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\begin{document}



\par
{{\bf UNIVERSIT\'E  DE NICE SOPHIA-ANTIPOLIS \par
  L3 MASS - Int\'egration et Probabilit\'es  - 2006-2007 - 1er semestre \par
  Sylvain Rubenthaler \par
  } {\tt http://math.unice.fr/$\sim$rubentha/cours.html} }\par


\par \vspace{1cm}
\centerline{{\bf Feuille d'exercices num\'ero  4}}
\centerline{{\bf Int\'egrales et limites d'int\'egrales}}
\par \vspace{1.5cm}





\begin{enumerate}

\item Calculer les limites suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \sin\left( \frac{1}{nx}\right) dx$
\item $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^1 \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^n dx$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}  \int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left( \frac{x}{n} \right) \frac{n}{x(1+x^2)} dx$
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{1+\cos ^{2n} (x)} e^{-|x|} dx$.
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} \arctan (x/n) e^{-x} dx$
\end{enumerate}

\item On pose~: $I(\alpha)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} dx$ pour $n\in \N$ et $\alpha \in \R$.
\begin{enumerate}
\item On pose pour $n \in \N$, $f_n:\R^+\rightarrow \R$ telle que $f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n e^{\alpha x} \1_{x\leq n}$.
Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ est une suite croissante de fonctions. (On pourra notamment \'etudier~:
$g_n(x)=(n+1)\ln\left(1-\frac{x}{n+1}\right) - n\ln\left( 1-\frac{x}{n}\right)$.)
 \item En d\'eduire la valeur de $I(\alpha)$ en
fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}



\item Soit $\mu$ la mesure de comptage ("Card") sur $(\N,\mathcal{P}(N))$. Pour toute suite $(u_n)_{n\geq 0}$, on a~: $\sum_{n\geq 0} u_n = \int_{\N} u_n d\mu$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim_{k \rightarrow +\infty } \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{1}{3^n}\left( 1 - \frac{1}{k(n+1)} \right)\right]$.
\item Calculer $\lim_{k \rightarrow +\infty} \left[ \sum_{n\geq 0} \frac{\sin(n/k)}{2^n}\right]$.
\end{enumerate}

\item In\'egalit\'e de Jensen.\\
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesur\'e avec $\mu(E)=1$. Soit  $\phi: \R \rightarrow \R^+$
 convexe et d\'erivable deux fois (et donc $\phi''\geq 0$). Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesur\'e avec $\mu(E)=1$. Soit $f:(E,\mathcal{A})
\rightarrow (\R,\mathcal{B}(R))$ mesurable et telle que $\int_E f(x) d\mu(x)<+\infty$.
 \begin{enumerate}
\item Montrer que  $\forall z,y \in I$ avec $z\leq y$, $\phi(y) \geq \phi(z)+\phi'(z)(y-z)$
\item En prenant  $z=\int_E f(t) d\mu(t)$ et $y=f(x)$ dans l'inegalit\'e pr\'ec\'edente, montrer que~:
$$
\phi\left( \int_E f(x) d\mu(x) \right) \leq \int_E \phi \circ f (x) d\mu(x).
$$
\item En d\'eduire que pour toute fonction $f:[0,1]\rightarrow \R$ telle que $\int_0^1 |f(x)| dx < +\infty$~:
$$\left( \int_0^1 |f(x)| dx \right)^2 \leq \int_0^1 f(x)^2 dx  .$$
\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{document}
