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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Corrig\'e de la feuille d'exercices num\'ero  4}}
\centerline{{\bf }}
\par \vspace{1.5cm}





\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in ]0,1]$, $\left|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin(1/nx)\right|\leq \frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\frac{1}{\sqrt{x}}  $ int\'egrable sur $[0,1]$.  $\forall x\in ]0,1]$, $ \frac{1}{\sqrt{x}} \sin(1/nx) \convn 0$ donc par convergence domin\'ee $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left( \frac{1}{nx}\right) dx=0$

\item $\forall x \in [0,1]$, $\left| \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n \right| \leq 1$ et la fonction constante \'egale \`a $1$ est int\'egrable sur $[0,1]$. On a $\forall x \in [0,1]$, $\left( 1 - \frac{x}{n} \right)^n = \exp(n\log(1-\frac{x}{n})  )=\exp(n(-x/n+\text{o}(1/n)))=\exp(-x+\text{o}(1)) \convn  e^{-x}$ par continuit\'e de la fonction exponentielle.
Donc par convergence domin\'ee, $$\int_0^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n dx \convn \int_0^{+\infty} e^{-x} dx=1\ .$$

\item $\forall x\in \R$, $|\sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)}| \leq \frac{1}{(1+x^2)}$ qui est une fonction int\'egrable sur $]-\infty,+\infty[$. $\forall x\in \R$, $\sin\left(\frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} \convn \frac{1}{(1+x^2)}$ car $\sin(u)\underset{u\rightarrow 0}\sim u$ donc par convergence domin\'ee,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}  \int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} dx = \int_{-\infty}^{+\infty}  \frac{1}{(1+x^2)}dx = [\arctan(x)]_{-\infty}^{+\infty} = \pi\ .$$

\item $\forall x \in \R$, $e^{1+\cos^{2n} (x)} e^{-|x|}\leq e^{2-|x|}$ qui est une fonction int\'egrable sur $\R$. $\forall x \in \R$, $e^{1+\cos^{2n} (x)} e^{-|x|} \convn e^{1-|x|}$ donc par convergence domin\'ee,
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1+\cos ^{2n} (x)} e^{-|x|} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1-x}dx = 2 e^1 \ .$$
\item $\forall x\geq 0$, $\arctan (x/n) e^{-x}\leq (\pi/2) e^{-x}$ qui est une fonction int\'egrable sur $[0,+\infty[$.$\forall x\geq 0$, $  \arctan (x/n) e^{-x} \convn 0$ donc  par convergence domin\'ee,
 $$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} \arctan (nx) e^{-x} dx=0\ .$$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a pour $0\leq x\leq n$, $f_{n+1}(x)/f_n(x) = \exp( g_n(x))$. $$g_n'(x)=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\frac{x}{(1-x/n)(1-x/(n+1)}\geq 0$$ pour $0\leq x\leq n$ donc $g_n$ croissante sur $[0,n]$. $g_n(0)=0$ donc $g_n(x)\geq 0$ $\forall x \in [0,n]$. Donc $f_{n+1}(x)\geq f_n(x)$ $\forall x \in [0,n]$. C'est \'egalement vrai sur $[n,+\infty]$ donc $f_n$ suite de fonctions croissante.
\item On a $\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} dx = \int_0^{+\infty} f_n(x) dx$. $\forall x \geq 0$, $f_n(x) \convn e^{-x+\alpha x}dx$ donc par convergence monotone, $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) dx=\int_0^{+\infty} e^{-x+\alpha x}dx$, donc~:
$$
I(\alpha)
\begin{cases}
+\infty & \text{ si } \alpha\geq 1\\
\frac{1}{-1+\alpha}& \text{ sinon}\ .
\end{cases}
$$
\end{enumerate}



\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n,k$, $0\leq \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\leq  \frac{1}{3^n}$ qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. Pour tout $n$, $\frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right) \underset{k\rightarrow +\infty}\longrightarrow \frac{1}{3^n}$ donc par convergence domin\'ee~:
$$
\lim_{k \rightarrow +\infty } \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n} =\frac{3}{2}\ .
$$
\item Pour tout $n,k$, $\left|\frac{\sin(n/k)}{2^n}\right|\leq \frac{1}{2^n} $ qui est le terme g\'en\'eral d'une s\'erie convergente. Pour tout $n$, $\frac{\sin(n/k)}{2^n} \underset{k\rightarrow +\infty}\longrightarrow 0$ donc par convergence domin\'ee~:
$$
\lim_{k \rightarrow +\infty} \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{\sin(n/k)}{2^n}\right] = 0\ .
$$
\end{enumerate}


\item In\'egalit\'e de Jensen.\\
\begin{enumerate}
\item $\forall z,y \in I$ avec $z\leq y$, $\phi(y)-\phi(z)=\int_{z}^y \phi'(t) dt \geq \int_{z}^y \phi'(z) dt$ (car $\phi$ convexe), donc $\phi(y)-\phi(z) \geq \phi'(z)(y-z)$
\item On prend $z=\int_E f(t) d\mu(t)$ et $y=f(x)$ dans l'inegalit\'e pr\'ec\'edente et on a~:
$$
\phi(f(x))\geq \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) + \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)\left( y- z \right)\ .
$$
On int\`egre ensuite par rapport \`a $d\mu(x)$~:
\begin{eqnarray*}
\int \phi(f(x)) d\mu(x) &\geq &\int \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) d\mu(x) + \int \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)(y-z) d\mu(x)\\
& = & \phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) + \phi'\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right) \left( \int f(x) d\mu(x) - \int f(x) d\mu(x)\right)\\
& = &\phi\left(\int_E f(t) d\mu(t)\right)\ .
\end{eqnarray*}
\item La fonction $\phi:x\in [0,1]\mapsto x^2$ est convexe. Donc par le r\'esultat pr\'ec\'edent, pour toute fonction $f:[0,1]\rightarrow \R$ int\'egrable,
$$
\left( \int_0^1 |f(x)| dx \right)^2 \leq \int_0^1 f(x)^2 dx  .
$$
\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{document}
