]\backslash \Q)$.
\end{enumerate}




\item Un ensemble de Cantor.\\
 Pour $n\geq 1$, on note~: $$A_n=\{x\in [0,1[, x \text{ n'a que des $1$ ou des $5$ dans son d\'eveloppement d\'ecimal jusqu'\`a l'ordre $n$} \}\ .$$ $A_n$ est donc l'ensemble des $x\in [0,1[$ qui s'\'ecrivent $x=0,u_1u_2\dots u_nu_{n+1}\dots$ avec $u_1,\dots,u_n \in \{1,5\}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lambda(A_n)$ pour tout $n$.
\item Soit $B=\cap_{n\geq 1} A_n$, calculer $\lambda(B)$ (utiliser la propri\'et\'e d'intersection d\'ecroissante).
\end{enumerate}


\item Mesures \`a densit\'e.\\
\begin{enumerate}
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{[0,1]}(x)$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu([0,1]),\mu([0,2])$, $\mu([0,1/2])$, $\mu(\{1/2\})$.
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{x>0}e^{-x}$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu(\R),\mu(\{1\}),\mu([0,1]),\mu([1,+\infty[)$.
\item Soit $\mu$ mesure sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$ de densit\'e $\1_{x>0} xe^{-x^2/2}$  par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Calculer $\mu([0,1])$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
